GNSS 接收機(jī)鎖相環(huán)最佳環(huán)路帶寬的選取*

張 杰，馬冠一

(1.中國科學(xué)院 國家天文臺(tái)，北京 100012;2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引言

在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System，GNSS)接收機(jī)中，鎖相環(huán)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于載波信號(hào)的跟蹤。環(huán)路濾波器是鎖相環(huán)的重要組成部分，可以減小由于輸入信號(hào)噪聲引起的相位誤差并平滑鑒相器泄漏的高頻分量，對(duì)鎖相環(huán)跟蹤精度、穩(wěn)定性有重要影響。環(huán)路帶寬(又稱等效噪聲帶寬)是環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)，對(duì)環(huán)路噪聲(包括熱噪聲和晶振噪聲)特性和環(huán)路動(dòng)態(tài)特性有決定性影響。文獻(xiàn)［1－3］介紹了環(huán)路濾波器的基本原理及模擬實(shí)現(xiàn)的參數(shù)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［4－7］給出了二階及三階鎖相環(huán)環(huán)路濾波器數(shù)字化的實(shí)現(xiàn)方式，但未給出最佳環(huán)路帶寬值的選取方式。文獻(xiàn)［2，8］分析了環(huán)路跟蹤性能與環(huán)路濾波器參數(shù)的關(guān)系，指出環(huán)路帶寬存在一個(gè)最佳取值，使總的環(huán)路跟蹤誤差最小，但沒有給出具體表達(dá)式。文獻(xiàn)［9］給出了陸地應(yīng)用的GPS 接收機(jī)中載波環(huán)的環(huán)路帶寬典型取值，但未給出適用于一般接收機(jī)的最佳環(huán)路帶寬取值推導(dǎo)過程及表達(dá)式。文獻(xiàn)［10－12］提出了基于卡爾曼濾波器或擴(kuò)展卡爾曼濾波器的載波跟蹤環(huán)路，具有較好的跟蹤性能，但算法實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜。

本文針對(duì)環(huán)路跟蹤誤差的組成，分析了環(huán)路帶寬的取值對(duì)于鎖相環(huán)兩個(gè)最重要的誤差源——環(huán)路熱噪聲誤差和晶振阿倫偏差的影響，基于便于實(shí)現(xiàn)的經(jīng)典二階鎖相環(huán)，給出了適用于低動(dòng)態(tài)下使鎖相環(huán)總的跟蹤誤差最小的最佳環(huán)路帶寬的理論表達(dá)式，并通過實(shí)際硬件測試平臺(tái)進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)

鎖相環(huán)在GNSS 接收機(jī)中的作用是復(fù)現(xiàn)與輸入同頻同相的載波信號(hào)，完成相干解調(diào)。其工作方式是通過閉環(huán)反饋對(duì)輸入信號(hào)的載波進(jìn)行跟蹤，其結(jié)構(gòu)框圖如圖1 所示，包括鑒相器、環(huán)路濾波器和壓控振蕩器(Voltage Controlled Oscillator，VCO)。鑒相器用來檢測輸入信號(hào)與本地載波之間的相位差并輸出誤差信號(hào);環(huán)路濾波器用來對(duì)鑒相器的輸出進(jìn)行低通濾波，濾除鑒相器輸出的高頻分量，防止噪聲對(duì)環(huán)路的誤調(diào)節(jié)，向壓控振蕩器傳遞調(diào)整信號(hào);壓控振蕩器在環(huán)路濾波器輸出的控制信號(hào)作用下使輸出載波頻率向輸入信號(hào)靠近，直至消除頻率差和相位差而鎖定。

圖1 鎖相環(huán)結(jié)構(gòu)Fig.1 The structure of phase－locked loop

3 環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)

環(huán)路濾波器常用的設(shè)計(jì)方法是借助于模擬域環(huán)路濾波器的相關(guān)理論確定傳遞函數(shù)，再通過雙線性變換將其映射到數(shù)字域，以便于數(shù)字化實(shí)現(xiàn)［4－5］。

設(shè)計(jì)環(huán)路濾波器首先需確定其階數(shù)。環(huán)路傳遞函數(shù)分母中的最高次冪的次數(shù)稱為環(huán)路的階數(shù)，常用的環(huán)路濾波器有一階和二階。對(duì)于整個(gè)鎖相環(huán)而言，影響鎖相環(huán)傳遞函數(shù)階數(shù)的因素包括環(huán)路濾波器和壓控振蕩器，由于壓控振蕩器引入了一階，所以通常所說的鎖相環(huán)的階數(shù)等于環(huán)路濾波器的階數(shù)加一［2］。根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性條件［13］，鎖相環(huán)階數(shù)為三階以下時(shí)環(huán)路是無條件穩(wěn)定，而三階以上鎖相環(huán)的穩(wěn)定需要一定的條件［16］。兼顧穩(wěn)定性與性能，本文主要針對(duì)二階環(huán)進(jìn)行討論。

典型的二階鎖相環(huán)采用一階理想積分濾波器，為了便于數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)，通常采用雙線性變換［4］將模擬域的傳遞函數(shù) F (s) 轉(zhuǎn)換為數(shù)字域的傳遞函數(shù) F (z)［5］:

式中，K0為VCO 控制增益;Kd為鑒相器增益，歸一化處理之后Kd=1;ζ 為阻尼系數(shù)，通常取為0.707;T 為環(huán)路積分時(shí)間;ωn為鎖相環(huán)環(huán)路自然角頻率。

其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖2［5］所示。

圖2 一階數(shù)字環(huán)路濾波器框圖Fig.2 The block diagram of one order digital loop filter

由式(2)、(3)可見，VCO 控制增益K0、阻尼系數(shù)ζ、積分時(shí)間T 確定之后，再確定環(huán)路自然角頻率ωn，即可確定環(huán)路濾波器的結(jié)構(gòu)。

4 最佳環(huán)路帶寬值

對(duì)于一階理想積分濾波器，環(huán)路自然角頻率ωn與環(huán)路帶寬BL滿足如下關(guān)系［5］:

環(huán)路帶寬定義為［2，15］

式中，H (2πf)指鎖相環(huán)環(huán)路濾波器的頻率響應(yīng)。

環(huán)路帶寬BL的值影響環(huán)路跟蹤性能:環(huán)路帶寬越窄，環(huán)路對(duì)熱噪聲濾除效果越好，頻率估計(jì)誤差越小，但動(dòng)態(tài)性能較差;環(huán)路帶寬越寬，熱噪聲誤差越大，但對(duì)載體動(dòng)態(tài)適應(yīng)性越好，同時(shí)對(duì)于濾除阿倫方差產(chǎn)生的振蕩器(晶振)噪聲越有利［4，16］。綜合以上因素考慮，環(huán)路帶寬存在一個(gè)最佳取值，使總的環(huán)路跟蹤誤差最小。下面通過推導(dǎo)給出具體表達(dá)式。

對(duì)于GNSS 接收機(jī)跟蹤環(huán)路，其1σ 經(jīng)驗(yàn)門限［4］:

式中，σtPLL表示鑒相器熱噪聲造成的1σ 跟蹤誤差(單位°)。對(duì)于經(jīng)典的反正切鑒相算法，熱噪聲誤差計(jì)算公式［4，15］為

式中，BL表示環(huán)路帶寬(單位Hz)，C/N0表示載噪比，T 表示積分時(shí)間(VCO 校正周期)。

θA表示由阿侖偏差引起的振蕩器顫動(dòng)(單位°)。經(jīng)過二階鎖相環(huán)路之后，由阿侖偏差引起的振蕩器顫動(dòng)可表示如下［4，16］:

式中，σA為晶振短期阿倫偏差，對(duì)于普通溫補(bǔ)晶振σA=1 ×10－9，fL為載波頻率。

σv表示由振動(dòng)引起的振蕩器1σ 顫動(dòng)誤差(單位°)，由外界振動(dòng)環(huán)境和載頻決定［4］，與環(huán)路本身設(shè)計(jì)參數(shù)無關(guān)，此處不作討論。

θe表示由載體運(yùn)動(dòng)造成的動(dòng)態(tài)應(yīng)力誤差［4］。

對(duì)于絕大多數(shù)地面應(yīng)用，載體加速度和加加速度值很小，動(dòng)態(tài)應(yīng)力誤差不作考慮，因此，結(jié)合式(6)～(8)，得到二階鎖相環(huán)1σ 跟蹤誤差為

對(duì)于式(9)，σPLL2可以看作是BL的函數(shù)。對(duì)BL求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，σPLL2取得最小值。在低動(dòng)態(tài)條件下，二階鎖相環(huán)最佳環(huán)路帶寬(單位Hz)為

5 實(shí)驗(yàn)測試與結(jié)果

在實(shí)驗(yàn)測試中，測試系統(tǒng)組成如下:載波生成系統(tǒng)由信號(hào)源和噪聲源構(gòu)成，數(shù)字接收基帶由FPGA芯片、溫補(bǔ)晶振(TCXO)和A/D 接口電路組成的硬件平臺(tái)實(shí)現(xiàn)。測試系統(tǒng)組成如圖3 所示。

圖3 測試系統(tǒng)組成框圖Fig.3 The block diagram of the test system

信號(hào)源型號(hào)為Agilent E4438C，噪聲源型號(hào)為SU4300。FPGA 的型號(hào) 是 Xilinx Sparten3 XC3S1400AN，A/D 芯片的型號(hào)是AD9288，溫補(bǔ)晶振頻率為68 MHz。載波鎖相環(huán)在FPGA 芯片上實(shí)現(xiàn)，其結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

圖4 鎖相環(huán)組成框圖Fig.4 The block diagram of PLL

信號(hào)源產(chǎn)生中頻為8 MHz的載波，A/D 采樣芯片在68 MHz的時(shí)鐘驅(qū)動(dòng)下對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行采樣，通過并行總線傳至FPGA 芯片，與本地?cái)?shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator，NCO)生成的兩路正交載波(cos＆sin)進(jìn)行相乘，相乘通過積分器積分后進(jìn)入鑒相器，積分時(shí)間約為1 ms。反正切鑒相運(yùn)算采取坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算(Coordinate Rotation Digital Computer，Cordic)算法實(shí)現(xiàn)，鑒相結(jié)果通過環(huán)路濾波器，環(huán)路濾波器結(jié)構(gòu)如圖2 所示。環(huán)路濾波器輸出頻率控制字給本地NCO 生成本地載波，NCO 采取直接數(shù)字頻率合成(Direct Digital Synthesizer，DDS)方式實(shí)現(xiàn)，相位累加器長度為33。

當(dāng)載噪比C/No分別為50 dB·Hz、55 dB·Hz時(shí)，取不同的環(huán)路帶寬值，硬件平臺(tái)實(shí)測的鑒相器輸出的1σ 相位差如圖5 所示。

由圖5 和圖6 可見，實(shí)測誤差結(jié)果與理論誤差值變化趨勢一致，證明了本文關(guān)于低動(dòng)態(tài)下鎖相環(huán)最佳環(huán)路帶寬取值推導(dǎo)的正確性。但與理論誤差值比較，實(shí)測結(jié)果誤差絕對(duì)值較大，原因是采樣量化誤差及FPGA 實(shí)現(xiàn)過程中的變量長度舍入誤差導(dǎo)致，不影響最佳帶寬的取值判斷。

6 結(jié)束語

圖5 鑒相器實(shí)測結(jié)果Fig.5 The measured results of phase discriminator

圖6 為根據(jù)式(10)計(jì)算得到的理論值。

鎖相環(huán)是GNSS 接收機(jī)的重要組成部分，環(huán)路帶寬的取值對(duì)鎖相環(huán)載波跟蹤的動(dòng)態(tài)和噪聲性能有重要影響。本文介紹了鎖相環(huán)和環(huán)路濾波器的結(jié)構(gòu)和基本原理，分析了環(huán)路帶寬的取值對(duì)于鎖相環(huán)兩個(gè)最重要的誤差源——環(huán)路熱噪聲誤差和晶振阿倫偏差的影響，在此基礎(chǔ)上，得出了適用于低動(dòng)態(tài)下二階環(huán)鎖相環(huán)、使環(huán)路總的跟蹤誤差最小的最佳環(huán)路帶寬的理論表達(dá)式，并通過實(shí)際硬件接收平臺(tái)驗(yàn)證了其正確性。本文的結(jié)論不僅可以作為GNSS 接收機(jī)鎖相環(huán)環(huán)路濾波器設(shè)計(jì)的參考，也適用于一般的載波跟蹤環(huán)設(shè)計(jì)。

本文只針對(duì)載體靜止或低動(dòng)態(tài)條件下鎖相環(huán)路的最佳環(huán)路帶寬取值進(jìn)行了分析，未考慮接收機(jī)跟蹤環(huán)路在高動(dòng)態(tài)條件下的動(dòng)態(tài)應(yīng)力誤差。當(dāng)載體動(dòng)態(tài)較大時(shí)，根據(jù)本文的分析方法求解最佳環(huán)路帶寬過程中會(huì)出現(xiàn)高次方程，針對(duì)高次方程的求解比較困難。對(duì)于高動(dòng)態(tài)下的鎖相環(huán)路，需增加環(huán)路階數(shù)，并結(jié)合鎖頻環(huán)輔助，或者采取更為復(fù)雜的卡爾曼濾波算法。

圖6 理論計(jì)算結(jié)果Fig.6 The theoretical calculation results

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