對(duì)一道物理競賽題的兩種互異解答的探討

鄭 金

(凌源市職教中心　遼寧 朝陽　122500)

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對(duì)一道物理競賽題的兩種互異解答的探討

鄭 金

(凌源市職教中心遼寧 朝陽122500)

摘 要：針對(duì)一道競賽題的兩種不同的解答得出兩個(gè)相反的結(jié)果，通過深入辨析原因，多角度探究了恒速參考系中做往復(fù)運(yùn)動(dòng)物體的機(jī)械能守恒的條件以及彈簧的彈性勢能與系統(tǒng)的彈性勢能的異同.

關(guān)鍵詞：競賽題參考系機(jī)械能守恒

對(duì)于第26屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽第三題第1小題，原參考答案雖然正確，但只有定性分析，沒有進(jìn)行定量解答；此外，在一些文獻(xiàn)所給出的答案中，既有正確的，也有錯(cuò)誤的，下面對(duì)兩種結(jié)果不同的解法進(jìn)行探討.

【題目】一質(zhì)量為m的小球與一勁度系數(shù)為κ的彈簧相連組成一體系，置于光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定墻面相連，小球做一維自由振動(dòng).試問：在一沿此彈簧長度方向以速度u做勻速運(yùn)動(dòng)的參考系里觀察，此體系的機(jī)械能是否守恒，并說明理由.

參考答案：否.原因是墻壁對(duì)于該體系而言是外界，墻壁對(duì)彈簧有作用力，在運(yùn)動(dòng)參考系里此力的作用點(diǎn)有位移，所以對(duì)體系做功，從而改變這一體系的機(jī)械能.

從該答案來看，原題是一道比較簡單的競賽題.下面展示兩種難度較大的定量解法，并指出其中的不足之處.

設(shè)彈簧位于墻壁的右側(cè)，參考系向右運(yùn)動(dòng)，彈簧的形變量為

Δx=Δxmcosωt

則墻壁對(duì)彈簧的彈力為

F=κ·Δx=κ·Δxmcosωt

在運(yùn)動(dòng)參考系中，彈簧與墻壁的接觸點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，位移為x=-ut，則墻壁對(duì)彈簧所做的功為

W=Fx=-Fmutcosωt=-f(t)t

所以墻壁的彈力所做的功為

這恰好等于墻壁彈力對(duì)彈簧所做的功.

求墻壁彈力所做的功還有一種方法.

設(shè)彈簧的伸長量為Δx，在從原長狀態(tài)到最大伸長量的過程中，墻壁對(duì)彈簧的彈力為

F=-κΔx=-κΔxmsinωt

彈簧與墻壁接觸點(diǎn)的位移為x=-ut，是關(guān)于時(shí)間的一次函數(shù)，因此墻壁彈力所做的功為

這表明，在恒速參考系中，墻壁彈力對(duì)彈簧所做的功與小球的質(zhì)量、速度以及參考系的速度有關(guān).也可說成是墻壁對(duì)小球間接做功，稱為“借物傳功”.

解法2:如圖1所示，水平彈簧振子在平衡位置O(設(shè)為地面坐標(biāo)系原點(diǎn))兩側(cè)做簡諧運(yùn)動(dòng)，小車以速度u向右運(yùn)動(dòng)，以小車為參考系，即坐標(biāo)原點(diǎn)O′在小車中心，剛開始時(shí)O′與O重合，且坐標(biāo)軸x′隨小車一起向右運(yùn)動(dòng)，則墻壁對(duì)彈簧的作用點(diǎn)以速度u向左運(yùn)動(dòng)，發(fā)生位移，因此墻壁對(duì)彈簧的作用力是做功的.

圖1

開始相對(duì)運(yùn)動(dòng)后，當(dāng)t=0時(shí)，將小球向右拉至最大位移即振幅A并放手，使之做簡諧運(yùn)動(dòng)，在小車參考系上觀察(即以小車參考系為靜止參考系)，地面參考系及小球都以速度u相對(duì)于小車沿x軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)小球還有相對(duì)于地面的速度v.

x′=x-ut=Acosωt-ut

v′=-ωAsinωt-u

a′=-ω2Acosωt=a

f=ma′=-mω2Acosωt=-κx

小球的動(dòng)能為

由于彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量有關(guān)，考慮到彈力做正功時(shí)彈性勢能減少，則彈性勢能可用微分來表示為

κxdx-κuAdtcosωt=

由于當(dāng)t=0時(shí)

則積分常數(shù)C=0，因此在時(shí)刻t彈簧的彈性勢能為

則系統(tǒng)的機(jī)械能為

由于這是一個(gè)恒定值，所以，在小車參考系上觀察時(shí)，彈簧振子體系的機(jī)械能仍然守恒.

探討:在上述兩種解法中，出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果，那么其中必有一種解法是錯(cuò)誤的.

或者說，由于在運(yùn)動(dòng)參考系中，彈簧對(duì)小球的彈力不是保守力，所以小球?qū)椈伤龅墓Σ皇嵌w系統(tǒng)的彈性勢能.再者，彈簧的彈性勢能只與自身的形變量有關(guān)，不應(yīng)隨參考系而變化，即為

由伽利略變換及不變性可知

墻壁和小球?qū)椈傻膹椓λ龅目偣?/p>

即彈性勢能的增量為

所以彈簧的彈性勢能為

這表明，彈簧所受的一對(duì)彈力在恒速參考系中是保守力，做功的多少與路徑無關(guān)，只與彈簧兩端點(diǎn)的位置有關(guān).

且有等式

這表明，由彈簧、小球和墻壁所組成系統(tǒng)的彈性勢能等于彈簧的彈性勢能與彈簧對(duì)墻壁所做的功之和.所謂系統(tǒng)的彈性勢能，是指除動(dòng)能之外的機(jī)械能總和.

當(dāng)彈簧處于拉伸狀態(tài)時(shí)，受到墻壁的作用力方向向左，而彈簧的固定端點(diǎn)在勻速運(yùn)動(dòng)的參考系中運(yùn)動(dòng)方向向左，因此做正功，由于相對(duì)于地面的速度大小為v=ωAsinωt，利用“借物傳功”的結(jié)論可知墻壁作用力對(duì)小球間接做的功為

W=muv=muωAsinωt

也可視為墻壁對(duì)彈簧所做的功，那么彈簧彈力對(duì)墻壁所做的功為

W′=-muωAsinωt

由于墻壁的動(dòng)能保持不變，所以由彈簧、小球和墻壁組成系統(tǒng)的機(jī)械能始終守恒.

原題中的由彈簧和小球組成系統(tǒng)的機(jī)械能應(yīng)為

由于在式中含有速度v不是常數(shù)，因此在運(yùn)動(dòng)參考系中由彈簧和小球組成系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒.

一般來說，機(jī)械能守恒是指整個(gè)過程中的各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的機(jī)械能總量始終保持不變，如果將某一過程中只有兩個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的機(jī)械能總量相等也稱為機(jī)械能守恒，那么該題還有其他解法，現(xiàn)探討如下.

從解法2的推導(dǎo)過程可知，當(dāng)u=0時(shí)

當(dāng)u≠0時(shí)，只有當(dāng)ωt=nπ(n為自然數(shù))時(shí)，才有

ωt=nπ

小球的動(dòng)能為

所以系統(tǒng)的機(jī)械能總量為

或由此可知，當(dāng)n=1時(shí)

收稿日期：(2015-02-25)