態(tài)函數(shù)熵的意義及應(yīng)用研究

邵琪珺

（無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，江蘇 無錫 214121）

熵的概念已經(jīng)無處不在，它滲透到生物學(xué)、環(huán)境學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。熵增會(huì)使能量彌散，能量退降，使世界向無序和混亂發(fā)展；而熵減可以使自然和社會(huì)的事物向有序的方向發(fā)展。熵不僅聯(lián)系著舊事物的消亡，也與新事物的萌生有關(guān)。熵理論及應(yīng)用已經(jīng)成為人與自然和諧共處的新的世界觀。

1 態(tài)函數(shù)熵

設(shè)熱力學(xué)系統(tǒng)由平衡態(tài)1過渡到平衡態(tài)2，則初終狀態(tài)的態(tài)函數(shù)有

式中，dQ表示系統(tǒng)在其間一個(gè)無限小可逆過程中（溫度為T）所吸收的熱量，S2和S1分別表示系統(tǒng)在狀態(tài)2和狀態(tài)1的熵。

如系統(tǒng)經(jīng)無限小的可逆過程，則

熵的單位是J/K。

根據(jù)卡諾定理，克勞修斯還證明了對(duì)任意孤立系統(tǒng)的不可逆過程，有

綜合式（1）和（3）得出

其中等號(hào)對(duì)應(yīng)于可逆過程，不等號(hào)對(duì)應(yīng)于不可逆過程。顯然，對(duì)于孤立系統(tǒng)而言，它不從外界吸收熱量，則

式（5）為熵增原理——孤立系統(tǒng)的可逆過程，其熵不變；孤立系統(tǒng)的不可逆過程，其熵增加。孤立系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)進(jìn)行的過程必然是一個(gè)不可逆過程，導(dǎo)致熵增。當(dāng)孤立系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時(shí)，熵達(dá)到最大值，因此平衡態(tài)是孤立系統(tǒng)在一定條件下熵值最大的狀態(tài)。用熵增原理可判斷過程進(jìn)行的方向和程度［1－2］。

2 三種熵及相互關(guān)系

前文提出的克勞修斯熵又稱熱力學(xué)熵。玻爾茲曼認(rèn)為，系統(tǒng)的無序度可用系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)w（或稱熱力學(xué)概率）來表述，認(rèn)為：S∝lnW。普朗克引進(jìn)了比例系數(shù)k（玻爾茲曼常數(shù)），得出玻爾茲曼關(guān)系式：

式（6）中的熵稱為玻爾茲曼熵或統(tǒng)計(jì)熵。玻爾茲曼熵是從統(tǒng)計(jì)意義上說明自然界一切自發(fā)進(jìn)行的過程都是從小概率狀態(tài)向大概率狀態(tài)發(fā)展的，平衡態(tài)的熱力學(xué)概率最大。玻爾茲曼熵揭示了宏觀態(tài)與微觀態(tài)的聯(lián)系，指明了熱力學(xué)第二定律的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)。

熵是狀態(tài)函數(shù)，克勞修斯熵只對(duì)平衡態(tài)有意義，它是系統(tǒng)平衡狀態(tài)的函數(shù)，熵的變化量是指系統(tǒng)初、終平衡態(tài)之間的熵變。而玻爾茲曼熵對(duì)系統(tǒng)任意宏觀態(tài)（包括非平衡態(tài)）均有意義，因?yàn)榧词故欠瞧胶鈶B(tài)也有與之對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)概率。由于平衡態(tài)熵值最大，因此可以說克勞修斯熵是玻爾茲曼熵的最大值。玻爾茲曼熵具有更普遍的意義。

仙農(nóng)引入了信源的信息熵，后由詹尼斯將信息熵引入統(tǒng)計(jì)力學(xué)。

式（7）中的熵稱為信息熵或廣義熵。Pi表示系統(tǒng)的第i個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的概率。熵概念的這一推廣，為熵從熱力學(xué)進(jìn)入信息、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域鋪平了道路［2］。

李鶴齡認(rèn)為：三種熵按定義出現(xiàn)有先后，克勞修斯熵最早，玻爾茲曼熵次之，信息熵最晚，但信息熵玻爾茲曼熵克勞修斯熵［3］。

若不確定事件的每個(gè)可能結(jié)果出現(xiàn)的概率相同，即P1＝P2＝…＝Pi＝P，P表示任意可能結(jié)果出現(xiàn)的概率，W 表示可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)，且則式（7）退化為

可見能從信息熵推導(dǎo)出玻爾茲曼熵。同樣李鶴齡也驗(yàn)證了能從玻爾茲曼熵推出克勞修斯熵，從信息熵能推導(dǎo)出克勞修斯熵。

信息熵中的Pi可以是任何一種研究對(duì)象的概率，沒有受到平衡態(tài)、熱力學(xué)系統(tǒng)等的限制，與熱量、能量的轉(zhuǎn)換無關(guān)，可以使用到信息、生物、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，范圍最廣；玻爾茲曼熵具有克勞修斯熵的所有特征，也能延展到非熱力學(xué)系統(tǒng)和遠(yuǎn)離平衡態(tài)的熱力學(xué)系統(tǒng)的非平衡態(tài)，但受到等概率的條件限制；克勞修斯熵是玻爾茲曼熵的最大值，是宏觀的熱力學(xué)理論中的態(tài)函數(shù)，不可能推導(dǎo)出微觀的玻爾茲曼熵。綜上得出信息熵包含的內(nèi)容最廣，玻爾茲曼熵比克勞修斯熵概念廣泛，即信息熵玻爾茲曼熵克勞修斯熵。

3 熵與能量品質(zhì)

從熱力學(xué)第一定律看，能量不會(huì)減少，但從熱力學(xué)第二定律來看，隨著實(shí)際過程的進(jìn)行，能量總在退化。能量品質(zhì)有高有低，品質(zhì)高的能量可做功或供熱，可以轉(zhuǎn)為機(jī)械能、電能等供人類使用，而高品質(zhì)的能量被耗散時(shí)，會(huì)被降級(jí)為較低品質(zhì)的內(nèi)能。不可逆過程在能量利用上的后果總是使一定的能量從能做功的高品質(zhì)能轉(zhuǎn)變?yōu)椴荒茏龉Φ牡推焚|(zhì)能，形成所謂“退降”的能量。

下面以理想氣體的絕熱自由膨脹為例，說明退降的能量Ed與系統(tǒng)的熵的增加成正比［2］。

設(shè)有物質(zhì)的量νmol、溫度為T、體積為V1的理想氣體，與溫度為T的熱庫接觸做等溫膨脹，體積變?yōu)閂2時(shí)，從熱庫吸收熱量Q，并使之全部轉(zhuǎn)化為功Ai，則

如果氣體是通過絕熱自由膨脹使體積變?yōu)閂2，則在膨脹過程中它不對(duì)外做功，熱庫內(nèi)相應(yīng)的這一部分能量也就不可能借助于氣體對(duì)外做功加以利用了。要利用這部分的能量做功，只能借助于溫度為T0的熱庫并使用卡諾熱機(jī)，此時(shí)能得到的功是

這樣由于氣體自由膨脹而退降的能量是

又因?yàn)槔硐霘怏w絕熱自由膨脹的過程不可逆，初終兩態(tài)溫度為T不變，氣體熵的增量為

比較式（11）和式（12）可得

式（13）說明退降的能量與系統(tǒng)的熵增成正比。自然界所有的實(shí)際過程都是不可逆的，使得能量不斷轉(zhuǎn)變?yōu)椴荒茏龉Φ男问?。提高熱機(jī)的效率是提高能量品質(zhì)的一種有效手段，但較難。節(jié)能和開發(fā)新能源是人類社會(huì)的重要課題。

4 熵與自然演化

克勞修斯的所謂“宇宙熱寂說”與達(dá)爾文的進(jìn)化論看似矛盾，實(shí)則不對(duì)立。熱力學(xué)第二定律所揭示的“退化”是在與周圍環(huán)境隔絕的密閉系統(tǒng)，而達(dá)爾文的生物進(jìn)化系統(tǒng)則是一個(gè)時(shí)刻同外界環(huán)境進(jìn)行物質(zhì)、能量、信息交換的開放系統(tǒng)。根據(jù)普利高津方程

式中diS為系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)產(chǎn)生的熵值，該項(xiàng)恒大于零；deS為系統(tǒng)從環(huán)境引入的熵流，即物質(zhì)流、能量流、信息流。系統(tǒng)要想朝有序方向進(jìn)化，就必須從環(huán)境中引入負(fù)熵流。只有當(dāng)負(fù)熵流大于系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)產(chǎn)生的熵增時(shí)，即｜deS｜＞｜diS｜時(shí)dS＜0，才能使系統(tǒng)朝熵減有序的方向進(jìn)化。也就是說系統(tǒng)的進(jìn)化是以環(huán)境中某些方面的退化為代價(jià)的。

比如，人類社會(huì)要生存和發(fā)展，就要不斷地從自然界吸取負(fù)熵，盡可能向自然界索取各種可利用的礦產(chǎn)資源、森林資源、水利資源、動(dòng)植物資源、空氣資源等，人類社會(huì)也是依賴負(fù)熵維持的，同時(shí)又把各種工業(yè)垃圾、生活垃圾、有毒有害的氣體和污染嚴(yán)重的廢水排放到自然環(huán)境中。如果人類無節(jié)制地向自然索取和排放，那么，隨著自然環(huán)境中正熵的積累越來越多，環(huán)境必然日益走向無序、退化。人類的進(jìn)化不能以環(huán)境的退化為代價(jià)。必須協(xié)調(diào)好人與環(huán)境的矛盾，實(shí)現(xiàn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)和保護(hù)環(huán)境的同步性［4］。

5 熵與經(jīng)濟(jì)和社會(huì)

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是復(fù)雜系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中存在物流、能流、貨幣流及相應(yīng)的熵流。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)也是復(fù)雜的開放系統(tǒng)，它不斷與自然界進(jìn)行物質(zhì)、能量、熵的交換。在物質(zhì)交換中，輸入物料資源、排除廢物和產(chǎn)品。在能量交換中，輸入可利用能，排除廢物和廢熱。經(jīng)濟(jì)過程的生產(chǎn)、流通、消費(fèi)環(huán)節(jié)都導(dǎo)致總熵增加。

有專家提出了經(jīng)濟(jì)能的概念。經(jīng)濟(jì)能是一種特殊的復(fù)合能量，它不僅具有各種類型的物理能和化學(xué)能，還具有在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中做功的能力，即影響社會(huì)消費(fèi)和社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。類似于“能量退降”，在人類社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)濟(jì)能也不能全部利用。即使科學(xué)技術(shù)再先進(jìn)，經(jīng)濟(jì)能也不能全部轉(zhuǎn)化為有效能，總有一部分轉(zhuǎn)化為無效能，造成經(jīng)濟(jì)過程中的熵增［5］。生產(chǎn)過程中原料變成產(chǎn)品，產(chǎn)品部分熵減少了，但環(huán)境中的熵增加了（包括生產(chǎn)過程中廢物和廢熱的排入）。工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中形成的無法處理的廢水，無法降解的白色污染，沙化的土地導(dǎo)致熵增；流通過程中各種交通工具產(chǎn)生的廢氣、揚(yáng)塵導(dǎo)致熵增；消費(fèi)過程中人體的新陳代謝，生活用品的升級(jí)換代，也必然帶來環(huán)境污染和巨大的熵增。在生產(chǎn)中知識(shí)、技術(shù)等負(fù)熵流很重要，可以保證科學(xué)生產(chǎn)，減少能耗和廢品。

要使經(jīng)濟(jì)社會(huì)不斷發(fā)展，同時(shí)減少熵的產(chǎn)生，就要求人類能巧妙地掌握和利用自然規(guī)律，學(xué)習(xí)先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)。信息、知識(shí)和技術(shù)是負(fù)熵，能抵消生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的熵增，使社會(huì)有序發(fā)展。

在市場經(jīng)濟(jì)條件下，過量生產(chǎn)還會(huì)導(dǎo)致大量商品閑置，導(dǎo)致勞動(dòng)力過剩，最終爆發(fā)經(jīng)濟(jì)危機(jī)，只有及時(shí)調(diào)節(jié)供求關(guān)系，調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，解決就業(yè)問題，才能化解經(jīng)濟(jì)危機(jī)。

6 熵與課堂教學(xué)

教學(xué)是復(fù)雜系統(tǒng)，由教和學(xué)兩方面組成，教學(xué)活動(dòng)中的各種聯(lián)系如教師與學(xué)生，學(xué)生與學(xué)生，教師與教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生與教學(xué)內(nèi)容，理論教學(xué)與實(shí)習(xí)教學(xué)等等組成了一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)。教學(xué)又是一個(gè)開放的系統(tǒng)，不斷與外界進(jìn)行著物質(zhì)、信息、能量的交換。教學(xué)系統(tǒng)在運(yùn)行過程中熵會(huì)不斷增大。比如學(xué)生在聽課或?qū)嵙?xí)期間能耗不斷增加，精神會(huì)逐漸萎靡，注意力慢慢下降。從學(xué)期初的飽滿狀態(tài)到對(duì)所學(xué)課程內(nèi)容逐漸失去興趣，甚至無故缺課等。教學(xué)中需要引入負(fù)熵，使得教學(xué)向有序方向發(fā)展［6］。

教師先要針對(duì)不同個(gè)體的學(xué)生制定合理的教學(xué)方案，起點(diǎn)不能太高。課堂教學(xué)中應(yīng)因材施教，尊重學(xué)生個(gè)性。教學(xué)也不能一味灌輸，要提高學(xué)生的參與度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?？刹捎眯〗M討論、動(dòng)手制作等提高學(xué)生的教學(xué)參與度。要多培養(yǎng)學(xué)生的開放性思維，鼓勵(lì)一題多解。教師還可變換教學(xué)節(jié)奏，有張有弛的完成教學(xué)任務(wù)。

開放是宏觀有序的源頭。只有輸入負(fù)熵即增加鮮活的教學(xué)信息，通過生動(dòng)的教學(xué)素材和多彩的教學(xué)形式來提高課堂教學(xué)質(zhì)量，同時(shí)避免過多、過難的教學(xué)內(nèi)容，才能確保教學(xué)系統(tǒng)總熵減少，使得教學(xué)向熵減有序的方向良性發(fā)展。

7 結(jié)語

“熵”這個(gè)源于熱力學(xué)的概念已經(jīng)滲透到人類生活的方方面面。不論是人的新陳代謝、植物的光合作用，還是清潔生產(chǎn)、環(huán)境保護(hù)和可持續(xù)發(fā)展，都能運(yùn)用熵的理論來解決實(shí)際問題。熵理論還能運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展中，保證科學(xué)生產(chǎn)，調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，節(jié)能減排，化解經(jīng)濟(jì)危機(jī)。

作為一名教師，應(yīng)更多的思考熵理論在課堂教學(xué)中的合理應(yīng)用，在開放的教學(xué)系統(tǒng)中，激發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使教學(xué)良性發(fā)展。

［1］ 馬文蔚，周雨青.物理學(xué)教程（上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］ 葉善專，張本袁，張玉萍，等.現(xiàn)代工程技術(shù)物理基礎(chǔ)專題［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2011.

［3］ 李鶴齡.信息熵、玻爾茲曼熵以及克勞修斯熵之間的關(guān)系——兼論玻爾茲曼熵和克勞修斯熵是否等價(jià)［J］.大學(xué)物理，2004（12）：37－40.

［4］ 錢兆華，李銳鋒，高建明.自然辯證法教程［M］.武漢：湖北教育出版社，1999.

［5］ 王恒君.經(jīng)濟(jì)能·經(jīng)濟(jì)熵·經(jīng)濟(jì)危機(jī)［J］.數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2002（2）：72－73.

［6］ 張進(jìn)清，蔣士會(huì).論教學(xué)的復(fù)雜性［J］.廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：哲學(xué)社會(huì)科學(xué)版，2010，46（2）：100－103.