計(jì)算極限題的若干技巧和方法

李長民

天津商務(wù)職業(yè)學(xué)院，天津300350

本文給出的這些方法有些是作者閱讀高等數(shù)學(xué)書籍[1-12]獲得的簡明方法，有些是作者在多年的教學(xué)和科研中深入鉆研的結(jié)果，其中的二重積分法解極限題則是在一般的高等數(shù)學(xué)書、數(shù)學(xué)分析、考研數(shù)學(xué)書和數(shù)學(xué)競賽書籍上都見不到的方法，是作者在閱讀一些數(shù)學(xué)大師的文集和有關(guān)極限論文[13-17]后體會(huì)到的意外收獲。本文將從方程法、一重積分法、二重積分法、羅必塔法則、等價(jià)無窮小代換法、帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式法等入手，通過重點(diǎn)例題和典型實(shí)例進(jìn)行歸納總結(jié)。

一、方程法

利用方程法計(jì)算有些數(shù)列極限的題目，可以簡化解題過程，大大降低解題的難度。

解法2：利用方程法進(jìn)行創(chuàng)新求解。

二、用一重積分法計(jì)算極限

利用一重積分法計(jì)算極限題目是常用的求數(shù)列極限的方法，其做法是把數(shù)列的極限題目轉(zhuǎn)變?yōu)橐恢囟ǚe分進(jìn)行計(jì)算，這樣能夠簡便、快速的得到結(jié)果。

三、用二重積分法計(jì)算極限

用二重積分法求極限的問題較少看到，其做法是把數(shù)列的極限題目轉(zhuǎn)變?yōu)槎囟ǚe分進(jìn)行計(jì)算，下面的例子說明用二重積分法求極限題是相當(dāng)簡便、有效的好方法。

四、乘“1”法

有些極限題目通過乘以等于“1”的式子，可以使較復(fù)雜的式子得以簡化，然后我們可以簡便的求出極限。

解：原式

五、拆項(xiàng)求和法計(jì)算極限

將待求的式子通過各項(xiàng)的拆分相加來消除中間的大多數(shù)項(xiàng)，把式子簡化后即可方便的求出極限。這種使用待定系數(shù)法來拆分簡化和式求極限的方法，多用于數(shù)列極限題目的計(jì)算，一般的計(jì)算步驟是“先拆項(xiàng)求和，再取極限”。

六、利用洛比達(dá)法則求極限

應(yīng)該注意，洛比達(dá)法則并不是總可以使用，如下例。

正確做法如下：

六、利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算極限

七、利用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式求極限

通常我們把用高階無窮小表示余項(xiàng)Rn（x）的泰勒公式稱為帶佩亞諾（Peano）余項(xiàng)的泰勒公式，其數(shù)學(xué)表達(dá)式見公式（1）。

特別是，當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式，應(yīng)用這種特殊形式的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式求當(dāng)x→0時(shí)某些函數(shù)的極限，可以大大簡化解題過程、降低解題難度。其數(shù)學(xué)表達(dá)式見公式（2）。

常用的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒展開式有如下6個(gè)：

分析：此式分子中含有帶根號的項(xiàng)，用洛比達(dá)法則也可以求解，不過比較繁瑣。若使用泰勒公式求解，可以將問題大大簡化。

通過上面幾個(gè)例子，可以看出利用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式求某些函數(shù)的極限具有簡潔、方便、高效的效果。它不像用羅必塔法則求極限有時(shí)需要用多次，而用泰勒公式則可以一步到位，只要觀察出分子、分母無窮小的階數(shù)就可以求出結(jié)果。

八、極限問題的實(shí)際應(yīng)用舉例

例19.計(jì)算第二宇宙速度 （指物體脫離地球引力、在太陽系運(yùn)行所具有的速度）。

解：設(shè)地球質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，地球半徑R=6.370×106米，地心為原點(diǎn)，將物體發(fā)射到離地面高度為h時(shí)所做的功為：

要使物體脫離地球引力場，即把物體發(fā)射到無窮遠(yuǎn)處，這相當(dāng)于h→∞，因而做功總量為：

結(jié)束語：本文從多方面分析了求解極限題目的方法技巧，有些技巧和方法應(yīng)用很廣，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，只要我們能夠靈活地運(yùn)用這些解題技巧，積極思考每一種解題的方法和應(yīng)用范圍，認(rèn)真總結(jié)解題規(guī)律，靈活巧妙地應(yīng)用求極限的各種技巧，就能有效地計(jì)算極限題目。

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