教給學(xué)生“講理”的數(shù)學(xué)解題方法

王昀

解題教學(xué)要立足于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、發(fā)展學(xué)生的智力，是一線數(shù)學(xué)教師普遍認(rèn)可的教學(xué)理念；通過(guò)各種不同形式的探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，是一線教師廣泛采用的教學(xué)策略.然而，把理念和策略轉(zhuǎn)化為具體的教學(xué)行為并非輕而易舉，盡管相關(guān)的研究成果不斷運(yùn)用到實(shí)踐中，但教師歸納題型加重復(fù)訓(xùn)練的教學(xué)模式并沒有根本改變，記憶解題套路加題海戰(zhàn)術(shù)依舊是學(xué)生提高成績(jī)的主要途徑.

解題教學(xué)課到底應(yīng)當(dāng)怎樣上？最近，筆者就此進(jìn)行了一次調(diào)研，調(diào)研期間聽的一節(jié)課給筆者很大啟示.這是一節(jié)高三導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的復(fù)習(xí)課，授課教師是天津市一所重點(diǎn)中學(xué)的特級(jí)教師，授課班級(jí)是該?；A(chǔ)較好的理科班.

一、激活思維

得到解法之后，教師和學(xué)生進(jìn)行了短暫的交流，只有五個(gè)學(xué)生想到上面方法，而且都是淺嘗輒止，用方程根的定義轉(zhuǎn)化并消去a之后并沒有繼續(xù)下去，轉(zhuǎn)而尋找其他方法.多數(shù)學(xué)生則認(rèn)定只用方程根的定義很難證明結(jié)論，肯定要用到導(dǎo)數(shù)的知識(shí)才能解決，于是他們執(zhí)著地尋找利用導(dǎo)數(shù)求解的方法.

無(wú)論從哪個(gè)角度看，例1都不能稱為難題，但就是這樣一道題卻令幾十位“高才生”折戟沉沙.這使筆者想到，一個(gè)高中生在長(zhǎng)達(dá)三年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，少則做數(shù)千道題，多則做上萬(wàn)道題，高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容還要反復(fù)練習(xí)，見過(guò)的題型、做過(guò)的題的難度、掌握的解題方法都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了高考的要求，但在考場(chǎng)上面對(duì)二十道似曾相識(shí)的高考題時(shí)依然力不從心（個(gè)別難題除外）.這說(shuō)明，記憶的題目、方法、套路再多，如果不會(huì)思考，也不過(guò)是僵化的知識(shí)而已，解題能力并沒有真正形成.例1用到的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，學(xué)生早已爛熟于心.解題思路也極為平常，甚至是解題嘗試中的首要選擇，學(xué)生一旦“意識(shí)”到這種思路，解題便輕而易舉，然而學(xué)生缺少的恰恰是這種“意識(shí)”.這種“意識(shí)”是數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵要素，這是因?yàn)榻處熞龑?dǎo)下的頓悟和學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)有天壤之別.

簡(jiǎn)單的想法往往是學(xué)生思維的盲點(diǎn)，例1暴露了學(xué)生的思維缺陷，教師的解法如醍醐灌頂，激活了學(xué)生因忽視基本方法而沉睡的思維.

二、深化思維

讀完例2，學(xué)生心領(lǐng)神會(huì)，例2和例1是相同類型的題目，毫無(wú)疑問(wèn)可套用例1的方法求解.第（Ⅰ）問(wèn)很快完成.f（x）有極小值，極小值為f（1）=0，f（x）無(wú)極大值.

但接下來(lái)出現(xiàn)了意外，套用例1的方法無(wú)法證明第（Ⅱ）問(wèn).由已知得[e][x1]-ex1=[e][x2]-ex2，從而[e][x1]-[e][x2]-e（x1-x2）=0，多數(shù)學(xué)生寫到這一步后，由于[e][x1]-[e][x2]無(wú)法“分解”出x1-x2而陷入困境.好在有了例1的經(jīng)歷，部分學(xué)生很快醒悟：既然無(wú)法用例1的方法解決，那么就從本題的特點(diǎn)出發(fā)，尋找其他的途徑，和例1類似，本題也一定有基本的方法（這是筆者課下和學(xué)生座談時(shí)了解到的學(xué)生當(dāng)時(shí)的解題心理.事實(shí)上，這是從套用解法到套用想法的一個(gè)轉(zhuǎn)變，是思維深刻的一種表現(xiàn)），經(jīng)過(guò)反復(fù)探索，有幾位學(xué)生找到了如下證明思路：

這幾位學(xué)生的想法是：既然直接從已知條件證明結(jié)論有困難，那就再?gòu)慕Y(jié)論出發(fā)，尋找使結(jié)論成立的充分條件.觀察發(fā)現(xiàn)[e][x1]-ex1=[e][x2]-ex2中的e與要證的結(jié)論x1+x2<2能夠取得聯(lián)系，于是想到把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明[e][]

然而很多學(xué)生對(duì)解法產(chǎn)生了質(zhì)疑，他們覺得解法具有一定的偶然性，有運(yùn)氣的成分，不等式[e][]<兩邊同除以[e][x2]之后，恰好能構(gòu)造函數(shù)，如果無(wú)法構(gòu)造函數(shù)又該怎么辦？另外，x1+x2<2的等價(jià)形式[e][]

至此，兩道例題的作用顯現(xiàn)出來(lái)，例1讓學(xué)生思維重心下移，回歸到最普通的思路上，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的概念、基本思想方法既是解題的起點(diǎn)，又是最好的解題策略和解題“技巧”.例2和例1看似是同樣的問(wèn)題，但因函數(shù)不同，導(dǎo)致模仿例1的解法不能奏效，從而引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突，意識(shí)到在模仿解題方法的同時(shí)還要根據(jù)已知條件和結(jié)論的特征尋找解題突破口.例2沒出現(xiàn)學(xué)生預(yù)期的成功，這使他們因思維慣性導(dǎo)致的思維表層化的印跡逐漸消失.兩道例題是通過(guò)改變問(wèn)題情境，引起學(xué)生的反思并進(jìn)行更加深入的思考，如果學(xué)生能在新的情境中找到解決的方法，那么學(xué)生知識(shí)的遷移能力就會(huì)得到提高.

三、增進(jìn)思維

二次函數(shù)f（x）=x2-2x+3的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則有x1+x2=2，通過(guò)類比，猜想圖象不具有對(duì)稱性的函數(shù)f（x）=ex-ex，應(yīng)有結(jié)論x1+x2<2，這是此結(jié)論得來(lái)的思考過(guò)程，也恰恰是解題者解題的切入點(diǎn)，由此展開的解題活動(dòng)便成為一種有源泉、有活力的思維活動(dòng).教師對(duì)解法追根溯源的點(diǎn)撥，使抽象、缺少思考支撐點(diǎn)的問(wèn)題，一下子變得形象、生動(dòng)起來(lái)，學(xué)生從盲目嘗試、漫無(wú)邊際地聯(lián)想狀態(tài)，迅即轉(zhuǎn)變?yōu)榉较蛎鞔_的有效思考中.更重要的是，解法得來(lái)的過(guò)程自然合理、觸手可及，一下子拉近了解法和學(xué)生的距離，學(xué)生潛意識(shí)里會(huì)產(chǎn)生解法就在身邊，數(shù)學(xué)解題并不困難的念頭，感到數(shù)學(xué)是講理的、簡(jiǎn)單的、有規(guī)律的，學(xué)習(xí)的熱情也隨之高漲.

有學(xué)生提出，例1也可用上述方法證明，只不過(guò)計(jì)算量要大一些.由此可見，解題方法本身沒有優(yōu)劣之分，關(guān)鍵是要根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的方法.

對(duì)兩道例題的處理，教師不是以尋求解題方法為教學(xué)重點(diǎn)，而是以解題方法得來(lái)的過(guò)程為核心，在為什么要想到這種解法上做文章，傳遞給學(xué)生的是思維的方法，其間沒有刻意渲染數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，而是讓數(shù)學(xué)思想方法伴隨著學(xué)生的思索自然而然地出現(xiàn).

四、發(fā)展思維

證明思路：對(duì)例1證明過(guò)程中的[x1][2]+x1x2+[x2][2]-k=0，用不等式2x1x2<[x1][2]+[x2][2]轉(zhuǎn)化即可.

結(jié)論2 直線y=kx與y=f（x）圖象圍成的兩個(gè)封閉圖形的面積相等.

畫出圖象，這個(gè)結(jié)論顯而易見.

思考過(guò)程：函數(shù)f（x）=x3-kx是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣直線y=kx與y=f（x）圖象圍成的兩個(gè)封閉圖形也關(guān)于原點(diǎn)“對(duì)稱”，因此它們的面積應(yīng)相等.

證明思路：設(shè)直線y=kx與y=f（x）的圖象交于點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（-x1，f（-x1））（點(diǎn)A，B異于原點(diǎn)），根據(jù)定積分的幾何意義可證.

結(jié)論3 曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線“穿過(guò)”曲線.

思考過(guò)程：受結(jié)論1的啟發(fā)，考慮曲線的切線.原點(diǎn)既在函數(shù)圖象上，又是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，比較特殊，曲線在這一點(diǎn)處的切線會(huì)有什么特殊的性質(zhì)呢？曲線在原點(diǎn)處的切線方程為y=-kx，通過(guò)觀察圖象，這條直線和曲線除原點(diǎn)外沒有其他交點(diǎn)，所以它“穿過(guò)”曲線，即曲線在y軸左側(cè)部分在切線下方，在y軸右側(cè)部分在切線上方.

證明思路：構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+kx，證明x>0時(shí)，h（x）>0；x<0時(shí)，h（x）<0.

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生探究能力和創(chuàng)新意識(shí)的一種手段，這種手段能否達(dá)到教師預(yù)期的目標(biāo)，關(guān)鍵在于設(shè)置什么樣的問(wèn)題、學(xué)生最終能探究出什么樣的結(jié)果.為了探究而探究是沒有意義的，游離于教學(xué)內(nèi)容的所謂“發(fā)現(xiàn)”是沒有價(jià)值的.探究并非是孤立的一個(gè)環(huán)節(jié)，而是解題教學(xué)不可分割的一部分，很多數(shù)學(xué)題都需要解題者通過(guò)發(fā)現(xiàn)找到解法.只注重形式和結(jié)果而忽視推理論證的探究是低層次的，因?yàn)闆]有經(jīng)過(guò)證明的“成果”不是真正意義上的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生感受不到成功的喜悅，思維也不會(huì)得到真正的發(fā)展.

由于已經(jīng)研究了f（x）=x3-kx的單調(diào)性和極值，學(xué)生對(duì)這個(gè)函數(shù)有一定的了解，以此為基礎(chǔ)深入探究，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律；此函數(shù)外表樸實(shí)，但內(nèi)涵豐富，有探究的空間；此函數(shù)具有的性質(zhì)和本節(jié)課的內(nèi)容緊密相關(guān)，剛剛學(xué)過(guò)的方法有用武之地.因此，這是一個(gè)較好的探究問(wèn)題.從三個(gè)結(jié)論看，雖然比較簡(jiǎn)單、直觀，但揭示了這個(gè)函數(shù)的本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)這些結(jié)論需要一定的觀察、聯(lián)想、類比的能力.這說(shuō)明探究是有價(jià)值的思維活動(dòng).從探究的時(shí)機(jī)看，例2“講理”的解法實(shí)際上就是一種思考問(wèn)題的方式，進(jìn)一步體驗(yàn)這種思考問(wèn)題的方式，運(yùn)用其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題正是發(fā)展學(xué)生思維的有利時(shí)機(jī).

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)有三個(gè)突出的特點(diǎn)，一是函數(shù)解析式非常簡(jiǎn)練，已知條件較少，信息量小，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)就能讀懂題意，之后能迅速投入到尋求解題途徑的思考中；二是兩道例題要證明的結(jié)論具有較強(qiáng)的直觀性，便于學(xué)生理解；三是例題間的設(shè)問(wèn)具有遞進(jìn)關(guān)系，這種遞進(jìn)不是單純的問(wèn)題間的關(guān)聯(lián)，而是思維由此及彼、由表及里的深入.這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了授課教師“載體簡(jiǎn)單化，結(jié)論形象化，問(wèn)題系統(tǒng)化”的例題教學(xué)理念，其中的“結(jié)論形象化”并非僅是圖形直觀的視覺感知，只要問(wèn)題的提出自然合理，符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維習(xí)慣，符合數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)生的規(guī)律，就是“形象化”的體現(xiàn).

聽完本節(jié)課，筆者有這樣的感受，解題教學(xué)中，例題和練習(xí)題并非越多越好、越難越好，關(guān)鍵是題目能否啟迪學(xué)生的思維；簡(jiǎn)單的題目同樣可以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，甚至更有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，關(guān)鍵是教師要充分挖掘題目蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律和思想方法，對(duì)題目進(jìn)行再創(chuàng)造；高三復(fù)習(xí)課不應(yīng)只是重復(fù)鞏固，不應(yīng)只是增加題目難度，不應(yīng)只是變化情境讓學(xué)生熟練掌握各種解題方法，還要追尋數(shù)學(xué)問(wèn)題提出的緣由，探尋“講理”的解題方法，真正讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)可親、可近，在探究中學(xué)會(huì)思考.endprint