壓電疊層梁的動(dòng)力精確解

蘆遠(yuǎn)騰，何博文，關(guān) 群

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥230009，2.西安交通大學(xué) 能源動(dòng)力與工程學(xué)院，陜西 西安710049）

0 引 言

智能材料是對(duì)于外界環(huán)境的刺激，可以進(jìn)行感知并加以判斷、分析、處理，產(chǎn)生自主響應(yīng)（如自我感知、自我診斷、自我修復(fù)、自我適應(yīng)等）具有智能特征的材料［1］。壓電材料是目前智能材料中最常見的一種，在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)、噪聲、形狀控制以及監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)損傷等領(lǐng)域均得到了廣泛的應(yīng)用［2］。如今以壓電材料為代表的智能材料，已在一些重要工程結(jié)構(gòu)的監(jiān)測(cè)、控制及損傷愈合等方面發(fā)揮重要的作用，對(duì)其的動(dòng)力學(xué)研究也變得十分重要。由于目前的研究主要建立在變分法和有限單元法基礎(chǔ)上，計(jì)算量大，不適宜計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，且有些人為假定，準(zhǔn)確度不適宜大型工程結(jié)構(gòu)計(jì)算應(yīng)用，精度不能保證。

狀態(tài)空間方法以彈性力學(xué)三大基本方程為基礎(chǔ)，拋棄所有人為的位移模式和應(yīng)力分布的假設(shè)，直接導(dǎo)出傳遞矩陣，得到壓電疊層梁上下兩個(gè)表面的狀態(tài)空間變量，這些變量恰好是層間需要滿足的位移和應(yīng)力連續(xù)條件的狀態(tài)變量。這種方法特別適用于疊層梁的求解，而且不受厚度的限制，在疊層構(gòu)件的求解中得到了廣泛應(yīng)用［3］。本文在彈性材料狀態(tài)空間解的基礎(chǔ)上，結(jié)合壓電材料的基本方程，得到壓電材料的傳遞矩陣，進(jìn)而推導(dǎo)出壓電疊層梁的狀態(tài)變量空間解。

1 壓電單層梁自由振動(dòng)的狀態(tài)方程

如圖1所示的簡(jiǎn)支壓電單層梁，材料為彈性壓電材料。

1.1 本構(gòu)關(guān)系［4－8］：

1.2 運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)壓電材料的密度為ρ。在忽略體力、體電流和體電荷的情況下，梁的運(yùn)動(dòng)方程為：

1.3 梯度方程

1.4 簡(jiǎn)支壓電單層梁自由振動(dòng)的狀態(tài)方程

壓電單層梁的自由振動(dòng)分析，首先把式（3）、（4）代入式（1）、（2）中，考慮到平衡方程與本構(gòu)方程中涉及到的8個(gè)變量不是相互獨(dú)立。利用方程（1）～（4）消除σx、Dx，以u(píng)、w 、σz、τxz、φ、Dx作為狀態(tài)變量，得到一組只含有這6個(gè)狀態(tài)變量的偏微分方程組：

Dz是圓頻率

將相應(yīng)狀態(tài)變量按下列級(jí)數(shù)項(xiàng)展開：把狀態(tài)變量的級(jí)數(shù)表達(dá)式帶入（5），得：

其中

根據(jù)矩陣?yán)碚摷皬椥粤W(xué)相關(guān)知識(shí)，式（6）的解為

設(shè)G（z）＝eG·z

則

式（11）即為簡(jiǎn)支壓電單層梁的狀態(tài)空間方程。

2 簡(jiǎn)支壓電疊層梁自由振動(dòng)的狀態(tài)方程

如圖2所示的簡(jiǎn)支壓電疊層梁，一共有p層，每一層均壓電材料。圖3是其中任一層j的放大圖。在局部坐標(biāo)系圖3中，每一層實(shí)際上就是一個(gè)單層梁。對(duì)于其中的每一層，可得到［9］

其中

在（11）式中，令z＝hj，得

Gj（hj）為六階矩陣，與每層的材料屬性有關(guān)。式（13）實(shí)際上通過矩陣Gj（hj）把第j層上、下表面六個(gè)狀態(tài)變量聯(lián)系起來。式（13）對(duì)任意一層都成立。當(dāng)j＝1，2時(shí)，分別有

R1（h1）是第一層下表面六個(gè)狀態(tài)變量，而R2（0）是第二層上表面六個(gè)狀態(tài)變量。根據(jù)應(yīng)力連續(xù)和層間位移條件，這二組狀態(tài)變量應(yīng)該相等，即

考慮上式，把（14）式代入（15）式，得

以此類推，可用傳遞矩陣把整個(gè)疊層梁上、下表面狀態(tài)變量聯(lián)系起來，得

則（16）式變成

式中R1（0）為第一層上表面的狀態(tài)變量，而 ∏為六階矩陣，將式（17）寫成顯式，得

對(duì)于壓電疊層梁的自由振動(dòng)問題，以梁上下表面均閉路為例，得到的電學(xué)與力學(xué)邊界條件為：τzm（0）＝φm（0）＝0，σzm（h）＝τzm（h）＝φm（h）＝0，則（18）式成為

式（19）實(shí)際上是六個(gè)代數(shù)方程，包含六個(gè)未知量um（0），wm（0），um（h），wm（h），Dzm（0），Dzm（h）。現(xiàn)取出第3、4、5行，組成新的方程組，經(jīng)化簡(jiǎn)后，得

此時(shí)式（20）中ω≠0，由于um（0），wm（0）不全為0，得方程

方程（21）為一個(gè)關(guān)于ω超越方程，對(duì)于不同的m值，均能解出相應(yīng)的自振頻率。

3 數(shù)值算例

設(shè)有三層簡(jiǎn)支壓電疊層梁，高0.01m，長(zhǎng)為0.4m，三層等厚，第一、三層為PZT－5壓電陶瓷，第二層為Al，梁上下表面閉路，則相應(yīng)的電學(xué)邊界條件為φm（0）＝φm（h）＝0，相應(yīng)的應(yīng)力邊界條件為σzm（h）＝τzm（h）＝τzm（0）＝0，用本文方法（MATLAB軟件）計(jì)算梁的自振頻率并與文獻(xiàn)［10］對(duì)比。

表1 梁的自振頻率對(duì)比

由表1中的誤差計(jì)算可知，本文關(guān)于壓電疊層梁自振頻率的精確解與文獻(xiàn)資料十分接近?；跔顟B(tài)空間法的疊層梁動(dòng)力問題的解答準(zhǔn)確方便，滿足精度要求。

4 結(jié)論與討論

本文采用狀態(tài)空間方法，以壓電材料的本構(gòu)方程為基礎(chǔ)，從狀態(tài)空間微分方程導(dǎo)出傳遞矩陣，由此推導(dǎo)出壓電疊層梁的自振頻率方程。本文方法有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）狀態(tài)空間法以彈性力學(xué)三大基本方程為基礎(chǔ)，拋棄所有人為的位移模式和應(yīng)力分布的假設(shè)，得到壓電疊層梁自振頻率，此方法解答準(zhǔn)確，收斂速度較快。

（2）狀態(tài)空間法能夠求解彈性力學(xué)所不能求解的壓電疊層梁，并且不受厚度與層數(shù)的限制。

（3）在狀態(tài)空間法中計(jì)算中全部采用矩陣的數(shù)學(xué)表達(dá)，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，適合計(jì)算機(jī)編程計(jì)算。

1 楊大智.智能材料與智能系統(tǒng)［M］.天津：天津大學(xué)出版社，2000.

2 卿光輝，邱家俊，塔娜.壓電體的混合變分原理及疊層板的自由振動(dòng)分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17（3）：285－290.

3 王德才，關(guān)群，范家讓.任意厚度具有自由邊疊層板的精確解析解 ［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2003，34（7）：672－686.

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9 范家讓.強(qiáng)厚度疊層板殼的精確理論［M］.北京：科學(xué)技術(shù)出版社，1996.

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