擬線性偽雙曲型積分微分方程的非協(xié)調(diào)混合有限元分析

李先枝， 張開廣

(鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 鄭州 450044)

?

擬線性偽雙曲型積分微分方程的非協(xié)調(diào)混合有限元分析

李先枝， 張開廣

(鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 河南 鄭州 450044)

0 引言

考慮如下一類擬線性偽雙曲型積分微分方程:

(1)

其中,Ω?R2為有界凸區(qū)域，具有Lipschitz連續(xù)邊界?Ω，J=(0,T]，對(duì)于固定的T， 0

偽雙曲型積分微分方程是一類重要的積分微分方程，廣泛應(yīng)用于黏彈性力學(xué)、核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)和生物力學(xué)等領(lǐng)域.關(guān)于此類方程已有一些研究：文[1]給出了方程(1)的一個(gè)重要的Sobolev-Volterra投影，并給出了該投影的存在唯一性和相應(yīng)的投影誤差估計(jì)結(jié)果.文[2]討論了方程 (1) 的分裂正定混合元方法，并且給出了半離散和全離散格式的最優(yōu)誤差估計(jì). 文[3]針對(duì)問題(1)提出了H1-Galerkin混合有限元方法，討論了有限元解的存在唯一性和誤差估計(jì), 并通過數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的可行性. 文[4]運(yùn)用混合有限元方法給出了一類偽雙曲型積分微分方程半離散格式的最優(yōu)誤差估計(jì). 文[5]研究了雙曲型積分微分方程的非協(xié)調(diào)任意四邊形混合有限元方法.

另一方面，由于傳統(tǒng)的有限元方法對(duì)逼近解的光滑度要求都比較高，這會(huì)給實(shí)際計(jì)算造成很多困難. 因此混合有限元方法受到了高度關(guān)注，被廣泛應(yīng)用于微分方程的有限元分析中[6-8].文[9-10]對(duì)二階橢圓問題提出了一類總體自由度較少且當(dāng)兩個(gè)逼近空間滿足一個(gè)簡單的包含關(guān)系時(shí)，BB條件可以滿足的新的混合元格式，并給出了收斂性分析. 文[11-12]在文[9-10]的基礎(chǔ)上分別討論了二階橢圓問題和線彈性問題的超逼近和超收斂結(jié)果.文[13-15]則進(jìn)一步將這類格式分別應(yīng)用于拋物方程和Sobolev方程.

1 單元構(gòu)造及性質(zhì)

((u-Ihu),qh)=0,?qh∈Mh.

(2)

另一方面，若p∈(H2(Ω))2，由文[8,16]知下面結(jié)論成立：

(3)

(4)

文中還要用到積分不等式[3]：

其中，ψ是定義在 [0,t] 上的可積函數(shù)，t∈[0,t]，c為與h無關(guān)的正常數(shù).

2 半離散格式下的超逼近分析

引入u的伴隨向量函數(shù)

p=-ut-b(X,t,s)u(X,s)ds，

則問題(1)等價(jià)于

(5)

(6)

(7)

定理1 問題(7)的解存在唯一.

取qh=φm,m=1,2,…,N1，vh=ψl,l=1,2,…,N2，把這些表達(dá)式代入，則 (7) 式可變?yōu)?/p>

經(jīng)化簡可改寫成矩陣形式:求{P(t)，U(t)},使得?t∈(0,T]，有

(8)

式中，

A=(aij)N2×N2，B=(bij)N2×N1，C=(cij)N1×N1，P(t)=(p1,p2,…,pN1)T，

U=(u1,u2,…,uN2)T，Ut=(u1t,u2t,…,uN2t)T，Utt=(u1tt,u2tt,…,uN2tt)T，

其中，aij=(ψi,ψj)，bij=(φi,ψj)，cij=(φi,φj).易知A，C正定對(duì)稱, 則 (8) 式可變形為

(9)

可以看出， (9) 中(a)式是關(guān)于向量U的常微分方程, 于是根據(jù)常微分方程理論,可知微分方程的解U存在唯一, 從而P(t)存在唯一, 進(jìn)而可知離散解uh和ph存在唯一.

定理2 設(shè)(u,p)和(uh,ph)分別是問題(6)和(7)的解，當(dāng)u,utt∈H2(Ω)，p,pt∈(H2(Ω))2時(shí)，有

(10)

(11)

證明 取u-uh=u-Ihu+Ihu-uhξ+η，p-ph=p-∏hp+∏hp-phρ+θ.

對(duì)(5)式中第一式兩端作用vh(vh∈Vh)，第二式兩端作用qh(qh∈Mh)，利用Green公式，可得方程

(12)

于是由 (12) 式及 (7) 式得誤差方程

(13)

在(13)式中第一式取vh=ηt，第二式取qh=ηt，兩式相加可得

(ηtt,ηt)+(ηt,ηt)+(bη,ηds,ηt)=

(f(u,X,t)-f(uh,X,t),ηt)-(ξtt,ηt)-(ξt,ηt)-(bξ,ηt)-

(14)

(14)式左端可估計(jì)為

下面估計(jì) (14) 式右端各項(xiàng).首先對(duì)φ(X)∈W1，∞(Ω)，定義其在單元K上的平均值，即

則有

利用f的性質(zhì)及Young不等式，A1可估計(jì)為

由插值理論、Schwartz不等式和Young不等式，可得

根據(jù)(2)式，有

由平均值技巧、Schwartz不等式和Young不等式，可得

由 (4) 式可得

于是有

根據(jù)Gronwall引理，有

(15)

于是(10)式得證.

再在(13)式中第一式取vh=ηt，第二式取qh=θ，然后兩式相加可得

(ηtt,ηt)+(θ,θ)=(f(u,X,t)-f(uh,X,t),ηt)+(ρ,ηt)-(bη,θ)-

(16)

類似于 (14) 式右端各項(xiàng)的估計(jì)方法，可得(16)式右端各項(xiàng)估計(jì)式.

于是有

兩邊積分，注意到

可得

根據(jù)Gronwall引理，有

(17)

由 (15)， (17) 式得

定理2證畢.

3 全離散格式及誤差分析

un=u(tn)，

(18)

(19)

定理3 設(shè)(un,pn)和(Un,Pn)分別是(18)和(19)式的解，u,utt∈H2(Ω)，p∈(H2(Ω))2，則

‖Ihun-Un‖h=(h2+τ2)，

(20)

‖∏hpn-Pn‖0=(h2+τ2).

(21)

證明 為了進(jìn)行誤差估計(jì), 記

un-Un=(un-Ihun)+(Ihun-Un)=ξn+ηn,

pn-Pn=(pn-∏hpn)+(∏hpn-Pn)=ρn+θn.

(22)

(23)

首先估計(jì)(23)式的左端.

(,‖，

(b,(‖‖，

接下來估計(jì) (23) 式的右端.利用f的性質(zhì)和Young不等式及插值理論得

因?yàn)?/p>

根據(jù)(2)式及平均值技巧，得

根據(jù)(4)式，可得

運(yùn)用(18)式，可得

綜合上述估計(jì)，基于(23)式，可得

(24)

對(duì)(24)式關(guān)于n從1 到N-1求和，得

(25)

由(19)式得

η1=U1-Ihu1=O(τ3).

并注意到η0=0，可得

由(N-1)τ≤Nτ=T，有

于是 (25) 式可變形為

又

根據(jù)Young不等式，得

(ηN,‖‖

因此有

(20)式得證.

[1] 崔霞．Sobolev-Volterra投影與積分微分方程有限元數(shù)值分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，24(3)：441-455．

[2] 于艷紅，劉洋．偽雙曲型積分微分方程的分裂正定混合元方法[J]． 內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，43(4)：377-383．

[3] 劉洋，李宏，何斯日古楞．偽雙曲型積分-微分方程的H1-Galerkin混合元法誤差估計(jì)[J]．高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，32(1)：1-20．

[4] 季兆義，李宏，劉洋，等．偽雙曲積分微分方程的半離散混合元法誤差估計(jì)[J]．內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，42(2)：170-176．

[5] 王海紅，郭城. 雙曲型積分微分方程的非協(xié)調(diào)任意四邊形H1-Galerkin混合有限元方法[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012，44(4)：31-34.

[6] 羅振東．混合有限元法基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，2006：159-290.

[7] Thomée V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems [M]. 2nd ed. Berlin ：Springer-Verlag, 2006：293-304.

[8] Lin Qun，Lin Jiafu. Finite Element Methods： Accuracy and Improvement[M]. Beijing： Science Press，2006：272-288.

[9] 陳紹春，陳紅如. 二階橢圓問題新的混合元格式[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué)，2010，32(2)：213-218.

[10]史峰，于佳平，李開泰. 橢圓型方程的一種新型混合有限元格式[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28(2)：231-237.

[11]Shi Dongyang，Li Minghao. Superconvergence analysis of the stable conforming rectangular mixed finite elements for the linear elasticity problem[J].J Comput Math，2014，32(2)：205-214.

[12]石東洋，李明浩. 二階橢圓問題一種新格式的高精度分析[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37(1)：45-58.

[13]石東洋，張亞東. 拋物型方程一個(gè)新的非協(xié)調(diào)混合元超收斂性分析及外推[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué)，2013，35(4)：337-352.

[14]石東洋，王樂樂. 非線性Sobolev型方程一個(gè)新的非協(xié)調(diào)混合有限元格式[J]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2012，44(4)：1-5.

[15]史艷華，石東洋. Sobolev方程新混合元方法的高精度分析[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2014，34(4)：452-463.

[16]Shi Dongyang，Mao Shipeng，Chen Shaochun. An anisotropic nonconforming finite element with some superconvergence results[J]. J Comput Math，2005，23(3)：261-274.

(責(zé)任編輯：孔 薇)

Nonconforming Mixed Finite Element Analysis for Quasilinear Integro-differential Equations of Pseudo-hyperbolic Type

LI Xian-zhi， ZHANG Kai-guang

(SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China)

2015-01-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)10971203,11271340．

李先枝(1967-), 女, 河南登封人，副教授,碩士，主要從事有限元方法及其應(yīng)用研究，E-mail:lxz66@163.com．

李先枝，張開廣.擬線性偽雙曲型積分微分方程的非協(xié)調(diào)混合有限元分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，47(3):21-29.

O241.82

A

1671-6841(2015)03-0021-09

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.03.004