基于區(qū)間向量抽象域的數(shù)值程序分析算法

吳世堂，李 寧，詹海潭

（中國航天科技集團(tuán)公司第七一○研究所，北京100037）

0 引 言

程序中變量的值范圍信息有助于判斷程序中是否存在除零錯(cuò)誤、數(shù)組越界、整數(shù)溢出等多種運(yùn)行時(shí)錯(cuò)誤。精確獲取變量值范圍是不可能的，必須在精度和效率之間進(jìn)行折中?；诔橄蠼忉尷碚摚?］的數(shù)值程序分析技術(shù)可以給出每個(gè)程序點(diǎn)的數(shù)值變量近似且可靠的值范圍信息。其中基于該理論的抽象域的設(shè)計(jì)是權(quán)衡分析精度和效率的關(guān)鍵。

在航天控制軟件中，往往需要進(jìn)行大量矩陣運(yùn)算，因此對矩陣的抽象直接影響該類軟件的分析。在已有的抽象域中，有許多對數(shù)組的抽象，為了降低分析的復(fù)雜性，提高分析效率，一般是將整個(gè)數(shù)組簡單抽象為單個(gè)數(shù)值變量，即不考慮數(shù)組元素之間的差異性；或者將數(shù)組元素抽象為固定數(shù)目的幾個(gè)數(shù)值變量［2］，每個(gè)部分用一個(gè)數(shù)值概要變量來抽象，有限考慮了元素之間的差異性，但是仍然極大損失數(shù)組元素精度；還有的提出數(shù)組區(qū)間集的方式來抽象數(shù)組元素［3］，通過在整型區(qū)間集的基礎(chǔ)上構(gòu)造數(shù)組區(qū)間集記錄數(shù)組變量值范圍和數(shù)組長度信息，增加了空間開銷；侯蘇寧等提出將數(shù)組中的每個(gè)元素均抽象為一個(gè)數(shù)值變量［4］，雖然提高數(shù)組元素分析的精度，但是分析效率極低，并不適合實(shí)際航天控制軟件的分析［5］。

本文在充分考慮對航天控制軟件分析中矩陣運(yùn)算的精度重要性，以及分析效率，提出了區(qū)間向量抽象域。通過將矩陣的各行各列分別抽象為一個(gè)區(qū)間，形成一個(gè)區(qū)間向量對，用區(qū)間向量對的對應(yīng)元素交集表示矩陣元素。同時(shí)，設(shè)計(jì)了一系列域上的操作算子保證分析的精度和效率。本文方法與將矩陣抽象為單個(gè)變量方法和抽象為簡單幾個(gè)變量方法相比，精度有了很大的提高；與完全展開矩陣每個(gè)元素的方法相比，大大減少時(shí)間和空間開銷，增加了方法的實(shí)用性。

1 區(qū)間向量抽象域

1.1 區(qū)間向量抽象域的表示

區(qū)間向量抽象域是在經(jīng)典的區(qū)間抽象域基礎(chǔ)上，針對程序中的數(shù)組變量的表示而進(jìn)行的擴(kuò)展。下面先回顧區(qū)間抽象域的定義。

區(qū)間抽象域是指用值區(qū)間來描繪程序變量值范圍的抽象狀態(tài)。其符號通常可以表示為Internal＝ ｛⊥｝∪｛［m1，m2］｜m1≤m2，m1∈M∪ ｛－∞｝，m2∈M∪ ｛＋∞｝｝。對任意m∈M，都可以將m 的大小擴(kuò)展到 （－∞，＋∞）上，即－∞≤m≤＋∞。

基于區(qū)間抽象域［6］的靜態(tài)分析是在所有程序點(diǎn)為每個(gè)變量維護(hù)一個(gè)區(qū)間，用來刻畫變量在該程序點(diǎn)的值范圍信息。

為了更準(zhǔn)確的描述變量的值范圍，很多研究提出區(qū)間集的概念［7］。但是仍然沒有區(qū)別數(shù)組元素之間的差異性，僅僅將數(shù)組變量作為單獨(dú)變量來處理相對應(yīng)的區(qū)間集，對于分析數(shù)組元素運(yùn)算所帶來的精度損失仍然很大。

矩陣元素是實(shí)數(shù)集的有序集合，而區(qū)間向量［8］是區(qū)間集的有序集合，能夠合理的表示矩陣元素的有序性，在程序靜態(tài)分析中就能夠體現(xiàn)元素之間的差異性，在提高分析的精度的同時(shí)，分析的效率也不會(huì)過于復(fù)雜，滿足實(shí)際軟件分析的需要。

對于給定的矩陣 （數(shù)值型二維數(shù)組）A 中假設(shè)包含m×n個(gè)元素，那么首先可以將實(shí)數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為區(qū)間矩陣，然后將矩陣中每一行的n 個(gè)區(qū)間元素由該n 個(gè)元素可能取到的最小值和最大值所構(gòu)成的區(qū)間來近似表示。將矩陣中每一列的m 個(gè)區(qū)間元素由該m 個(gè)元素可能取到的最小值和最大值所構(gòu)成的區(qū)間來近似表示。因此，一個(gè)矩陣可以由一個(gè)列區(qū)間向量＝［A1A2… Am］T和一個(gè)行區(qū)間向量＝［Ar1Ar2… Arn］所組成的區(qū)間向量對＜，＞來近似表示，其中向量中的元素Ai（i＝1，2，…，m）是矩陣A 的第i 行元素抽象后的形式化表示，Ajr（j ＝1，2，…，n）是矩陣A 第j 列元素抽象后的形式化表示。

由于區(qū)間抽象域［5］在實(shí)數(shù)R 上的區(qū)間集合構(gòu)成了一個(gè)完全格，顯然，區(qū)間向量的集合也構(gòu)成了一個(gè)完全格［Itvects，iv，∩iv，∪iv，⊥iv，┬iv］?；诔橄蠼忉尷碚?，實(shí)數(shù)矩陣與區(qū)間向量對抽象域之間的關(guān)系可以通過下面Galois連接來表示

式中： （R）——實(shí)數(shù)集合，I——區(qū)間集合， ——矩陣。具體函數(shù)γiv是將區(qū)間向量抽象域向矩陣具體域進(jìn)行具體化的過程，形式化表示為γiv＝［〈ItvectsT，Itvects〉→ （I（（R）））］，具體化過程是通過將行、列兩個(gè)區(qū)間向量對應(yīng)的區(qū)間元素求交集獲得矩陣中的相對應(yīng)的矩陣元素，形式化定義如下所示

抽象函數(shù)αiv是將矩陣具體域向區(qū)間向量抽象域進(jìn)行抽象化 的 過 程。形 式 化 定 義 為αiv＝ ［ （I（ （R）））→〈ItvectsT，Itvects〉］，抽象化的過程是通過首先將實(shí)數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為區(qū)間矩陣，形式化表示為： （ （R））→ （I（（R）））。然后將區(qū)間矩陣的每一行的所有區(qū)間元素的可能取值的最小值和最大值作為一個(gè)區(qū)間，表示該行所有元素的可能取值的上界；每一列的所有區(qū)間元素的可能取值的最小值和最大值作為一個(gè)區(qū)間，表示該列所有元素的可能取值的上界。這樣就形成一個(gè)區(qū)間向量對來實(shí)現(xiàn)矩陣的抽象過程。形式化定義如下所示

1.2 區(qū)間向量抽象域的域操作

在基于抽象解釋理論框架下，抽象域是主要內(nèi)容，而支撐抽象域的各種基本操作算子是抽象解釋框架中的抽象域應(yīng)用于實(shí)際程序分析的關(guān)鍵。下面給出在上面定義的區(qū)間向量抽象域上基本操作算子的設(shè)計(jì)。

設(shè)任意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)矩陣Am×n 和Bn×t，通過上面設(shè)計(jì)的抽象化函數(shù)αiv，可以獲得抽象區(qū)間向量對分別為

區(qū)間向量抽象域是對實(shí)數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為區(qū)間矩陣后進(jìn)行的抽象，也就是對區(qū)間抽象域進(jìn)行的擴(kuò)展，因此，在區(qū)間向量抽象域上的操作算子也與區(qū)間抽象域操作算子密切相關(guān)。下面分別詳細(xì)給出該抽象域上的基本操作算子的設(shè)計(jì)。

（1）交操作 （Meet）

兩個(gè)區(qū)間向量之間的交運(yùn)算是指兩個(gè)矩陣的相對應(yīng)的兩個(gè)元素區(qū)間值范圍進(jìn)行交運(yùn)算。具體過程為，首先根據(jù)區(qū)間向量對進(jìn)行具體化操作，分別獲得兩個(gè)區(qū)間矩陣，然后對獲得的兩個(gè)區(qū)間矩陣相對應(yīng)的元素求交運(yùn)算。那么矩陣Am×n和Bn×t單個(gè)元素Aij和Bhk交運(yùn)算的形式化定義如下所示

式中：∩i運(yùn)算是區(qū)間抽象域交操作，即兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行交操作。

（2）接合操作 （Join）

兩個(gè)區(qū)間向量進(jìn)行接合是指兩個(gè)矩陣的相對應(yīng)兩個(gè)元素區(qū)間值范圍作并運(yùn)算，具體過程為，首先根據(jù)區(qū)間向量進(jìn)行具體化操作，分別獲得兩個(gè)區(qū)間矩陣，然后對獲得的兩個(gè)區(qū)間矩陣相對應(yīng)的元素求接合。那么矩陣Am×n 和Bn×t單個(gè)元素Aij和Bhk接合運(yùn)算的形式化定義如下所示

式中：∪i運(yùn)算是區(qū)間抽象域接合操作，即兩個(gè)區(qū)間進(jìn)行接合操作。

（3）算術(shù)運(yùn)算操作 （Arithmetic）

兩個(gè)區(qū)間向量的算術(shù)運(yùn)算操作是指兩個(gè)矩陣的相對應(yīng)的兩個(gè)元素區(qū)間值范圍作算術(shù)運(yùn)算。具體過程為，首先根據(jù)區(qū)間向量對進(jìn)行具體化操作，分別獲得兩個(gè)區(qū)間矩陣，然后對這兩個(gè)區(qū)間矩陣相對應(yīng)的元素進(jìn)行相應(yīng)的算術(shù)運(yùn)算。那么矩陣Am×n和Bn×t單個(gè)元素Aij和Bhk算術(shù)運(yùn)算的形式化定義的四則運(yùn)算如式 （6）所示

其中，運(yùn)算符⊙i∈｛＋i，－i，×i，÷i｝，均為區(qū)間抽象域上進(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算。

如式 （7）為對矩陣Am×n 單個(gè)元素Aij取反運(yùn)算的形式化表示

其中，運(yùn)算符－i為區(qū)間抽象域上的取反操作。

（4）比較操作 （Compare）

比較是指格上的兩個(gè)數(shù)之間偏序關(guān)系的比較。兩個(gè)區(qū)間向量之間的比較操作是指兩個(gè)矩陣相對應(yīng)的元素區(qū)間值范圍的比較。具體比較過程為，首先根據(jù)區(qū)間向量抽象域進(jìn)行具體化操作，分別獲得相應(yīng)區(qū)間矩陣，然后對區(qū)間矩陣對應(yīng)的元素進(jìn)行區(qū)間抽象域上的比較操作，形式化表示如下

其中，i是區(qū)間抽象域上的比較操作。（5）拓寬操作 （Widening）

在基于抽象解釋理論進(jìn)行程序靜態(tài)分析過程中，為了加速程序分析的收斂速度，需要對抽象域進(jìn)行拓寬操作。而對表示矩陣的變量進(jìn)行拓寬操作可以表示為對區(qū)間向量對的拓寬操作也就是分別對行區(qū)間向量和列區(qū)間向量進(jìn)行拓寬操作。區(qū)間向量的拓寬操作則是將兩個(gè)區(qū)間向量對應(yīng)元素之間分別進(jìn)行區(qū)間拓寬操作，區(qū)間向量對拓寬操作的形式化表示如下

其中，運(yùn)算 i 是區(qū)間抽象域上的標(biāo)準(zhǔn)拓寬操作。（6）遷移函數(shù) （transfer function）

在基于抽象解釋的程序靜態(tài)分析過程中，遷移函數(shù)是指，程序在執(zhí)行完一條語句之后，程序狀態(tài)發(fā)生的變化在抽象域上所表示的狀態(tài)遷移動(dòng)作。

基于抽象解釋的程序靜態(tài)分析，會(huì)在每個(gè)程序點(diǎn)創(chuàng)建一個(gè)抽象環(huán)境，用X＃表示，即把所有程序變量映射到抽象域。對于C語言中的基本類型的變量都可以映射到區(qū)間抽象域，但是對于表示矩陣的變量，在實(shí)際程序中并不存在直接矩陣類型，而往往是使用數(shù)組表示。矩陣運(yùn)算操作的完成也是通過若干次的數(shù)組元素運(yùn)算來完成。下面討論使用二維數(shù)組表示矩陣，且程序中采用數(shù)組下標(biāo)訪問方式對數(shù)組元素進(jìn)行操作情況下的區(qū)間向量抽象域上的遷移函數(shù)的操作。

在程序分析過程中，數(shù)組的下標(biāo)需要映射為區(qū)間抽象域，對程序中訪問矩陣某個(gè)元素操作采用如下的方式作為該元素的穩(wěn)定上近似，即取下標(biāo)區(qū)間內(nèi)的所有區(qū)間元素的最小上界。假設(shè)數(shù)組行下標(biāo)變量，列下標(biāo)變量，那么有

在程序分析過程中，訪問二維數(shù)組的單個(gè)元素時(shí)取A［i］［j］＝Ai∩iAjr。如果i⊥i或者j⊥i，則Ai，Ajr⊥i，使用前必須先判斷交集是否為⊥i。下面給出針對C語言程序分析過程中需要使用到的各種遷移函數(shù)的詳細(xì)設(shè)計(jì)。

賦值遷移函數(shù) （assignment transfer function）

對于程序中矩陣元素的賦值語句A［i］［j］＝expr在抽象環(huán)境X＃下，程序的狀態(tài)發(fā)生變化，矩陣元素值需要更新，反應(yīng)在區(qū)間向量抽象域中則需要更新區(qū)間向量對中相應(yīng)的元素，賦值遷移函數(shù)形式化定義如下

其中，［expr］＃X＃表示程序在某程序點(diǎn)對應(yīng)的抽象環(huán)境X＃下計(jì)算表達(dá)式expr所得到的區(qū)間抽象值。

測試遷移函數(shù) （test transfer function）

對于程序中矩陣元素相關(guān)的測試語句A［i］［j］ test，（其中 ｛≤，≥｝）在不同的測試分支中，相關(guān)矩陣的狀態(tài)不同，因此，在不同分支中矩陣元素的值范圍需要進(jìn)行相應(yīng)的更新，在抽象域中表現(xiàn)為更新區(qū)間向量對中相應(yīng)元素的值。

由于抽象環(huán)境X＃中存放該程序點(diǎn)中所有變量的抽象域，因此，此時(shí)的抽象環(huán)境中對應(yīng)矩陣元素的抽象域表示有X＃（A［i］［j］）＝〈Ai，Ajr〉，其中假設(shè)區(qū)間向量抽象域中相應(yīng)的元素表示為，且有Ai是矩陣相應(yīng)元素值范圍的上近似，test表達(dá)式計(jì)算出的區(qū)間假設(shè)表示為test［c，d］。

那么針對程序中測試語句≤和≥分別有式 （12）、式（13）實(shí)現(xiàn)區(qū)間向量抽象域元素狀態(tài)的遷移

上式中各變量在區(qū)間抽象域上的關(guān)系如圖1所示。

圖1 區(qū)間關(guān)系

2 實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文實(shí)驗(yàn)基于開源的編譯器前端goto－cc［9］（支持嵌入式C）及開源的數(shù)值抽象域庫Apron［10］，開發(fā)了面向嵌入式C數(shù)值程序分析原型工具。

goto－cc是由牛津大學(xué)Daniel等開發(fā)的編譯器，用于將嵌入式C程序編譯成控制流圖。本文實(shí)驗(yàn)是在該編譯器生成的控制流圖上利用抽象解釋理論框架求不動(dòng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對程序的靜態(tài)分析。

Apron 是由法國INRIA 開發(fā)的一個(gè)開源數(shù)值抽象域庫。為程序分析工具開發(fā)者提供一個(gè)通用的抽象域獨(dú)立的接口，可以通過接口直接使用其中已有的抽象域，還為新抽象域的開發(fā)提供通用的設(shè)計(jì)接口。本文的區(qū)間向量抽象域就是基于Apron 庫提供的接口設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)的。

本文實(shí)驗(yàn)基于的環(huán)境是：Ubuntu 10Linux操作系統(tǒng)，2G 物理內(nèi)存，1.70GHZ雙核CPU 處理器。本文抽象域的實(shí)現(xiàn)及與已有方法的對比實(shí)驗(yàn)均是基于該環(huán)境。

圖2給出一個(gè)從實(shí)際嵌入式C 程序抽取出一個(gè)簡單的有代表性的矩陣加法的程序片段，為方便精度比較，給二維數(shù)組賦值為簡單的數(shù)值。并且，在不動(dòng)點(diǎn)迭代時(shí)為了不讓拓寬操作影響各方法分析精度，這里循環(huán)展開次數(shù)設(shè)為3次，拓寬延遲1次。

下面對各主流對矩陣抽象方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。Blanche提出將矩陣所有元素抽象為一個(gè)變量方法 （下文簡稱單變量法），無法刻畫元素之間的區(qū)別，無法描述矩陣元素的有序性，計(jì)算結(jié)果雖是矩陣所有元素的上近似，精度損失很大。侯蘇寧提出將矩陣每個(gè)元素均抽象為一個(gè)變量（下文簡稱完全展開法），精度損失最小，計(jì)算結(jié)果與具體域最接近，但是在實(shí)際程序分析過程中效率極低，該方法并不實(shí)用。本文區(qū)間向量抽象域能夠較好刻畫元素之間區(qū)別，在精度損失較小的情況下增加實(shí)用性。上述3種方法對數(shù)組c實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下所示：

圖2 矩陣加法程序片段

單變量法

完全展開法

區(qū)間向量法

該程序片段中矩陣加法實(shí)際求解結(jié)果為：｛｛3，9，6，8｝，｛10，7，14，16｝，｛4，6，10，10｝，｛7，14，11，18｝｝根 據(jù) 上 面 的 實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看出本文的方法能夠穩(wěn)定且較精確的表示矩陣各元素的值范圍。

在空間開銷上，單變量法抽象方法簡單，對于每個(gè)表示矩陣變量的數(shù)組變量，無論數(shù)組的長度是多大均抽象為單個(gè)數(shù)值變量，因此，對于一個(gè)數(shù)組變量僅需要的一個(gè)抽象值，空間開銷復(fù)雜度是一個(gè)常數(shù)O（1）級。而完全展開法對一個(gè)矩陣中的每個(gè)元素都用一個(gè)抽象值 （區(qū)間）表示，抽象值的空間開銷是依據(jù)數(shù)組的元素個(gè)數(shù)而定的。因此，對一個(gè)有m×n個(gè)數(shù)組元素的矩陣需要的抽象值個(gè)數(shù)為m×n個(gè)，對每個(gè)抽象值的表示采用的是區(qū)間抽象域那么，空間復(fù)雜度是O（m×n）級。本文的區(qū)間向量抽象域依據(jù)矩陣的各行、各列分別進(jìn)行區(qū)間抽象，即m 行抽象出一個(gè)含m個(gè)區(qū)間元素的區(qū)間向量，n列抽象出一個(gè)含n 個(gè)區(qū)間元素的區(qū)間向量，需要抽象區(qū)間的開銷為m＋n個(gè)，因此空間開銷復(fù)雜度為O（m＋n）級。

在時(shí)間開銷上，單變量法在抽象域?qū)仃囘M(jìn)行操作時(shí)只需要對一個(gè)抽象值進(jìn)行交、接合、拓寬等操作，也不會(huì)因?yàn)榫仃囋氐亩嗌俣兓?，完成一次對矩陣的操作，只需要?zhí)行域上操作一次。需要時(shí)間自然最少。完全展開法則在每次進(jìn)行交、接合、拓寬等操作時(shí)都需要對m×n個(gè)抽象值（區(qū)間）均進(jìn)行操作，因此，完成一次對矩陣的操作時(shí)需要進(jìn)行m×n次的域上的操作操作，消耗時(shí)間最大。本文提出的區(qū)間向量抽象域在進(jìn)行交、接合、拓寬等操作時(shí)，僅需要對m＋n個(gè)區(qū)間抽象值進(jìn)行操作，即完成一次對矩陣的操作時(shí)需要執(zhí)行域上的操作m＋n次。表1為3種方法比較。

表1 3種方法數(shù)據(jù)比較

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的區(qū)間向量抽象域?qū)仃囎兞窟M(jìn)行抽象，在時(shí)空效率以及分析精度作了很好的權(quán)衡。

3 結(jié)束語

本文在經(jīng)典區(qū)間抽象域的基礎(chǔ)上，提出針對矩陣運(yùn)算的區(qū)間向量抽象域，綜合考慮數(shù)組元素運(yùn)算的精確性以及計(jì)算的效率。將一個(gè)矩陣 （二維數(shù)組）抽象為兩個(gè)區(qū)間向量，將矩陣每一行元素抽象為一個(gè)區(qū)間獲得一個(gè)區(qū)間向量，將矩陣每一列元素也抽象為一個(gè)區(qū)間獲得另一個(gè)區(qū)間向量。在程序中訪問某個(gè)元素時(shí)，根據(jù)數(shù)組下標(biāo)，由行號索引該元素所在行的抽象區(qū)間，由列號索引該元素所在列的抽象區(qū)間，那么兩個(gè)區(qū)間的交集作為該元素的近似。能夠體現(xiàn)元素之間的差異性且較精確的表示數(shù)組元素，同時(shí)，在時(shí)間和空間消耗上取得合理的權(quán)衡。實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果證實(shí)區(qū)間向量抽象域?qū)仃囘\(yùn)算的精確性以及實(shí)用性。

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