采用不同摩擦定律動(dòng)態(tài)模擬斷層階躍

Kenny J.Ryan David D.Oglesby

0 引言

就幾何形態(tài)和介質(zhì)屬性而言，整個(gè)地球的地震斷層都相當(dāng)不均勻，確定這些屬性如何影響地震破裂是地震學(xué)正面臨的挑戰(zhàn)。這種幾何復(fù)雜性之一便是斷層階躍：地球表面彼此斷錯(cuò)的一組不連續(xù)的、平行的斷層段。在這些斷層段之間的走向上也可部分重疊、不重疊或間斷。具體說，走滑斷層階躍是兩個(gè)或多個(gè)走滑斷層段組成的這種系統(tǒng)。斷層段走向之間的水平斷錯(cuò)量稱為階躍寬度。自然界中觀測(cè)到的斷層階躍寬度從厘米級(jí)到千米級(jí)（Vedder and Wallace，1970；Bartlett et al，1981）。由于地震矩正比于破裂面積，因此地震破裂是終止于斷層階躍還是跨越斷層階躍就成為確定這種地震事件最終震級(jí)的關(guān)鍵。各個(gè)斷層段的強(qiáng)度及其動(dòng)態(tài)應(yīng)力降可能依賴于斷層段的構(gòu)造成熟度（例如，Scholz et al，1986；Manighetti et al，2007）。Manighetti等（2007）特意觀察了一系列大的多段破裂的地震（MW≥6）并證實(shí)了沿各個(gè)斷層段應(yīng)力降的變化，觀測(cè)到不成熟的斷層段有較大的應(yīng)力降。斷層段間應(yīng)力降的變化可影響階躍的動(dòng)態(tài)破裂模型。地震動(dòng)的分布也強(qiáng)烈依賴于所破裂斷層的類型。1992年加利福尼亞蘭德斯MW7.2地震是這種情形的極好例子——至少破裂了5條向北呈右階幾何形態(tài)的主斷層，并且是美國本土40年以來的最大地震（Sieh et al，1993）。過去30年對(duì)斷層階躍已有很多基準(zhǔn)研究，包括數(shù)值研究（例如，Segall and Pollard，1980；Harris and Day，1993；Kase and Kuge，1998；Duan and Oglesby，2006）和觀測(cè)研究（例如，Wesnousky，1988；Sieh et al，1993；Lettis et al，2002； Wesnousky，2006）。這些研究表明地震很容易被較大的階躍寬度（階躍系統(tǒng)中斷層段的斷錯(cuò)距離）所阻止。特別是，野外觀測(cè)表明地震破裂可能不會(huì)跨過階躍寬度大于5km的壓性階躍或階躍寬度大于8km 的張性階躍（Wesnousky，1988；Knuepfer，1989）。很多斷層階躍的數(shù)值研究檢驗(yàn)了走滑階躍的兩種基本類型：壓性和張性階躍（Segall and Pollard，1980；Harris et al，1991；Harris and Day，1993；Kase and Kuge，1998；Harris and Day，1999；Duan and Oglesby，2006；Oglesby，2008）。壓性階躍的斷層滑動(dòng)導(dǎo)致斷層段間的區(qū)域受擠壓，而張性階躍的斷層滑動(dòng)則導(dǎo)致斷層段間的區(qū)域受拉張。兩種類型均顯示了地震破裂期間斷錯(cuò)斷層段之間產(chǎn)生動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)擾動(dòng)。此外，階躍系統(tǒng)中次斷層段上破裂再起始的位置隨該系統(tǒng)為壓性還是張性而變化。起始一般發(fā)生在主斷層段破裂終止之后（例如，Harris and Day，1993；Kase and Kuge，1998）。而且，無論數(shù)值研究還是觀測(cè)研究，均顯示停止相（由主斷層的突然終止而引起的地震輻射）控制斷層破裂能否跨越階躍（Bernard and Madariaga，1984；Spudich and Frazer，1984；Oglesby，2008；Elliot et al，2009）。

因?yàn)榈卣鹕婕皟蓚€(gè)彼此相互滑動(dòng)的斷層面，因此摩擦是地震過程的固有部分。眾所周知，地震由斷層摩擦而儲(chǔ)存的彈性能所引起。并且，摩擦系數(shù)一定程度上決定了破裂的動(dòng)力學(xué)過程。前面引述的所有斷層階躍數(shù)值研究均采用了線性滑動(dòng)弱化（SW）摩擦（Ida，1972；Palmer and Rice，1973；Andrews，1976）。然而，尚未利用諸如速率—狀態(tài)依從摩擦的實(shí)驗(yàn)室導(dǎo)出的摩擦定律對(duì)斷層階躍的破裂屬性作深入研究（Dieterich，1978，1979；Ruina，1983），該摩擦定律能對(duì)破裂起始和動(dòng)力學(xué)提供更實(shí)際的表示。速率—狀態(tài)依從（RS）摩擦定律受滑動(dòng)速率和一個(gè)或多個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)間演化所控制，但一般正如同 Okubo（1989）、Dieterich和Kilgore（1994）及Bizzarri等（2001）所指出的在滑動(dòng)初始時(shí)表現(xiàn)出有效滑動(dòng)弱化行為。假設(shè)接觸隨成熟而變強(qiáng)，速率—狀態(tài)依從摩擦定律公式中的狀態(tài)變量可被認(rèn)為與凹凸體（斷層不斷滑動(dòng)的小接觸面）的強(qiáng)度和滑動(dòng)速度過程有關(guān)。因?yàn)樗俾省獱顟B(tài)依從的摩擦參數(shù)已在實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)中給出，它們?yōu)槟M地震破裂動(dòng)力學(xué)提供了合理的依據(jù)。對(duì)一給定參數(shù)，摩擦定律可用地震破裂初始時(shí)的有效滑動(dòng)弱化曲線來描述。與具有相同應(yīng)力降的低緩滑動(dòng)弱化曲線相比，陡峭滑動(dòng)弱化曲線表示破裂開始和傳播需要相對(duì)少的破裂能。很多實(shí)驗(yàn)研究，包括高速實(shí)驗(yàn)，均顯示出非線性滑動(dòng)弱化曲線（Dieterich，1979；Tsutsumi and Shimamoto，1997；Prakash，1998；Prakash and Yuan，2004；Goldsby and Tullis，2002；Tullis and Goldsby，2003a，2003b；Hirose and Shimamoto，2005）。

有些動(dòng)態(tài)破裂模擬研究包括強(qiáng)速率弱化摩擦（例如，Zheng and Rice，1998；Rojas et al，2009），根據(jù)的是速率—狀態(tài)依從的摩擦構(gòu)架（例如，Okubo，1989），其中，斷層面某點(diǎn)的剪應(yīng)力隨滑動(dòng)速率大幅下降。眾所周知，斷層附近發(fā)現(xiàn)較少的假玻璃熔巖，很可能是由于低摩擦的原因（Sibson，1973）。強(qiáng)速率弱化摩擦可隨滑動(dòng)速度增加，摩擦系數(shù)大幅下降，因而可模擬急驟加熱或微小凹凸體的熔融（Rice，1999，2006；Beeler and Tullis，2003；Beeler et al，2008）。強(qiáng)速率弱化摩擦行為已在Tsutsumi與 Shimamoto（1997）、Prakash（1998）、Prakash與Yuan（2004）、Goldsby與Tullis（2002）、Tullis與 Goldsby（2003a，2003b）和Hirose與Shimamoto（2005）的高滑動(dòng)速率（≈1m／s）實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到。上述實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果與大幅弱化發(fā)生時(shí)的速度為0.2m／s的量級(jí)水平一致，而靜、動(dòng)摩擦系數(shù)的范圍分別為0.6～0.9和0.2～0.3。在地震模擬中采用這些數(shù)值有助于我們約束沿?cái)鄬樱∟ielsen and Olsen，2000）和階躍地區(qū)這種弱化機(jī)制的影響。

摩擦弱化的函數(shù)形式與地震破裂能量收支直接相關(guān)（例如，Andrews，1976；Kanamori and Rivera，2006）。地震的總能量可分成三類：破裂能量、抵抗摩擦而消耗的能量和地震輻射能（見圖2）。有效滑動(dòng)弱化距離d0是破裂過程中應(yīng)力下降的滑動(dòng)距離（Rabinowicz，1951）。因?yàn)閼?yīng)力－滑動(dòng)曲線的形狀隨摩擦定律不同而不同，所以模擬地震的能量收支與摩擦參數(shù)直接相關(guān)。

地震破裂速度已被證實(shí)為地震學(xué)中極其重要的一個(gè)方面，它與地震的關(guān)鍵方面諸如滑動(dòng)、應(yīng)力降和地震動(dòng)等直接相關(guān)。以超剪切破裂速度傳播的破裂能力尤為重要，因?yàn)檫@種破裂可產(chǎn)生相對(duì)較大的平行斷層的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并且所產(chǎn)生的馬赫錐攜有遠(yuǎn)離斷層的大應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度（例如，Dunham and Ar－chuleta，2004；Bernard and Baumont，2005）。根據(jù)對(duì)1979年英皮里爾谷地震、1992年蘭德斯地震、1999年伊茲米特地震、2001年昆侖山地震和2002年迪納利斷層地震的多個(gè)觀測(cè)推斷出了超剪切破裂速度（例如，Archuleta，1984；Olson and Apsel，1982；Spudich and Cranswick，1984；Olsen et al，1997；Bouchon and Vallée，2003；Ellsworth et al，2004）。巖石實(shí)驗(yàn)顯示了沿均勻界面（Rosakis et al，1999；Rosakis，2002；Xia et al，2004）和雙材料界面（Xia et al，2005）的II型裂紋的超剪切轉(zhuǎn)換。超剪切破裂傳播也在很多計(jì)算和理論研究中有預(yù)測(cè)和探討（例如，Andrews，1976；Day，1982；Harris and Day，1997；Cochard and Rice，2000；Madariaga and Olsen，2000；Fukuyama and Olsen，2002；Dunhamet al，2003）。Burridge（1973）和Andrews（1976）證實(shí)在破裂前緣前面?zhèn)鞑サ募羟胁苁沽鸭y尖部的應(yīng)力增加到屈服水平，形成沿?cái)鄬咏缑嬉猿羟兴俣葦U(kuò)展的“子”裂紋。對(duì)于II型斷裂，在能量方面有利的條件下，破裂速度限制為Vrupt≤VRayleigh或者Vrupt≥Vshear（即介于瑞利波與剪切波速之間的破裂速度是不允許的）。Liu和Lapusta（2008）研究表明 “有利的非均勻性”，如先前存在的亞臨界裂紋或高預(yù)應(yīng)力的小片區(qū)，可促進(jìn)II型裂紋從低于瑞利波速變化到超剪切速度（就像被主裂紋驅(qū)動(dòng)為超剪切速度的次裂紋）。Dunham（2007）表明，沿?cái)鄬幼呦虻臄嗔涯芰亢蛻?yīng)力降的變化可導(dǎo)致超剪切轉(zhuǎn)換。此外，Dunham（2007）認(rèn)為超剪切轉(zhuǎn)換的長度對(duì)有效滑動(dòng)弱化距離曲線敏感，具體到采用的摩擦公式就是，由于臨界起始長度較小，隨著滑動(dòng)應(yīng)力減小越快，轉(zhuǎn)換長度就越小。

圖1 用動(dòng)態(tài)有限元程序FaultMod得到的二維斷層幾何模型圖（Barall，2008，2009）。箭頭表示區(qū)域應(yīng)力場(chǎng)。注意次斷層段的位置意味系統(tǒng)是壓性（上）還是張性（下）。星號(hào)表示起始區(qū)。斷層段的長度和重疊部分均固定。階躍寬度可變。對(duì)任何給定的模擬，只存在一條次斷層（藍(lán)色）（原圖為彩色圖——譯注）

表1 低應(yīng)力模型1）

之前探討摩擦參數(shù)對(duì)破裂動(dòng)力學(xué)影響的研究重點(diǎn)關(guān)注平面斷層，對(duì)非平面斷層動(dòng)力學(xué)的研究幾乎全部采用簡單的滑動(dòng)弱化摩擦。很少有模擬研究看到由復(fù)雜斷層幾何形態(tài)（如斷層階躍）引起的超剪切轉(zhuǎn)換（例如，Oglesby et al，2008）。在這種研究中采用多種類型的摩擦公式可對(duì)有關(guān)斷層階躍的跨越能力和破裂速度的結(jié)果提供一般性表述，或至少提供不同摩擦參數(shù)中這些參數(shù)的相對(duì)值。解析幾個(gè)不同的摩擦公式有助于說明結(jié)果的穩(wěn)健可靠性。

表2 高應(yīng)力模型1）

1 方法

我們采用二維有限元法（FEM）程序FaultMod（Barall，2008）模擬了壓性與張性環(huán)境下沿?cái)鄬与A躍的摩擦界面的II型動(dòng)態(tài)破裂（圖1）。二維地震破裂模型可對(duì)幾何參數(shù)提供合理的檢驗(yàn)，并可很好地?cái)U(kuò)展為三維情 況 （例 如，Harris and Day，1993，1999）。所有模擬均約束為只允許平行于平面的運(yùn)動(dòng)（平面應(yīng)變）。破裂約束為發(fā)生在兩個(gè)平行斷層段的一個(gè)或兩個(gè)上。我們假設(shè)介質(zhì)為均勻線彈性材料。每個(gè)斷層段長為50km，兩段之間的重疊部分長7km。無論壓性還是張性環(huán)境，該重疊長度足以使破裂在次斷層上再起始。階躍寬度，或稱斷錯(cuò)距離，是可變的，可使我們確定在我們的參數(shù)設(shè)置下沿?cái)鄬与A躍破裂可跨越（垂直于斷層走向）的最大距離。FaultMod程序自動(dòng)生成網(wǎng)格，在不損失計(jì)算精度的前提下采用隨遠(yuǎn)離斷層系統(tǒng)網(wǎng)格尺寸加倍的網(wǎng)格來減少計(jì)算資源，并在南加利福尼亞地震中心與美國地質(zhì)調(diào)查局的破裂基準(zhǔn)問題中得到有效應(yīng)用（Barall，2009；Harris et al，2009）。該程序包含人工黏性阻尼（Dalguer and Day，2007）和算法阻尼以幫助沿網(wǎng)格邊界的阻尼振蕩和能量吸收邊界條件避免模型邊界的人為效應(yīng)。我們分別考慮了相對(duì)小和大絕對(duì)應(yīng)力場(chǎng)及小和大應(yīng)力降對(duì)系統(tǒng)摩擦的影響（表1和表2）。大絕對(duì)應(yīng)力場(chǎng)約為小絕對(duì)應(yīng)力場(chǎng)的5倍。

我們比較了4種摩擦公式，包括線性滑動(dòng)弱化（SW）摩擦和3種速率—狀態(tài)依從摩擦：衰變定律（RS－AL）、滑動(dòng)定律（RS－SL）和強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律（RS－SRW）。線性滑動(dòng)弱化摩擦的判據(jù)如下（Ida，1972）：

式中，μ為摩擦系數(shù)，δ為累積滑動(dòng)，d0為摩擦系數(shù)從靜態(tài)值降為動(dòng)態(tài)值的滑動(dòng)距離，被稱為是有效滑動(dòng)弱化距離。對(duì)于滑動(dòng)弱化摩擦，摩擦系數(shù)隨滑動(dòng)線性下降。

速率—狀態(tài)依從摩擦的一般形式如下（Ruina，1980，1983；Linker and Dieterich，1992）：

式中，μ0代表摩擦系數(shù)的恒定參考值，a和b是由實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)估計(jì)得到的本構(gòu)參數(shù)；V0和θ0分別是滑動(dòng)速率和滑動(dòng)面狀態(tài)的參考值，因此當(dāng)V＝V0和θ＝θ0時(shí)，摩擦系數(shù)為μ0；θ是時(shí)間單位，理論上代表某一滑動(dòng)速度下接觸的強(qiáng)度；σeff為有效正應(yīng)力。括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)是摩擦系數(shù)。注意，滑動(dòng)速度V增加，相應(yīng)的摩擦也增加，并隨著滑動(dòng)速度增加，凹凸體處于接觸狀態(tài)的時(shí)間更短，使得θ變小，最終摩擦力降低。

遵循Barall（2009）的做法，我們采用公式（2）括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)變換后的形式，對(duì)于很小的滑動(dòng)速度，它也不會(huì)變?yōu)槠娈悾?/p>

對(duì)于地震學(xué)方面的滑動(dòng)速度，這種速率—狀態(tài)依從摩擦定律形式非常接近于公式（2）。注意公式（3）的右邊當(dāng)ψ＝bln（θ／θ0）時(shí)具有公式（2）中的有效摩擦系數(shù)形式。概念上，ψ可代表接觸強(qiáng)度。

對(duì)于衰變定律，狀態(tài)變量根據(jù)方程（4）演變：

速率—狀態(tài)相依從的衰變定律的摩擦也隨滑動(dòng)相對(duì)線性下降（相對(duì)于滑動(dòng)定律）。在衰變定律中，狀態(tài)變量根據(jù)方程（5）演變：

速率—狀態(tài)依從的滑動(dòng)定律隨滑動(dòng)具有初始陡峭上凹的函數(shù)形式（Ruina，1980，1983）。衰變定律（公式4）和滑動(dòng)定律（公式5）均可歸納為穩(wěn)態(tài)滑動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)公式：

強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律，顯著不同于滑動(dòng)定律，包括下列穩(wěn)態(tài)方程（例如，Rice，1999，2006；Beeler and Tullis，2003；Rojas et al，2009）：

式中μs為強(qiáng)摩擦系數(shù)，μw為弱摩擦系數(shù)，Vw為弱化（摩擦強(qiáng)度）發(fā)生的速度。

由Palmer和 Rice（1973）及 Andrews（1976）定義的沿破裂特定位置的有效破裂面能量（EFSE）為：

式中，τ為剪應(yīng)力，δ為累積滑動(dòng)。許多數(shù)值研究將有效破裂面能量限制為在破裂面上相對(duì)恒定；然而，這一假設(shè)是不現(xiàn)實(shí)的。比如，Andrews（2005）指出，有效破裂面能量（因而還有d0）沿破裂面并不恒定，并可由于地震動(dòng)力學(xué)過程而增加。斷層損傷區(qū)的非彈性變形也對(duì)地震的能量收支有貢獻(xiàn)（為數(shù)值簡化，它通常與破裂能量混在一起）。應(yīng)該指出的是，由于非線性摩擦關(guān)系中d0選擇的主觀性，對(duì)有效破裂面能量的估計(jì)可能也有些主觀（例如，Bizzarri and Cocco，2003；Rojas et al，2009）。眾所周知，動(dòng)力學(xué)模擬呈現(xiàn)出滑動(dòng)應(yīng)力的下沖或過沖（例如，Mai et al，2006），并可導(dǎo)致有效破裂面能量的不確定性。對(duì)于滑動(dòng)弱化摩擦，d0更易數(shù)值定義和實(shí)現(xiàn)。但是，速率—狀態(tài)依從的摩擦參數(shù)的d0變量卻不容易定義。在速率—狀態(tài)依從的公式中，本構(gòu)參數(shù)L代表特征滑動(dòng)距離，與d0密切相關(guān)。Cocco和Bizzarri（2002）研究顯示，L與d0為線性比例關(guān)系，對(duì)于速率—狀態(tài)依從的衰變定律，典型參數(shù)d0／L比大約為15。

圖2 地震能量劃分簡化示意圖。實(shí)黑線表示斷層上某點(diǎn)隨滑移的剪應(yīng)力。輻射能量密度中的灰三角表示破裂能量密度的全減法。注意該圖表示普遍的非線性弱化曲線。不同的摩擦定律產(chǎn)生了不同的弱化曲線幾何形狀（原圖為彩色圖——譯注）

為了將線性滑動(dòng)弱化摩擦和速率—狀態(tài)依從的摩擦公式進(jìn)行比較，我們必須定義速率—狀態(tài)依從公式中的d0。這樣，我們就可以使用通用的d0值，從而剝離公式本身的影響。對(duì)于速率—狀態(tài)依從的定律，我們估計(jì)d0為大約98%的總應(yīng)力降發(fā)生的距離。因?yàn)閷?duì)每一定律，d0依賴于速率—狀態(tài)依從公式中的本構(gòu)參數(shù)（對(duì)給定的應(yīng)力狀態(tài)），即L，我們對(duì)每個(gè)與速率和狀態(tài)相關(guān)的公式采用特定的L值以形成一個(gè)通用的有效滑動(dòng)弱化距離。我們通過用速率—狀態(tài)依從的摩擦公式處理模型，匹配了線性滑動(dòng)弱化、衰變定律和滑動(dòng)定律公式的最大和滑動(dòng)剪應(yīng)力，然后在線性滑動(dòng)弱化摩擦框架下選出合適的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)。對(duì)于速率—狀態(tài)依從的參數(shù)，最大和滑動(dòng)剪應(yīng)力事先未知；但是，Bizzarri和Cocco（2003）表明，這些值可用確定動(dòng)態(tài)滑動(dòng)速度的剪切阻抗關(guān)系和狀態(tài)變量的初始值來近似估算。因而，在本研究范圍內(nèi)，通過參數(shù)化速率—狀態(tài)依從的關(guān)系就能模擬線性滑動(dòng)弱化關(guān)系（盡管并未在此嘗試）。圖2顯示簡化的地震能量收支示意圖以及它如何與摩擦定律的函數(shù)形式相關(guān)。我們肯定地指出，輻射的能量密度應(yīng)被認(rèn)為是整個(gè)斷層的平均；單點(diǎn)的輻射能量密度不容易由應(yīng)力—滑動(dòng)弱化曲線確定，因?yàn)榇蟛糠謹(jǐn)鄬邮峭瑫r(shí)滑動(dòng)的，并且有復(fù)雜的應(yīng)力波相互作用。然而，破裂能量沿?cái)鄬訂吸c(diǎn)耗散，使其容易從模型中測(cè)量。注意，在均勻的初始條件下，我們所有模型的破裂能量在所有破裂點(diǎn)均大致為常數(shù)（即所有點(diǎn)的d0大致相同），但是除非另有說明，不同摩擦參數(shù)的破裂能量不必相同（即使有相同的d0）。圖3中通過將低應(yīng)力和高應(yīng)力模型中所有摩擦公式中的應(yīng)力繪制為滑動(dòng)的函數(shù)，我們闡明了有效滑動(dòng)弱化距離均等化的方法。注意在d0相同時(shí)，這些參數(shù)的破裂能量相當(dāng)不同。而圖4顯示了破裂能量相等時(shí)的相同摩擦公式。因此，最大到d0的弱化曲線下的面積近似相等（＜3%的差異）。動(dòng)力學(xué)模擬參數(shù)研究顯示地震S比率：

式中，τy為屈服強(qiáng)度，τ0為初始加載應(yīng)力，τf為最終滑動(dòng)應(yīng)力，控制平面斷層上向超剪切速度轉(zhuǎn)換的破裂能力（Andrews，1976；Das and Aki，1977；Day，1982）。地震S比率不僅對(duì)預(yù)示超剪切轉(zhuǎn)換很重要，同時(shí)也有助于確定沿?cái)鄬与A躍的最大跨越破裂長度（Harris and Day，1993）。對(duì)于二維模擬，S＝1.77是閾值，大于該值，破裂就不能形成向超剪切速度的轉(zhuǎn)換（Andrews，1976）。對(duì)于介于0與1.77之間的值，有一個(gè)相關(guān)的轉(zhuǎn)換長度Ltrans（例如，Xia et al，2004）：

圖3 低應(yīng)力模型（上）和高應(yīng)力模型（下）的有效滑動(dòng)弱化距離曲線。為了對(duì)本研究中所有摩擦參數(shù)作有效對(duì)比，我們將每個(gè)摩擦公式調(diào)整為具有相同的有效滑動(dòng)弱化距離。對(duì)于衰變定律和滑動(dòng)定律的公式，我們將有效滑動(dòng)弱化距離測(cè)量為斷層段上某點(diǎn)完成98%的應(yīng)力降的距離。強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律與滑動(dòng)定律具有相同的L（速率和狀態(tài)框架的長度參數(shù)）值。我們將所有模型的d0近似為0.6m。盡管這一判據(jù)具有主觀性，但它為所有模型提供了共同的基礎(chǔ)。注意相關(guān)破裂能量密度在不同摩擦參數(shù)間相應(yīng)變化（即弱化曲線下的面積）（原圖為彩色圖——譯注）

式中，

ν為泊松比，G為剪切模量。次瑞利波速破裂必須在達(dá)到超剪切速度前傳播Ltrans的距離。

在我們的二維研究中，斷層長度控制滑動(dòng)持續(xù)時(shí)間，因此從沿走向邊緣向內(nèi)滲透的停止相控制破裂持續(xù)時(shí)間。因而，我們的模型代表大體為25km長的孕震區(qū)（Harris and Day，1993）。我們選取泊松比為0.25，因此α＝，其中α為P波速度，β為S波速度。為了準(zhǔn)確求解破裂過程，有限元法的離散化必須能求解如下方面：（1）P波橫穿最小單元尺寸的時(shí)間；（2）狀態(tài)變量演化（對(duì)速率—狀態(tài)依從的模擬）；（3）黏結(jié)區(qū)域的離散化（Palmer and Rice，1973）。為了檢查，我們改寫了Bizzarri和Cocco（2003）的方程（A3b）：

和一般條件（例如，Andrews，1985）

式中Δx為最小單元尺寸，Vrupt為破裂速度，Vave為節(jié)點(diǎn)從其達(dá)到屈服應(yīng)力到滑動(dòng)應(yīng)力的時(shí)間段內(nèi)的平均速度，α為P波速度，Δt為一個(gè)時(shí)間步長。此外，我們檢查每個(gè)模型黏結(jié)區(qū)內(nèi)的單元數(shù)量要為4個(gè)或以上，這是我們認(rèn)為的求解過程的最小值。注意黏結(jié)區(qū)中單元數(shù)量最低的情形包含強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律模型。為了滿足方程（11）和（12），我們的高應(yīng)力模型沿?cái)鄬佑?0m的網(wǎng)格增量，而低應(yīng)力模型沿?cái)鄬觿t有100m的網(wǎng)格增量。為具有可比性，我們?cè)诿總€(gè)應(yīng)力系統(tǒng)中的所有摩擦定律均采用相同的網(wǎng)格增量。此外，確定我們的模擬正確求解的可靠方法是比較不同時(shí)間的破裂前沿（Harris et al，2009）。因此，我們?cè)囁懔说蛻?yīng)力狀態(tài)下50m單元和高應(yīng)力狀況下25m單元的強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律測(cè)試模型。我們發(fā)現(xiàn)距離起始中心20km遠(yuǎn)處較大增量與較小增量之間的破裂速度的百分比差異小于3%。

圖4 具有可比破裂能量密度的低應(yīng)力（上）和高應(yīng)力（下）模型的有效滑動(dòng)弱化距離曲線。為了使本研究所用的不同摩擦參數(shù)的破裂能量密度等同，相關(guān)的有效滑動(dòng)弱化距離不可能總是相等。注意線性滑動(dòng)弱化摩擦和速率—狀態(tài)衰變定律的函數(shù)形式相似，因此可有相似的有效滑動(dòng)弱化距離和破裂能量密度（原圖為彩色圖——譯注）

圖5 低應(yīng)力（上）和高應(yīng)力（下）模型的最大跨越距離。圖中顯示了每一摩擦公式的垂直于走向的最大跨越破裂距離。實(shí)線區(qū)域表明具有等價(jià)滑動(dòng)弱化距離的模型跨越距離最大（除了強(qiáng)速率弱化模型）。具有等價(jià)破裂能量密度的模型跨越距離最大，用虛線區(qū)表示。虛線區(qū)從不低于實(shí)線區(qū)。注意，y軸因?yàn)楹瑥?qiáng)速率弱化摩擦的滑動(dòng)定律模型跨躍距離很大而斷開了（原圖為彩色圖——譯注）

破裂在起始半寬度rn內(nèi)通過主斷層段中間的剪應(yīng)力增強(qiáng)擴(kuò)展區(qū)人工起始（見圖1），低應(yīng)力模型為3km，高應(yīng)力模型為0.6km；隨后允許破裂根據(jù)摩擦公式自發(fā)傳播。低應(yīng)力和高應(yīng)力模型中的起始區(qū)均很大，足以限制離散化的影響，并且成比于（μd0）／（τy－τ0）， 其 中 μ 為 剪 切 模 量。 因此，低應(yīng)力模型的rn是高應(yīng)力模型的5倍。盡管本研究未關(guān)注起始過程的細(xì)節(jié)，但我們?nèi)员M量限制起始區(qū)的大小以限制人工起始對(duì)破裂過程的影響。起始區(qū)大小如何影響沿?cái)鄬与A躍的破裂屬性尚需進(jìn)一步的研究。

2 結(jié)果

本節(jié)中，我們首先基于具有等價(jià)有效滑動(dòng)弱化距離d0的各種摩擦參數(shù)討論最大破裂跨越距離。在第二小節(jié)中，我們重點(diǎn)討論3個(gè)具有等價(jià)破裂能量的摩擦參數(shù)（不保證具有等價(jià)的有效滑動(dòng)弱化距離）下的最大跨越距離。最后，我們報(bào)道之前未曾見到的超剪切破裂轉(zhuǎn)換模式，它在斷層階躍系統(tǒng)中破裂從主斷層跨躍至次斷層時(shí)發(fā)生。

2.1 用等價(jià)d0比較不同摩擦參數(shù)

圖6 當(dāng)有效滑動(dòng)弱化距離和摩擦系數(shù)保持恒定時(shí)，應(yīng)力擴(kuò)大后的線性滑動(dòng)弱化曲線導(dǎo)致地震輻射密度與破裂能量密度之比變大（原圖為彩色圖——譯注）

本研究的主要目的是直接對(duì)比斷層階躍地震破裂采用的多種不同摩擦參數(shù)。對(duì)比其他等效模型的一個(gè)方法是將上述各個(gè)摩擦公式中的有效滑動(dòng)弱化距離d0設(shè)為相同。在d0相同的假設(shè)下，我們發(fā)現(xiàn)在斷層階躍區(qū)內(nèi)不同摩擦定律之間破裂特性有顯著差異。我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于相同d0，無論壓性還是張性階躍系統(tǒng)，與等效衰變定律模型或線性滑動(dòng)弱化模型相比，滑動(dòng)定律模型使破裂跨越的階躍寬度更大（圖5）?；瑒?dòng)定律和線性滑動(dòng)弱化模型就最大跨越距離來說十分相似，因?yàn)樗鼈兙哂蟹浅Ｏ嗨频娜趸€函數(shù)形式。但是，滑動(dòng)定律與衰變定律和線性滑動(dòng)弱化模型相比，弱化曲線更為上凹，破裂能量更小。因此，它使主斷層段釋放更多的地震波能量，且沿次斷層段起始破裂所需的臨界片區(qū)尺度較小。因此，根據(jù)我們的判據(jù)，采用滑動(dòng)定律時(shí)次斷層段的二次起始更容易發(fā)生。由于應(yīng)力降更大，以及相應(yīng)的地震波能量也更大，強(qiáng)速率弱化（RS－SRW）模型能夠跨越很大的階躍寬度（大于7km）?？偟膩碚f，與低應(yīng)力模型相比，高應(yīng)力模型采用滑動(dòng)弱化、衰變定律、滑動(dòng)定律不同摩擦定律間的最大跨越距離的差別較?。▓D5）。我們將這一效果歸因于隨滑動(dòng)增加地震的破裂能量與總勢(shì)能之比的縮小。圖6說明了這種效果。假設(shè)屈服剪應(yīng)力接近于初始剪應(yīng)力，上述所有模型采用了相同的d0，破裂能量與地震波能量之比和d0與總滑移量之比近似成比例。然而，高應(yīng)力模型的總滑動(dòng)量遠(yuǎn)大于低應(yīng)力模型。換言之，雖然它們具有不同的函數(shù)形式，但高應(yīng)力模型中地震輻射能量與破裂能量之比卻增加，導(dǎo)致對(duì)破裂動(dòng)力學(xué)（即最大跨越距離）產(chǎn)生相似效果的不同摩擦公式。我們承認(rèn)，低應(yīng)力狀態(tài)的衰變定律、滑動(dòng)弱化和強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律模型，壓性階躍的最大跨越距離比張性階躍大，這與之前的一些研究（例如，Harris and Day，1993）不同，可能是由于應(yīng)力狀態(tài)不同所致。

2.2 用等價(jià)破裂能量比較不同摩擦參數(shù)

我們發(fā)現(xiàn)還有其他方法來比較不同摩擦定律（如用相等的有效滑動(dòng)弱化距離）。d0相等時(shí)，我們將最大破裂跨越距離的不同歸因于摩擦定律的函數(shù)形式和相關(guān)的能量收支。為測(cè)試分離破裂能量后函數(shù)形式的單獨(dú)影響，我們采用衰變定律、滑動(dòng)定律及滑動(dòng)弱化摩擦模擬了破裂能量相等的地震破裂（圖4）。注意，我們?cè)谶@里未考慮強(qiáng)速率弱化公式，因?yàn)樗腔瑒?dòng)定律的一種特殊形式，且有完全不同的能量收支。將所有破裂能量縮放為先前滑動(dòng)定律模型的破裂能量［方程（8）中取d0為0.6m計(jì)算滑動(dòng)定律模型的破裂能量］，滑動(dòng)弱化與衰變定律的最大破裂跨越距離的不同相對(duì)于滑動(dòng)定律模型是十分小的（圖5）。因此，與每一摩擦定律相關(guān)的破裂能量對(duì)最大跨越距離具有一階影響，特別是低應(yīng)力的情況。由于我們的網(wǎng)格分辨率，無論高應(yīng)力模型還是低應(yīng)力模型，50m與100m網(wǎng)格尺寸的最大跨越寬度的差異并不顯著。高應(yīng)力模型表明，除強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律模型外，無論使用哪種摩擦定律，最大破裂跨越距離都可以非常相似。雖然對(duì)最大跨越距離的主要影響來自于破裂能量，但每個(gè)摩擦定律的函數(shù)形式仍然影響最大跨越距離，盡管這一影響并不強(qiáng)。這一結(jié)果與數(shù)值模擬研究一致（Dunham，2007），后者研究顯示滑動(dòng)弱化曲線的初始斜率可確定臨界起始尺度（即，像滑動(dòng)定律的陡峭初始斜率僅需要較小的起始區(qū)使破裂傳播到起始區(qū)以外）。全面了解不同摩擦定律間的變化還需要進(jìn)一步深入的研究，尤其是包含斷層外損傷區(qū)域或沿?cái)鄬涌勺兤屏涯芰康母鼮閺?fù)雜的能量收支。

2.3 作為超剪切轉(zhuǎn)換機(jī)制的斷層階躍

對(duì)本研究中的高應(yīng)力模型，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于特定參數(shù)，在次斷層段的階躍范圍內(nèi)存在超剪切轉(zhuǎn)換。無論是張性還是壓性環(huán)境，超剪切轉(zhuǎn)換發(fā)生于等于或大于某一最小斷層階躍寬度。破裂向超剪切速度的轉(zhuǎn)換似乎有些不可思議，因?yàn)楦鶕?jù)標(biāo)準(zhǔn)的Burridge－Andrews機(jī)制，我們的初始條件原則上阻礙模型超剪切轉(zhuǎn)換。這些模型的地震S比率設(shè)為2.6，大于1.77（該值時(shí)單斷層二維模型不能發(fā)生超剪切轉(zhuǎn)換）。因此，超剪切轉(zhuǎn)換機(jī)制是之前未曾觀測(cè)到的，它與斷層幾何形態(tài)和破裂跨越過程有關(guān)。主斷層段破裂產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)波在次斷層段破裂前改變了其應(yīng)力場(chǎng)，使剪應(yīng)力增加，正應(yīng)力減小，從而引發(fā)了次斷層段的超剪切破裂。對(duì)于衰變定律、滑動(dòng)定律、線性滑動(dòng)弱化摩擦公式，在斷層階躍的破裂延遲之后，超剪切轉(zhuǎn)換優(yōu)先沿壓性和張性環(huán)境發(fā)生。強(qiáng)速率弱化的滑動(dòng)定律模型之所以產(chǎn)生超剪切破裂，是由于較大的應(yīng)力降導(dǎo)致了較低的地震S比率。顯示出從主斷層段到次斷層段的超剪切破裂的模型比沒有顯示超剪切破裂的模型表現(xiàn)出從主破裂結(jié)束到次破裂開始間的更長的時(shí)間延遲。時(shí)間延遲越長的模型階躍寬度越大。因此，為使超剪切轉(zhuǎn)換發(fā)生，需要一個(gè)相應(yīng)的最小階躍寬度。對(duì)于壓性環(huán)境，當(dāng)d0相同時(shí)，維持次斷層段上超剪切破裂所需的最小階躍寬度分別是線性滑動(dòng)弱化摩擦為0.6km，速率—狀態(tài)依從的衰變定律為0.6km，速率—狀態(tài)依從的滑動(dòng)定律為0.7km。所有最小值以上的階躍寬度均能維持整個(gè)次斷層段長度的超剪切破裂（除非破裂不能跨越至次斷層段）。然而，張性環(huán)境下超剪切破裂的出現(xiàn)似乎不太系統(tǒng)，盡管它們也存在超剪切轉(zhuǎn)換所需的最小階躍寬度，卻沒有可辨別的模式（如并非所有最小值以上的階躍寬度必然維持超剪切破裂速度）。最終，這一效應(yīng)很可能取決于起始區(qū)附近的地震S比率和沿走向的Ltrans的變化。我們強(qiáng)調(diào)的是，如圖7所示，無論是壓性環(huán)境還是張性環(huán)境，再起始均發(fā)生于正應(yīng)力減小的區(qū)域。

我們發(fā)現(xiàn)，使次斷層上產(chǎn)生超剪切速度轉(zhuǎn)換的破裂能力與再起始區(qū)域內(nèi)地震S值的空間分布有關(guān)。圖7為次斷層段破裂前的地震S比率圖。圖7a為壓性環(huán)境下采用衰變定律摩擦的階躍寬度為0.4km的例子；在此情況下，破裂不能維持超剪切速度。圖7b為壓性環(huán)境下階躍寬度為1km的另一實(shí)例——次斷層再起始后快速轉(zhuǎn)換（并保持）為超剪切速度。為了運(yùn)行Burridge－Andrew超剪切轉(zhuǎn)換機(jī)制，破裂必須在裂紋尖端前沿的S波應(yīng)力能激起超剪切破裂之前傳播Ltrans的距離。次斷層上每點(diǎn)的Ltrans值在圖中給出。對(duì)于次斷層段上保持超剪切破裂的情形（圖7b），再起始區(qū)域附近的S值和Ltrans值小。因此我們看到，為使超剪切破裂覆蓋整個(gè)次斷層，超剪切S值（小于1.77）只需在包含再起始點(diǎn)的小區(qū)域（但比臨界裂紋長度大）內(nèi)發(fā)生。換句話說，如果減小的Ltrans值小于等于沿走向減小的Ltrans區(qū)域的寬度時(shí)，超剪切轉(zhuǎn)換發(fā)生。例如，如果在寬度大于1km的區(qū)域Ltrans為1，那么當(dāng)自維持滑動(dòng)發(fā)生時(shí)超剪切轉(zhuǎn)換便發(fā)生。這是圖7b的情形。相反，圖7a中（無超剪切轉(zhuǎn)換），當(dāng)成核區(qū)域周圍的S小于1.77時(shí)，Ltrans值仍然很大，阻止了超剪切轉(zhuǎn)換覆蓋整個(gè)次斷層長度。一旦破裂開始以超剪切速度沿次斷層段擴(kuò)展時(shí)，它滿足■2β＜Vrupt＜α，這與 Andrews（1976）預(yù)測(cè)的一樣。

圖7 （a）滑動(dòng)弱化摩擦下0.4km壓性階躍的次斷層段再起始前的應(yīng)力快照（第一和第二行）。－8km至－1km的S比率和Ltrans值。再起始發(fā)生在沿走向的－3.9km處（第三和第四行）。沿?cái)鄬友娱L段的S值和Ltrans值不夠低，不能產(chǎn)生次斷層段持續(xù)的超剪切破裂。（b）滑動(dòng)弱化摩擦下1km壓性階躍次斷層段再起始之前的應(yīng)力快照（第一和第二行）。－8km至－1km的S比率和Ltrans值。再起始／超剪切擴(kuò)展開始于沿走向的－5km處（第三和第四行）。沿?cái)鄬友娱L段的S比率和Ltrans值足夠低，產(chǎn)生了次斷層段的持續(xù)超剪切破裂。（c）衰變定律下0.7km壓性階躍的特征超剪切轉(zhuǎn)換的平行斷層走向的速度。起始區(qū)用黑色星號(hào)表示。次斷層段速度大幅增加。第一段破裂結(jié)束與第二段破裂開始間有約為15s的延遲。此外，在38.8s處標(biāo)出了超剪切（S－S）馬赫錐、P波前沿和緊隨超剪切破裂的次瑞利（S－R）滑動(dòng)脈沖（原圖為彩色圖——譯注）

圖7 c為壓性環(huán)境下0.7km階躍寬度的典型超剪切轉(zhuǎn)換。一旦破裂達(dá)到超剪切速度，我們看到平行于斷層有更大的速度。值得注意的是，從主斷層段破裂結(jié)束到次斷層段破裂開始有相當(dāng)大的延遲（≈15s）。一旦發(fā)生再起始，超剪切破裂立即擴(kuò)展。我們標(biāo)出了38.8s處的P波前沿、超剪切（S－S）馬赫錐和次瑞利（S－R）滑動(dòng)脈沖。在高應(yīng)力環(huán)境下，長度為100km（近似為斷層階躍模型中主、次斷層段的總長度）的單個(gè)走滑斷層模型并未顯示出超剪切破裂轉(zhuǎn)換，證明轉(zhuǎn)換并非方向性的結(jié)果。

3 討論

本研究重點(diǎn)研究不同摩擦定律對(duì)沿走滑斷層階躍的破裂擴(kuò)展的影響。采用較為實(shí)際的實(shí)驗(yàn)室導(dǎo)出的摩擦定律來模擬破裂過程是地震學(xué)永恒的追求。速率—狀態(tài)依從的摩擦公式不僅包括如時(shí)間、滑動(dòng)速度過程和正應(yīng)力過程等的直觀變量，而且展現(xiàn)出如黏滑錯(cuò)動(dòng)、蠕動(dòng)、愈合等的合理特性（Dieterich，1978，1979；Linker and Dieterich，1992）。在我們的摩擦框架中，我們采用大約0.6m的有效滑動(dòng)弱化距離d0來對(duì)所有摩擦關(guān)系建立統(tǒng)一性。這與近來研究得出的有效滑動(dòng)弱化距離為1m量級(jí)的結(jié)果一致（Ide and Takeo，1997；Olsen et al，1997）。我們的研究結(jié)果顯示，摩擦的函數(shù)形式對(duì)斷層階躍的破裂動(dòng)力學(xué)過程有顯著影響。當(dāng)假定所有摩擦參數(shù)的d0恒定時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)能量收支的差異與最大跨越距離的差異相關(guān)聯(lián)（特別是與總能量釋放相關(guān)的表面能量）。在這些情況下，速率—狀態(tài)滑動(dòng)定律的破裂能量密度比速率—狀態(tài)衰變定律或滑動(dòng)弱化定律的小，且產(chǎn)生更多的地震輻射從而使破裂可以跨越更遠(yuǎn)的距離。當(dāng)將各個(gè)摩擦定律的破裂能量密度設(shè)為相等時(shí)，最大跨越距離的差異大幅下降，但是滑動(dòng)定律的較大初始應(yīng)力—滑移斜率仍使其產(chǎn)生稍大的最大跨越距離。進(jìn)一步減小差異的一個(gè)方法可能是增加采用經(jīng)典滑動(dòng)弱化摩擦和衰變定律的模型的初始剪切應(yīng)力以使它們?nèi)缁瑒?dòng)定律一樣具有相同的平均地震輻射量。當(dāng)d0相等或破裂能量相等時(shí)，不同摩擦公式的最大跨越距離，高應(yīng)力模型比低應(yīng)力模型更為相似。這意味著用高絕對(duì)應(yīng)力模擬跨越破裂時(shí)摩擦定律的類型可變得不太重要。我們還指出，衰變定律與滑動(dòng)弱化摩擦相似，產(chǎn)生了近似線性的弱化曲線，使得模擬衰變定律時(shí)比模擬滑動(dòng)定律更容易調(diào)整滑動(dòng)弱化摩擦。然而，速率—狀態(tài)依從的摩擦一個(gè)非常重要的方面，特別是衰變定律，是滑動(dòng)弱化摩擦不能模擬的直觀的愈合過程（例如，摩擦強(qiáng)度隨接觸時(shí)間增加）。因而，盡管滑動(dòng)弱化和速率－狀態(tài)衰變定律的斷層階躍短期跨越行為非常相似，但這些不同摩擦假設(shè)下的斷層長期行為可能非常不同。

我們的研究結(jié)果顯示，破裂能跨越某一特定斷層階躍的可能性取決所使用的摩擦參數(shù)。觀察跨越的破裂可使我們進(jìn)一步了解哪個(gè)摩擦定律更有效。例如，對(duì)于已知的應(yīng)力降、跨越距離、斷層幾何形態(tài)和滑動(dòng)時(shí)間分布，人們就可用優(yōu)選的摩擦定律提供簡單的模型。采用的演化定律可影響破裂跨越斷層階躍的可能性，并影響模擬地震的預(yù)測(cè)震級(jí)。這一效應(yīng)對(duì)于小的階躍寬度可能至關(guān)重要，特別是當(dāng)部分?jǐn)鄬咏?jīng)受強(qiáng)速率弱化時(shí)。高滑動(dòng)速率的地震會(huì)特別易受非線性弱化曲線和摩擦系數(shù)中大動(dòng)態(tài)應(yīng)力降的影響，進(jìn)而跨越階躍的可能性更大。顯示這種非線性弱化曲線的高速實(shí)驗(yàn)室研究，無疑是探索真實(shí)斷層的動(dòng)力學(xué)模擬中強(qiáng)速率弱化特性的很好理由。根據(jù)我們的一般結(jié)果，基于真實(shí)斷層階躍的動(dòng)力學(xué)模擬可隨所用摩擦定律（以及應(yīng)力狀態(tài)和材料屬性）的不同而產(chǎn)生不同的結(jié)果。我們還看到在高應(yīng)力狀態(tài)下，3種不同的摩擦定律（除了強(qiáng)速率弱化滑動(dòng)定律）的最大跨越距離往往收斂到最大跨越值，表明在高應(yīng)力降、高地震輻射的均勻模型中考慮不同摩擦定律的影響也許并非決定因素。然而，摩擦定律的影響在哪種環(huán)境下更突出并不明顯（如非均勻預(yù)應(yīng)力）。

對(duì)于高應(yīng)力狀態(tài)我們證明，盡管沿?cái)鄬拥某跏嫉卣餝比率（2.6）太大以至于不能在平面走滑斷層上發(fā)生轉(zhuǎn)換，但斷層階躍仍可作為之前未被證實(shí)的超剪切轉(zhuǎn)換模式的觸發(fā)因素。來自主斷層段的地震波改變了次斷層段再起始區(qū)域破裂前的應(yīng)力場(chǎng)，使該區(qū)域的地震S比率達(dá)到允許發(fā)生超剪切破裂速度的值。一旦破裂達(dá)到超剪切速度，它甚至可在有利應(yīng)力區(qū)域外保持超剪切。其他數(shù)值模擬表明了沿走滑斷層的超剪切轉(zhuǎn)換機(jī)制，包括高摩擦阻力區(qū)域（Dunhamet al，2003）和有利的預(yù)應(yīng)力（Fukuyama and Olsen，2002；Liu and Lapusta，2008）和斷層走向變化（Oglesby et al，2008；Oglesby and Mai，2012）區(qū)域。對(duì)具有摩擦界面的光彈板材料的實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)顯示了次瑞利到超剪切的轉(zhuǎn)換。然而，它們的初始應(yīng)力狀態(tài)允許Burridge－Andrews機(jī)制下的超剪切速度。與次瑞利破裂相比，超剪切破裂速度的觀測(cè)證據(jù)表明了很強(qiáng)的平行斷層的地面運(yùn)動(dòng)（例如，Archuleta，1984；Dunham and Archuleta，2004），而且在我們的超剪切模型中沿S波馬赫錐我們也看到了這樣的運(yùn)動(dòng)。我們發(fā)現(xiàn)本研究中的超剪切轉(zhuǎn)換可能是高預(yù)應(yīng)力狀態(tài)下特有的，因?yàn)槲丛诘皖A(yù)應(yīng)力模型中看到它。此外，我們的研究局限于相對(duì)較大的地震事件。由于超剪切轉(zhuǎn)換并未在自然界沿?cái)鄬与A躍的各種大小地震中大量觀測(cè)到，它可能需要特定的預(yù)應(yīng)力狀態(tài)和斷層幾何形態(tài)。約束諸如材料屬性、預(yù)應(yīng)力和摩擦狀態(tài)以及斷層幾何形態(tài)等能導(dǎo)致斷層階躍超剪切破裂轉(zhuǎn)換的變量還需進(jìn)一步深入的研究。目前的工作為自然界一系列斷層屬性中那些可能提供了指示，但也許沒有什么是最有可能。

我們承認(rèn)本研究存在一些局限性，因此未來的研究可在現(xiàn)有結(jié)果上進(jìn)行擴(kuò)展。所有模型都是二維的，表明破裂能量集中在平面上，因此產(chǎn)生了比類似的三維模型更大的平均滑動(dòng)、滑動(dòng)速率和應(yīng)力降。本研究產(chǎn)生的模型主要是裂紋型的（即，滑動(dòng)脈沖為空間上大且漸近下降），可能是大載荷應(yīng)力（初始剪應(yīng)力）的原因（Zheng and Rice，1998）。盡管實(shí)驗(yàn)推導(dǎo)是在低滑動(dòng)速率，但我們采用了空間均勻的摩擦屬性并假定速率—狀態(tài)依從的摩擦以高滑動(dòng)速率進(jìn)行，表明我們的模型并未完全考慮大尺度的凹凸體和滑移速率。此外，次斷層的應(yīng)力狀態(tài)被停止相（由主斷層的破裂快速終止產(chǎn)生的地震輻射，它可使破裂在次斷層段上再次起始）所改變（Madariaga，1976）。我們模型中的停止相由于各斷層段端部以高摩擦系數(shù)嵌于一個(gè)單元而產(chǎn)生。Oglesby（2008）研究顯示，滑移梯度和破裂加速度可通過調(diào)整停止相振幅而強(qiáng)烈地影響最大跨越距離。尤其是，隨著主斷層邊緣處應(yīng)力和滑移梯度的下降，破裂跨越的能力也隨之降低。然而，在斷層階躍中都觀察到高滑動(dòng)和低滑動(dòng)兩種梯度（Elliot et al，2009）。未來的研究將結(jié)合與正應(yīng)力相關(guān)的狀態(tài)變量，以產(chǎn)生更符合實(shí)際的破裂（Linker and Dieterich，1992）。在速率—狀態(tài)依從的框架內(nèi)包含與正應(yīng)力相關(guān)的狀態(tài)變量可以突出或削弱壓性與張性階躍間的正應(yīng)力不對(duì)稱。這一摩擦參數(shù)可能會(huì)改變正應(yīng)力擾動(dòng)較大區(qū)域的能量收支。

另外，我們模擬的斷層幾何形態(tài)是對(duì)真實(shí)不相連斷層階躍的簡化，斷層段很可能被具有走向和滑動(dòng)方向略有不同的小斷層和裂紋的區(qū)域所分離。對(duì)于為模擬地震大小和地面運(yùn)動(dòng)估計(jì)的特定地質(zhì)特征而設(shè)計(jì)的模擬工作，研究斷層階躍更實(shí)際更復(fù)雜斷層結(jié)構(gòu)的影響可能是至關(guān)重要的。例如，Lozos等（2012）研究了斷層階躍小的中間斷層對(duì)破裂擴(kuò)展的影響，發(fā)現(xiàn)它們的存在是促進(jìn)還是阻礙破裂擴(kuò)展依賴于幾何細(xì)節(jié)和斷層段的滑動(dòng)方向。然而，目前研究的重點(diǎn)是約束不同摩擦參數(shù)的影響，因此，我們限制了那些可能由復(fù)雜斷層幾何形態(tài)引起的復(fù)雜情況以避免額外的困難。與斷層階躍的經(jīng)典研究（例如，Harris and Day，1993）的對(duì)比，同樣借助了簡化的斷層幾何模型。然而，在本研究框架下，研究兩個(gè)斷層段之間及其周邊區(qū)域從能量損耗到非彈性運(yùn)動(dòng)的影響是有意義的。Andrews（2005）研究表明，損傷區(qū)域（遠(yuǎn)離主滑動(dòng)面）的能量損耗使破裂能量隨著破裂擴(kuò)展而增加。相對(duì)于無損傷區(qū)域的主滑移面的破裂，這一效應(yīng)反過來降低了破裂擴(kuò)展速度。在本研究中將非彈性能量損耗考慮進(jìn)去可影響停止相的強(qiáng)度及它們對(duì)跨越破裂的影響，必定會(huì)改變斷層階躍區(qū)及周邊區(qū)域的能量收支。Andrews（2005）進(jìn)一步指出，人為限制動(dòng)態(tài)破裂速度是模擬非彈性響應(yīng)的一種方法。

Andrews，D.J.（1976），Rupture velocity of plane strain shear cracks，J.Geophys.Res.，81，5679－5687，doi：10.1029／JB081i032p05679.

Andrews，D.J.（1985），Dynamic plane－strain shear rupture with a slip－weakening friction law calculated by a boundary integral method，Bull.Seismol.Soc.Am.，75（1），1－21.

Andrews，D.J.（2005），Rupture dynamics with energy loss outside the slip zone，J.Geophys.Res.，110，B01307，doi：10.1029／2004JB003191.

Archuleta，R.J.（1984），A faulting model for the 1979Imperial Valley earthquake，J.Geophys.Res.，89，4559－4585，doi：10.1029／JB089iB06 p04559.

Barall，M.（2008），F(xiàn)aultMod finite element code.［A－vailable at http：／／scecdata.usc.edu／cvws／download／codedesc／Barall＿FaultMod＿Desc.pdf.］

Barall，M.（2009），A grid－doubling finite－element technique for calculating dynamic three－dimensional spontaneous rupture on an earthquake fault，Geophys.J.Int.，178，845－859.

Bartlett，W.L.，M.Friedman，and J.M.Logan（1981），Experimental folding and faulting of rocks under confining pressure，Tectonophysics，79，255－277.

Beeler，N.M.，and T.E.Tullis（2003），Constitutive relationships for fault strength due to flashheating，Southern California Earthquake Center Annual Meeting Proceedings and Abstracts，Los Angeles，Calif.

Beeler，N.M.，T.E.Tullis，and D.L.Goldsby 2008Constitutive relationships and physical basis of fault strength due to flash heating，J.Geophys.Res.， 113， B01401， doi：10.1029／2007JB004988.

Bernard，P.，and D.Baumont（2005），Shear Mach wave characterization for kinematic fault rupture models with constant supershear rupture velocity，Geophys.J.Int.，162，431－447.

Bernard，P.，and R.Madariaga（1984），High－frequency seismic radiation from a buried circular fault，Geophys.J.R.Astron.Soc.，78，1－17.

Bizzarri，A.，and M.Cocco（2003），Slip－weakening behavior during the propagation of dynamic ruptures obeying rate－and state－dependent friction laws，J.Geophys.Res.，108（B8），2373，doi：10.1029／2002JB002198.

Bizzarri，A.，M.Cocco，D.J.Andrews，and E.Boschi（2001），Solving the dynamic rupture problem with different numerical approaches and constitutive laws，Geophys.J.Int.，144，656－678.

Bouchon，M.，and M.Vallée（2003），Observation of long supershear rupture during the magnitude 8.1Kunlunshan earthquake，Science，301，824－826.Burridge，R.（1973），Admissible speeds for planestrain self－similar shear cracks with friction but lacking cohesion，Geophys.J.R.Astron.Soc.，35，439－455.

Cocco，M.，and A.Bizzarri（2002），On the slip－weakening behavior of rate－and state－dependent constitutive laws，Geophys.Res.Lett.，29 （11），1516doi：10.1029／2001GL013999.

Cochard，A.，and J.R.Rice（2000），F(xiàn)ault rupture between dissimilar materials：Ill－posedness，regularization，and slip－pulse response，J.Geophys.Res.，105 （B11），25，891－25，907，doi：10.1029／2000JB900230.

Dalguer，L.A.，and S.M.Day（2007），Staggered－grid split－node method for spontaneous rupture simulation，J.Geophys.Res.，112，B02302，doi：10.1029／2006JB004467.

Das，S.，and K.Aki（1977），F(xiàn)ault plane with barriers：A versatile earthquake model，J.Geophys.Res.，82（36），5658－5670，doi：10.1029／JB082 i036p05658.

Day，S.M.（1982），Three－dimensional Simulation of Spontaneous Rupture：The effect of nonuniform prestress，Bull.Seismol.Soc.Am.，72，1881－1902.

Dieterich，J.H.（1978），Time－dependent friction and the mechanics of stick－slip，Pure Appl.Geophys.，116，790－806.

Dieterich，J.H.（1979），Modeling of rock friction 1.Experimental results and constitutive equations，J.Geophys.Res.，84（B5），2161－2168，doi：10.1029／JB084iB05p02161.

Dieterich，J.H.，and B.D.Kilgore（1994），Direct observation of frictional contacts：New insights for state－dependent properties，PAGEOPH，143，283－302.

Duan，B.，and D.D.Oglesby（2006），Heterogeneous fault stresses from previous earthquakes and the effect on dynamics of parallel strike－slip faults，J.Geophys.Res.，111，B05309，doi：10.1029／2005JB004138.

Dunham，E.M.（2007），Conditions governing the occurrence of supershear ruptures under slipweakening friction，J.Geophys.Res.，112，B07302，doi：10.1029／2006JB004717.

Dunham，E.M.，and R.J.Archuleta（2004），Evidence for a supershear transient during the 2002Denali Fault earthquake，Bull.Seismol.Soc.Am.，94，S256－S268.

Dunham，E.M.，P.Favreau，and J.M.Carlson（2003），A supershear transition mechanism for cracks，Science，299，1557－1559.

Elliot，A.J.，J.F.Dolan，and D.D.Oglesby（2009），Evidence from coseismic slip gradients for dynamic control on rupture propagation and arrest through stepovers，J.Geophys.Res.，114，B02312，doi：10.1029／2008JB005969.

Ellsworth，W.L.，M.Celebi，J.R.Evans，E.G.Jensen，R.Kayen，M.C.Metz，D.J.Nyman，J.W.Roddick，P.Spudich，and C.D.Stephens（2004），Near－field ground motion of the 2002Denali Fault，Alaska，earthquake recorded at pump station 10，Earthquake Spectra，20，597－615.

FukuyamaE.and K.B.Olsen2002A condition for super－shear rupture propagation in a heterogeneous stress field，Pure Appl.Geophys.，159，2047－2056.

Goldsby，D.L.，and T.E.Tullis（2002），Low frictional strength of quartz rocks at subseismic slip rates，Geophys.Res.Lett.，29（17），1844，doi：10.1029／2002GL015240.

Harris，R.A.，and S.M.Day（1993），Dynamics of fault interaction：Parallel strike－slip faults，J.Geophys.Res.，98 （B3），4461－4472，doi：10.1029／92JB02272.

Harris，R.A.，and S.M.Day（1997），Effects of a low－velocity zone on a dynamic rupture，Bull.Seismol.Soc.Am.，87，1267－1280.

Harris，R.A.，and S.M.Day（1999），Dynamic 3D simulations of earthquakes on en echelon faults，Geophys.Res.Lett.，26 （14），2089－2092，doi：10.1029／1999GL900377.

Harris，R.A.，R.J.Archuleta，and S.M.Day（1991），F(xiàn)ault steps and the dynamic rupture process：2－D numerical simulations of a spontaneously propagating shear fracture，Geophys.Res.Lett.，18（5），893－896，doi：10.1029／91GL 01061.

Harris，R.A.，et al.（2009），The SCEC／USGS dynamic earthquake rupture code verification exercise，Seismol.Res.Lett.，80，119－126.

Hirose，T.，and T.Shimamoto（2005），Growth of the molten zone as a mechanism of slip weakening of simulated faults in gabbro during frictional melting，J.Geophys.Res.，110B05202，doi：10.1029／2004JB003207.

Ida，Y.（1972），Cohesive force across the tip of a longitudinal－shear crack and Griffith's specific surface energy，J.Geophys.Res.，77（20），3796－3805，doi：10.1029／JB077i020p03796.

Ide，S.，and M.Takeo（1997），Determination of constitutive relations of fault slip based on seismic wave analysis，J.Geophys.Res.，102（B12），27，379－27，391，doi：10.1029／97JB02675.

Kanamori，H.，and L.Rivera（2006），Energy Partitioning During an Earthquake，Earthquakes：Radiated Energy and the Physics of Faulting.Geophys.Monogr.Ser.，vol.170，AGU，Washington，D.C.，doi：10.1029／170GM03.

Kase，Y.，and K.Kuge（1998），Numerical simulation of spontaneous rupture processes on two noncoplanar faults：The effect of geometry on fault interaction，Geophys.J.Int.，135，911－922.

Knuepfer，P.L.K.（1989），Implications of the characteristics of endpoints of historical surface fault ruptures for the nature of fault segmentation，U.S.Geol.Surv.Open－file Rep.，193－228.

Lettis，W.，J.Bachhuber，R.Witter，C.Brankman，C.E.Randolph，A.Barka，W.D.Page，and A.Kaya（2002），Influence of releasing step－overs on surface fault rupture and fault segmentation：Examples from the 17August 1999Izmit earthquake on the North Anatolian Fault，Turkey，Bull.Seismol.Soc.Am.，92，19－42.

Linker，M.F.，and J.H.Dieterich（1992），Effects of variable normal stress on rock friction：Observations and constitutive equations，J.Geophys.Res.，97 （B4），4923－4940，doi：10.1029／92JB00017.

Liu，Y.，and N.Lapusta（2008），Transition of mode II cracks from sub－Rayleigh to intersonic speeds in the presence of favorable heterogeneity，J.Mech.Phys.Solids，56，25－50.

Lozos，J.C.，D.D.Oglesby，J.N.Brune，and K.B.Olsen（2012），Small intermediate fault segments can either aid or hinder rupture propagation at stepovers，Geophys.Res.Lett.，39L18305，doi：10.1029／2012GL053005.

Madariaga，R.（1976），Dynamics of an expanding circular fault，Bull.Seismol.Soc.Am.，66，639－666.

Madariaga，R.，and K.B.Olsen（2000），Criticality of rupture dynamics in 3－D，Pure Appl.Geophys.，157，1981－2001.

Mai，P.M.，P.Somerville，A.Pitarka，L.Dalguer，S.Song，G.Beroza，H.Miyake，and K.Irikura（2006），On scaling of fracture energy and stres drop in Dynamic Rupture Models：Consequences for Near－Source Ground Motions，Earth－quakesRadiated Energy and the Physics of Faulting，Geophys.Monogr.Ser.，vol.170，pp.283－293，AGU，Washington，D.C.

Manighetti，I.，M.Campillo，S.Bouley，and F.Cotton（2007），Earthquake scaling，fault segmentation，and structural maturity，Earth Planet.Sci.Lett.，253，429－438.

Nielsen，S.B.，and K.B.Olsen（2000），Constraints on stress and friction from dynamic rupture models of the 1994Northridge，California，Earthquake，Pure Appl.Geophys.，157，2029－2046.

Oglesby，D.D.（2008），Rupture termination and jump on parallel offset faults，Bull.Seismol.Soc.Am.，98，440－447.

Oglesby，D.D.，and P.M.Mai（2012），F(xiàn)ault geometry，rupture dynamics and ground motion from potential earthquakes on the North Anatolian Fault under the Sea of Marmara，Geophys.J.Int.，188，1071－1087.

Oglesby，D.D.，P.M.Mai，K.Atakan，and S.Pucci（2008），Dynamic models of earthquakes on the North Anatolian fault zone under the Sea of Marmara：Effect of hypocenter location，Geophys.Res.Lett.，35，L18302，doi：10.1029／2008 GL035037.

Okubo，P.G.（1989），Dynamic rupture modeling with laboratory－derived constitutive relations，J.Geophys.Res.，94（B9），12，321－12，335，doi：10.1029／JB094iB09p12321.

Olsen，K.B.，R.Madariaga，and R.J.Archuleta（1997），Three－dimensional dynamic simulation of the 1992Landers earthquake，Science，278，834－838.

Olson，A.H.，and R.J.Apsel（1982），F(xiàn)inite faults and inverse theory with applications to the 1979 Imperial Valley earthquake，Bull.Seismol.Soc.Am.，72，1969－2001.

Palmer，A.C.，and J.R.Rice（1973），The growth of slip surfaces in the progressive failure of overconsolidated clay，Proc.R.Soc.London，Ser.A，332，527－548.

Prakash，V.（1998），F(xiàn)rictional response of sliding in－terfaces subjected to time varying normal pressures，J.Tribol.，120，97－102.

Prakash，V.，and F.Yuan（2004），Results of a pilot study to investigate the feasibility of using new experimental techniques to measure sliding resistance at seismic slip rates，Abstract JHJT21D－02presented at 2004Fall Meeting，AGU.

Rabinowicz，E.（1951），The nature of the static and kinetic coefficients of friction，J.Appl.Phys.，22，1373－1379.

Rice，J.R.（1999），F(xiàn)lash heating at asperity contacts and rate－dependent friction，Eos Trans.AGU，77，F(xiàn)all Meet.Suppl.，Abstract F6811.

Rice，J.R.（2006），Heating and weakening of faults during earthquake slip，J.Geophys.Res.，111，B05311，doi：10.1029／2005JB004006.

Rojas，O.，E.M.Dunham，S.M.Day，L.A.Dalguer，and J.E.Castillo（2009），F(xiàn)inite difference modeling of rupture propagation with strong velocity－weakening friction，Geophys.J.Int.，doi：10.1111／j.1365－246X.2009.04387.x.

Rosakis，A.J.（2002），Intersonic shear cracks and fault ruptures，Adv.Phys.，51，1189－1257.

Rosakis，A.J.，O.Samudrala，and D.Coker（1999），Cracks faster than the shear wave speed，Science，284，1337－1340.

Ruina，A.（1980），F(xiàn)riction laws and instabilities：A quasistatic analysis of some dry friction behavior，PhD thesis，Dep.Of Mech.Eng.，Brown Univ.，Providence，R.I.

Ruina，A.（1983），Slip instability and state variable friction laws，J.Geophys.Res.，88（B12），10，359－10，370，doi：10.1029／JB088iB12p10359.

Scholz，C.H.，C.A.Aviles，and S.G.Wesnousky（1986），Scaling differences between large interplate and intraplate earthquakes，Bull.Seismol.Soc.Am.，76，65－70.

Segall，P.，and D.D.Pollard（1980），Mechanics of discontinuous faults，J.Geophys.Res.，85（B8），4337－4350，doi：10.1029／JB085iB08p04337.

Sibson，R.H.（1973），Interactions between temperature and pore－fluid pressure during earthquake faulting and a mechanism for partial or total stress reliefNat.Phys.Sci.24366－68.

Sieh，K.，et al.（1993），Near－field investigations of the Landers earthquake sequence，April to July 1992，Sci.New Ser.，260，171－176.

Spudich，P.，and E.Cranswick（1984），Direct observation of rupture propagation during the 1979 Imperial Valley earthquake using a short baseline accelerometer array，Bull.Seismol.Soc.Am.，74，2083－2114.

Spudich，P.，and L.N.Frazer（1984），Use ray theory to calculate high－frequency radiation from earthquake sources having spatially variable rupture velocity and stress drop，Bull.Seismol.Soc.Am.，74，2061－2082.

Tsutsumi，A.，and T.Shimamoto（1997），High－velocity frictional properties of gabbro，Geophys.Res.Lett.，24（6），699－702，doi：10.1029／97 GL00503.

Tullis，T.E.，and D.L.Goldsby（2003a），Laboratory experiments on fault shear resistance relevant to coseismic earthquake slip，Southern California Earthquake Center Annual Progress Report，Los Angeles，Calif.

Tullis，T.E.，and D.L.Goldsby（2003b），F(xiàn)lash melting of crustal rocks at almost seismic slip rates，Abstract JHJS51B－05presented at 2003 Fall Meeting，AGU.

Vedder，J.G.，and R.E.Wallace（1970），Map showing recently active breaks along the San Andreas and related faults between Cholame Valley and Tejon Pass，California，U.S.Geol.Surv.Misc.Field Invest.Map，I－574，scale 1：24000.

Wesnousky，S.G.（1988），Seismological and structural evolution of strike－slip faults，Nature，335，340－343.

Wesnousky，S.G.（2006），Predicting the endpoints of earthquake ruptures，Nature，444，358－360.

Xia，K.，A.J.Rosakis，and H.Kanamori（2004），Laboratory earthquakes：The sub－Rayleigh－to－supershear rupture transition，Science，303，1859－1861.

Xia，K.，A.J.Rosakis，H.Kanamori，and J.R.Rice（2005），Laboratory earthquakes along inhomo－geneous faultsDirectionality and supershear Science，308，681－684.

Zheng，G.，and J.R.Rice（1998），Conditions under which velocity－weakening friction allows a selfhealing versus a cracklike mode of rupture，Bull.Seismol.Soc.Am.，88，1466－1483.