基于改進(jìn)混沌映射的圖像加密算法

賈 嫣，張 萍，陳 蕾

（甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

0 引 言

對圖像進(jìn)行加密，提高數(shù)字圖像信息的安全性為信息安全領(lǐng)域研究中的一個(gè)重要課題［1，2］。在傳統(tǒng)密碼學(xué)研究領(lǐng)域，例如DES、AES 等著名的加密算法［3，4］，它們都將所有的輸入明文看作二進(jìn)制流來進(jìn)行加密，這樣保證了加密的透明性，即加密算法不用考慮輸入明文的具體類型［5］。然而，由于圖像數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)，如數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)的二維空間分布、能量的不均勻分布、原始圖像數(shù)據(jù)存在大量冗余等特性，使得傳統(tǒng)加密算法對圖像加密并不是特別適用［6］。近年來，隨著混沌系統(tǒng)理論的不斷發(fā)展，混沌系統(tǒng)由于具有良好的隨機(jī)性、軌道難以預(yù)測與分析、復(fù)雜等特征，其生成的代碼具有很強(qiáng)抗攻擊能力以及較強(qiáng)的敏感性，能夠很好地適應(yīng)密碼系統(tǒng)的要求，在數(shù)字圖像加密領(lǐng)域研究中得到了廣泛的應(yīng)用，為圖像加密提供了一種新的有效地保護(hù)手段［7］。如文獻(xiàn)-［8］提出了基于多渦卷混沌映射的彩色圖像加密算法；文獻(xiàn)-［9］提出了基于超級混沌映射的圖像加密算法；文獻(xiàn)-［10］提出了基于雙混沌系統(tǒng)的圖像加密算法；文獻(xiàn)-［11］提出基于三維混沌CAT 映射的圖像加密算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)果，這些算法具有良好的像素值混淆和擴(kuò)展性能，具有較強(qiáng)的抗攻擊能力。然而在當(dāng)前混沌映射加密算法研究中，主要是集中在低維、單峰映射，它們普遍存在密鑰空間小、安全性低等不足，且存在瞬態(tài)效應(yīng)［12］。

為了克服了當(dāng)前混沌映射加密算法的不足，提出一個(gè)改進(jìn)混沌映射的圖像加密算法。首先通過雅克比橢圓映射對初始密鑰進(jìn)行迭代，消除瞬態(tài)效應(yīng)，并通過變換函數(shù)得到新密鑰值，然后采用位置集合對圖像進(jìn)行置亂處理；最后采用仿真實(shí)驗(yàn)測試算法的性能。仿真結(jié)果表明，本文加密算法具有很好混亂與擴(kuò)散特性，可以獲得比較好的加密效果，并且具有較強(qiáng)的抗攻擊性能。

1 相關(guān)理論

1.1 雅克比橢圓混沌映射

可將具有不變測度的雅克比橢圓映射定義為N 次多項(xiàng)式比值，雅克比橢圓映射函數(shù)的方程為

式中：x——系 統(tǒng) 變 量，H——替 代 函 數(shù)，β——控 制參數(shù)［13］。

單參數(shù)集合所處區(qū)間為 ［0，1］的表達(dá)式可以采用sn、dn、cn代替

以上關(guān)系可表示為

式中：v——變量，k——模量。

映射Q 為 （N－1）個(gè)節(jié)點(diǎn)映射，即該映射在單位區(qū)間［0，1］中有 （N－1）個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它們具有一個(gè)穩(wěn)定固定點(diǎn)或遍歷行為，如圖1所示。

圖1 Lyapunov指數(shù)與β之間的關(guān)系

對式 （1）進(jìn)行求schwarzian導(dǎo)數(shù)，得到如下模型

式中：H（x）為替代函數(shù)，Vx為x的矢量。

由上可知，schwarzian導(dǎo)數(shù)是負(fù)的，限制了穩(wěn)定周期軌道的數(shù)量，具有負(fù)schwarzian導(dǎo)數(shù)的單峰映射最多有一個(gè)穩(wěn)定的周期軌道，因此，映射Q 最多有 （N＋1）個(gè)吸引周期軌道，只有單周期的一個(gè)穩(wěn)定固定點(diǎn)或者它們是遍歷映射。

根據(jù)式 （1）～式 （3）可得如下模型

式中：k——控制參數(shù)。

與其它映射不同，由于橢圓混沌映射參數(shù)是變換的，因此沒有顯示倍周期，周期N 分岔或者逐步過渡到混沌狀態(tài)，而在參數(shù)的某個(gè)固定區(qū)域內(nèi)擁有單個(gè)固定點(diǎn)吸引子，對于正Lyapunovz指數(shù)的參數(shù)，它們無需精確的周期N 分岔就可以直接分岔到混沌狀態(tài)。

1.2 Lyapunovz指數(shù)

Lyapunovz指數(shù)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中混沌的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。在對雅克比橢圓映射迭代計(jì)算之后，考慮相鄰的兩個(gè)點(diǎn)x0與，可將其Lyapunovz指數(shù)定義為

式 中：λ（x0）——Lyapunovz 指 數(shù)，δ——相 鄰 兩 點(diǎn) 的差值［14］。

很顯然，這些負(fù)值表明這個(gè)系統(tǒng)是處于吸引子體系中，而它們的正值則暗示了這個(gè)系統(tǒng)是可預(yù)測的。Lyapunovz指數(shù)的數(shù)量與初始點(diǎn)x0無關(guān)，表明了在不變流形范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)是遍歷的，因此λ（x0）是把雅克比橢圓映射的不變流形表征為一個(gè)整體。

2 本文圖像加密算法

2.1 算法的框架

本文圖像加密算法的加密過程分為兩個(gè)階段：

（1）采用雅克比橢圓映射消除瞬態(tài)效應(yīng)，并利用加密變換函數(shù)與初值改變雅克比橢圓的控制參數(shù)得到一維序列；

（2）對待加密圖像進(jìn)行置亂處理，從而實(shí)現(xiàn)圖像加密，得到密文圖像。

本文圖像加密算法的工作框架具體如圖2所示。

2.2 圖像加密算法的工作步驟

（1）將明文圖像Lm×n變?yōu)橐痪S序列Lm×n×1。

（2）設(shè)置x0的值，并將其作雅克比橢圓混沌映射的初始密鑰，并進(jìn)行多次迭代消除映射的瞬態(tài)效應(yīng)，同時(shí)不考慮迭代結(jié)果。

（3）根據(jù)代數(shù)變換函數(shù)f（i）和x0通過簡單的乘除運(yùn)算改變雅克比橢圓混沌映射的控制參數(shù)k、β得到新的密鑰

圖2 本文圖像加密算法的框架

式中：floor——取整運(yùn)算；mod——取余運(yùn)算；XOR——按位異或運(yùn)算。

（4）將得到的密鑰作為雅克比橢圓映射的初始條件進(jìn)行多次迭代，得到一維序列P＝ ｛x1，x2，…，xm×n｝T。

（6）使用集合S對初始圖像進(jìn)行置亂處理，得到置亂圖像P’，得到一維密文陣列Mm×n×1＝ ｛M1，M2，…，Mm×n｝T，改變圖像中任意像素點(diǎn)的像素值。

（7）把密文序列Mm×n×1轉(zhuǎn)變成Mm×n，得到密文圖像。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真環(huán)境

為了測試本文圖像加密算法的性能，在Intel雙核2.80 GHz CPU、4GB 的RAM，Windows XP 操作系統(tǒng)的個(gè)人計(jì)算機(jī)上，采用Maltab 2012工具箱進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。采用標(biāo)準(zhǔn)測試圖像lenna作為仿真對象。

3.2 加密效果

本文算法對lenna圖像進(jìn)行加密后，得到結(jié)果如圖3（a）～ （c）所示。從圖3可以看出，明文圖像經(jīng)過不同加密算法處理后，密文圖像的信息得到了充分?jǐn)_亂，很難從密文圖中得到任何信息，從視覺上達(dá)到了掩蓋原始圖像信息，達(dá)到了加密效果。

信息熵是衡量圖像隨機(jī)性的一個(gè)最重要指標(biāo)，一幅圖像數(shù)據(jù)位越是混亂，灰度分布越是均勻，其信息熵就越接

圖3 加密效果

近理想值。信息熵表達(dá)式如下所示

式中：2N——圖 像 灰 度 級 數(shù)；N——像 素 比 特 位 數(shù)；p（xi）——像素值xi出現(xiàn)的概率。

根據(jù)式 （11）計(jì)算各種算法密文圖像的信息熵，共進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)，本文算法的信息熵最高達(dá)到7.998，接近理論值8，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法加密后圖像各數(shù)據(jù)位隨機(jī)性好，不確定性高。

3.3 灰度直方圖

像素點(diǎn)的分布狀況可以通過直方圖進(jìn)行描述。圖4 （a）為明文圖像像素的直方圖，圖4 （b）為加密后的直方圖。從圖4 （a）可知，原始圖像的像素點(diǎn)灰度分布極不均勻，波動(dòng)范圍比較大，這說明其偽隨機(jī)性不高，容易被攻擊和破譯；從圖4 （b）可知，經(jīng)過本文算法加密后的圖像像素點(diǎn)分布非常均勻，有效掩蓋了原始圖像各像素的分布情況，攻擊者無法獲取原始圖像信息。

圖4 灰度分布直方圖

3.4 相鄰兩個(gè)像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

相鄰像素的相關(guān)性是衡量加密算法性能的一個(gè)重要的指標(biāo)，分別從明文圖像和加密后的圖像的水平、垂直和對角方向隨機(jī)抽取5000對相鄰像素對進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，計(jì)算公式如下所示

其中

式中：x 與y——相鄰像素點(diǎn)的值。

圖5～圖7分別為明文圖像和加密圖像的像素分布情況，從圖5～圖7中可以清楚看出，加密圖像的像素隨機(jī)均勻分布，無法讀出原始圖像的統(tǒng)計(jì)信息，相鄰像素的相關(guān)性大大降低，加密后圖像的相關(guān)性幾乎為0，說明本文方法可以比較理想的加密結(jié)果。

圖5 水平方向像素相關(guān)性

圖6 垂直方向像素相關(guān)性

圖7 對角方向像素相關(guān)性

3.5 密鑰敏感性分析

好的加密算法中密文對密鑰流的敏感性極高，即對同一明文，密鑰的微小變化導(dǎo)致完全不同的密文。密文對密鑰的敏感性越高，密文中包含的信息量就越少，使攻擊者很難從密文的變化中得到密鑰的信息量。對混沌系統(tǒng)的初始值做微小改變以測試其密鑰敏感性，解密正確圖像和解密錯(cuò)誤圖像測試結(jié)果如圖8所示。從圖8可知，當(dāng)密鑰初始值發(fā)小較小的誤差時(shí)，解密圖像卻發(fā)生巨大的變化，即明文圖像的信息完全不能從解密錯(cuò)誤圖像中顯示出來。

3.6 穩(wěn)定性分析

為了分析加密算法的穩(wěn)定性，通過加密不同的標(biāo)準(zhǔn)測試圖像來檢驗(yàn)算法的加密效果，采用boats、cameraman、pepper圖像作為仿真對象，檢測算法的加密穩(wěn)定性，仿真結(jié)果如圖9～圖11所示。從圖9～圖11可以看出，boats、cameraman、pepper圖像經(jīng)過本文算法加密后，均可以獲得較好

圖8 密鑰敏感性的仿真結(jié)果

圖9 boats圖像的加密結(jié)果

圖10 cameraman圖像的加密結(jié)果

圖11 pepper圖像的加密結(jié)果

的加密效果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法具有一定的穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)混沌映射加密算法密鑰空間小，安全性低等不足，為了獲得更加理想的圖像加密效果，提出了一種改進(jìn)混沌映射的圖像加密算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)測試了算法的性能，仿真結(jié)果表明，本文算法的加密圖像灰度分布均衡，密文對明文與密鑰高度敏感，并且具有較高的穩(wěn)定性、安全性和加密效率，在信息安全領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

［1］Wu J，Guo F，Zhou N.Single channel color image encryption using the reality preserving fractional discrete cosine transform in YCbCr space ［J］.Journal of Computers，2013，8 （11）：2816－2822.

［2］Ye G，Wong KW.An efficient chaotic image encryption algorithm based on a generalized Arnold map ［J］.Nonlinear Dynamics，2012，69 （4）：2079－2087.

［3］Zhen W，Huang W，Li YX，et al.A novel image encryption algorithm based on the fractional－order hyperchaotic Lorenz system ［J］.Chinese Physics B，2013，22 （1）：010504－1－010504－7.

［4］Ahmed A.A new approach to chaotic image encryption based on quantum chaotic system，exploiting color spaces［J］.Signal Processing，2013，93 （11）：2986－3000.

［5］Seyedzadeh SM，Mirzakuchaki S.A fast color image encryption algorithm based on coupled two－dimensional piecewise chaotic map ［J］.Signal Processing，2012，92 （5）：1202－1215.

［6］Tang Y，Wang ZD，F(xiàn)ang JA.Image encryption using chaotic coupled map lattices with time－varying delays ［J］.Common Nonlinear Science Number Simulat， 2010， 15 （9）：2456－2468.

［7］Zhang YS，Xiao D，Shu YL，et al.A novel image encryption scheme based on linear hyperbolic chaotic system of partial differential equations［J］.Signal Processing：Image Communication，2013，28 （3）：292－300.

［8］Fatihzkaynak，Ahmet Bedrizer，Sirma Yavuz.Cryptanalysis of a novel image encryption scheme based on improved hyperchaotic sequences［J］.Optics Communications，2012，285（24）：4946－4948.

［9］Gao TG，Chen ZQ.A new image encryption algorithm based on hyper－chaos ［J］.Physics Letters A，2008，372 （4）：394－400.

［10］Zhou YC，Bao L.Image encryption using a new parametric switching chaotic system ［J］.Signal Processing，2013，93（11）：3039－3052.

［11］Liu SB，Sun J，Xu ZQ，et al.Digital chaotic sequence generator based on coupled chaotic systems ［J］.Chinese Physics B，2009，18 （12）：5219－5227.

［12］Bakhshandeh A，Eslami Z.An authenticated image encryption scheme based on chaotic maps and memory cellular automata［J］.Optics and Lasers in Engineering，2013，51 （6）：665－673.

［13］SUN Lihui.The study on image encryption algorithm based on the S－box transformation rule integration with Jacohian elliptic chaotic map ［J］.Science Technology and Engineering，2014，14 （6）：42－48 （in Chinese）.［孫立輝.S盒變換規(guī)則融合雅克比橢圓混沌映射的圖像加密算法研究 ［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2014，14 （6）：42－48.］

［14］HAN Ke，ZHANG Zezhong.Study on image encryption algorithm based on Jacobian elliptic chaotic map ［J］.Computer Simulation，2014，31 （5）：187－181 （in Chinese）. ［韓珂，張澤中.基于雅克比橢圓混沌映射的圖像加密算法研究 ［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2014，31 （5）：187－181.］