理想氣體在圓形可逆循環(huán)過(guò)程中溫度極值的討論

方 偉　涂 泓　朱炯明

(上海師范大學(xué)物理系　上?！?00234)

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理想氣體在圓形可逆循環(huán)過(guò)程中溫度極值的討論

方 偉涂 泓朱炯明

(上海師范大學(xué)物理系上海200234)

摘 要：本文討論了在p-V圖上圓形循環(huán)過(guò)程的理想氣體的溫度極值問(wèn)題．結(jié)果顯示，循環(huán)過(guò)程中的最高及最低溫度和圓心坐標(biāo)與圓的半徑的比值有關(guān)．當(dāng)該比值a≥時(shí)，循環(huán)過(guò)程中的最高及最低溫度分別位于圓上離開(kāi)原點(diǎn)最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)；而當(dāng)a<時(shí)，圓上會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)溫度不同的極大值及兩個(gè)溫度相同的極小值，且兩個(gè)溫度極小值關(guān)于p=V直線對(duì)稱，其具體位置與a的大小有關(guān)．

關(guān)鍵詞：p-V圖溫度極值等溫線

理想氣體的壓強(qiáng)隨體積變化的關(guān)系，可在p-V圖上直觀表示．由理想氣體各參量所滿足的函數(shù)關(guān)系，還可以推斷出其溫度變化．在中學(xué)物理競(jìng)賽或普通物理熱學(xué)課程中常常碰到這樣的試題：某理想氣體狀態(tài)的變化過(guò)程在p-V圖上是一個(gè)圓，求循環(huán)過(guò)程中的最高溫度和最低溫度各是多少．這類題目通常是通過(guò)等溫線與圓有一切點(diǎn)并利用一元二次方程兩根相等來(lái)求解，但是由于等溫線與圓相切的情況有時(shí)比較復(fù)雜，因此這種解法實(shí)際上是有適用范圍的．本文通過(guò)分析一道中學(xué)物理競(jìng)賽題目來(lái)討論圓形可逆循環(huán)過(guò)程的溫度極值問(wèn)題．

1問(wèn)題的引出

1.1原題及參考解答

第15屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第7題如下：1 mol理想氣體緩慢地經(jīng)歷一個(gè)循環(huán)過(guò)程，在p-V圖中這一過(guò)程是一個(gè)橢圓，如圖1(a)所示．已知此氣體若處在與橢圓中心O點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)時(shí)，其溫

所求出的電容值也正比于圓盤的半徑．

參 考 文 獻(xiàn)綜合前面的討論我們可以看出，本文開(kāi)頭的競(jìng)賽題給出的解法只有在a>的情況下才能成立，而[1，2]給出的競(jìng)賽題相應(yīng)的a分別為2和3，因而是滿足這個(gè)條件的，此解法不會(huì)出現(xiàn)任何問(wèn)題．但若a≤，則問(wèn)題會(huì)復(fù)雜一些，競(jìng)賽題給出的解法不再湊效．類似的題目及結(jié)論也可在文獻(xiàn)[2]中找到．文獻(xiàn)[3]利用較為奇妙的數(shù)學(xué)技巧，更是得到氣態(tài)變化圓形圖像成立的條件，即位于直線p=V上的圓心O點(diǎn)的坐標(biāo)值與此圓半徑R之比必須不小于，這是一個(gè)非常有趣的結(jié)論，相當(dāng)于對(duì)理想氣體在p-V圖上按圓形變化的圓的大小給出了上限，若成立，應(yīng)能從熱學(xué)的基本規(guī)律來(lái)解釋其背后的物理．筆者認(rèn)為若該文作者在a<的情況采用本文中的圖3，則不會(huì)出現(xiàn)該文所認(rèn)為的問(wèn)題，因而是否存在這個(gè)限制條件，是值得商榷的．對(duì)于a=，由于溫度變化的一至三階導(dǎo)數(shù)均為零，在涉及該過(guò)程的理想氣體的一些物理量的變化是否有一些特殊性質(zhì)，值得我們另文探究．

1(美)E·M·哈塞爾．伯克利物理學(xué)教程第二卷．北京：科學(xué)出版社，1979.59

2蔣衛(wèi)健，胡昉，方本民．均勻帶電非導(dǎo)體圓盤邊緣的電勢(shì)的幾種解法．大學(xué)物理，2013，32(8)：24～28

3斯邁思W R. 靜電學(xué)與電動(dòng)力學(xué). 戴世強(qiáng)譯.北京: 科學(xué)出版社,1981.35～ 36,177

4熊建平．導(dǎo)體薄圓盤的電荷分布．大學(xué)物理，1999，18(5)：8～10

度為T0=300 K,求在整個(gè)循環(huán)過(guò)程中氣體的最高溫度T1和最低溫度T2各是多少[1]．

圖1　理想氣體在 p-V圖上的可逆循環(huán)，圖(a)為一般情況

下的橢圓形式，圖(b)為坐標(biāo)歸一化后的圓形，方便定量研究．

此題參考解答如下：圖1(a)給出的橢圓方程為

(1)

整理后可得

(2)

(3)

等溫線與橢圓相切時(shí)，溫度取最大或最小值，所以上式兩個(gè)根相等時(shí)溫度取極值，即

(4)

(5)

上式的兩個(gè)解則分別對(duì)應(yīng)最高溫度T1與最低溫度T2

(6)

1.2極值溫度在p-V圖上的位置

另外，從得到方程(4)的過(guò)程來(lái)看，要求兩根相等時(shí)溫度取極值，其實(shí)是認(rèn)為溫度取極值時(shí)，該等溫線與圓只有一個(gè)切點(diǎn)，此切點(diǎn)對(duì)應(yīng)極高或極低溫度．而從圓與等溫線均關(guān)于直線p=V對(duì)稱來(lái)看，如果按照標(biāo)準(zhǔn)答案的理解，等溫線與圓只有一個(gè)切點(diǎn)，那么這個(gè)切點(diǎn)只可能是圖1(b)中的A點(diǎn)或B點(diǎn)．

1.3一個(gè)切點(diǎn)假設(shè)的合理性

從以上分析可見(jiàn)，在解題過(guò)程中用到了一個(gè)未經(jīng)證明的假設(shè)，即等溫線與圓只能有一個(gè)切點(diǎn)．而這一假設(shè)又直接影響到圖1(b)上的A和B兩點(diǎn)是否確實(shí)唯一對(duì)應(yīng)變化過(guò)程在p-V圖上表現(xiàn)為圓形的理想氣體的最高與最低溫度．事實(shí)上，由于雙曲線和圓的斜率變化都比較復(fù)雜，因此直接使用這一假設(shè)的做法值得討論．

2等溫線與圓的切點(diǎn)

為研究方便，假設(shè)某理想氣體p-V關(guān)系滿足如下的圓方程

(V-a)2+(p-a)2=1

(7)

該圓圓心位于p-V圖上p=V直線上，式中的壓強(qiáng)p和體積V均為歸一化的無(wú)量綱變量，圓的半徑亦歸一化為1，因而此圓方程中只有一個(gè)參數(shù)，這樣的表示方便我們后面的討論，亦使得物理圖像較為清晰．根據(jù)圖2所示的等溫線和圓曲線，可以分析該理想氣體的溫度最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．

2.1溫度最高點(diǎn)

圖2中A點(diǎn)處的等溫線曲率與圓在該點(diǎn)處的曲率符號(hào)相反，因此不論等溫線與圓的具體圖像如何，它們之間只能有一個(gè)交點(diǎn)(切點(diǎn))，且為A點(diǎn)．再根據(jù)等溫線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，溫度越高可知，A點(diǎn)確為圓上溫度最高的點(diǎn)．

圖2　理想氣體在 p-V圖上的圓形循環(huán)，(a,a)為圓心坐標(biāo)．

θ為OP與OB的夾角，A和B為離開(kāi)原點(diǎn)O最遠(yuǎn)和最近

的點(diǎn)，過(guò)A和B兩點(diǎn)與圓相切的雙曲線為等溫線．

2.2溫度最低點(diǎn)

圖2中B點(diǎn)處的等溫線曲率與圓在該點(diǎn)處的曲率符號(hào)相同，因此存在著切點(diǎn)不止一個(gè)的可能性．切點(diǎn)坐標(biāo)可由溫度對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)確定．

為研究方便，取圓上任意一點(diǎn)P，該點(diǎn)與OB的夾角為θ，P從B點(diǎn)開(kāi)始逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一圈，則θ從零變化到2π．點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)分別為

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程pV=νRT可知，圓上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溫度變化規(guī)律正比于P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積pV，因此其大小隨θ變化，即

(8)

函數(shù)T(θ)關(guān)于θ的一階和二階導(dǎo)數(shù)分別為

(9)

(10)

圖3　圓上溫度極值的示意圖．A，B，C，D均為等溫線與

但B點(diǎn)的性質(zhì)稍顯特殊，因?yàn)闇囟萒關(guān)于θ的二階和三階導(dǎo)數(shù)在B點(diǎn)均為零，即

(11)

(12)

但溫度T關(guān)于θ的四階導(dǎo)數(shù)大于零，即

(13)

2.3溫度隨坐標(biāo)的演化關(guān)系

圖4　a取不同值時(shí)圓上各點(diǎn)溫度的變化圖．B和A分別位于0

1崔宏濱編著.物理競(jìng)賽真題解析(熱學(xué)·光學(xué)·近代物理學(xué)).合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2014.26～27

2仝響編著.物理奧林匹克競(jìng)賽大題典(熱學(xué)卷).哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2014.93～94

3鄭金.對(duì)氣態(tài)變化橢圓圖像成立條件的探究.物理教學(xué)， 2014(1)

4四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室編，高等數(shù)學(xué)(物理類專業(yè)用，第一冊(cè))(第三版).北京：高等教育出版社，1995.172

Discussion on Temperature Extremums of Ideal Gas

in A Circular Reversible Loop Process

Fang WeiTu HongZhu Jiongming

(Shanghai Normal University Physics Department,Shanghai200234)

Abstract:This paper discusses temperature extrema of an ideal gas which appears as a circle in a p-V diagram.The highest and lowest temperatures turn out to be dependent on the ratio between the coordinates and the radius of the circle. When this ratio a≥,the highest and lowest temperatures correspond to the two points that are furthest from and closest to the origin of coordinate,respectively.When a<,two maxima of different temperatures and two minima of same temperature appear on the circle.The locations of the two minima are symmetrical about the line p=V and depend on the value of a.

Key words:p-V diagram;temperature;extremum;isothermal curve

收稿日期：(2015-01-07)