淺談概率論中“數(shù)學期望”概念的講解

摘要：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的學習中，“數(shù)學期望”是一個比較抽象的概念，本文闡述了“數(shù)學期望”概念講解中比較重要的三個內(nèi)容，即：如何“定義”，如何“引申”到連續(xù)型隨機變量的定義，以及如何“過渡”到方差。

關鍵詞：數(shù)學期望；概率論與數(shù)理統(tǒng)計；教學

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）45-0199-03

在我們進行概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學中，教材的編排往往是在進行了隨機變量及其分布函數(shù)的學習之后，立刻進入隨機變量數(shù)字特征的學習，而最先面對的數(shù)字特征就是數(shù)學期望?！皵?shù)學期望”這個概念的起源源于下面這個經(jīng)典典故。

早些時候，法國有兩個大數(shù)學家，一個叫做布萊士·帕斯卡，一個叫做費馬。帕斯卡認識兩個賭徒，這兩個賭徒向他提出了一個問題。他們說，他倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個錢應該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因為最早說的是滿5局，而誰也沒達到，所以就一人分一半呢？這兩種分法都不對。正確的答案是：贏了4局的拿這個錢的3/4，贏了3局的拿這個錢的1/4。這是為什么呢？假定他們倆再賭一局，A有1/2的可能贏得他的第5局，B有1/2的可能贏得他的第4局。若是A贏滿了5局，錢應該全歸他；若B贏得他的第4局，則下一局中A、B贏得他們各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必須贏滿5局的話，A贏得所有錢的可能為1/2+1/2×1/2=3/4，當然，B就應該得1/4了。數(shù)學期望由此而來。

通過這幾年的教學體會和教學經(jīng)驗，筆者發(fā)現(xiàn)“數(shù)學期望”這一概念盡管來源于生活，而且跟現(xiàn)實生活結合得非常緊密，但因為它非常抽象，一般同學學到這個地方就會感覺到難于理解和接受。本文對數(shù)學期望概念的講解進行了介紹，以期起到“拋磚引玉”的作用。

一、關于如何定義“數(shù)學期望”

首先是如何引入的問題。對于如何引入“數(shù)學期望”，我們?yōu)榱藛酒饘W生的學習興趣，激發(fā)他們的學習動力，可以舉一些密切聯(lián)系生活的例子，比如上面的經(jīng)典典故，或者將上面的經(jīng)典典故作稍許變動，得到另外一個例子，如文獻[3]中就是將“賭金問題”換成了“乒乓球比賽問題”。我們也可以作這樣類似的變動，以吸引學生的課堂注意力，加深他們對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》這門課程在解決生活實際問題的作用是非常大的印象，喚起他們對這門課程的興趣，也激發(fā)他們對用數(shù)學方法處理現(xiàn)實問題的熱情。

這種引入方法的特點是直接、簡單，節(jié)省上課時間，如果教師認為教學任務比較繁重、教學時間比較緊張，無法保證后續(xù)內(nèi)容時間的把控，那么可以采用這種簡潔的方式進行引入工作。

接著可通過一個例題來求解數(shù)學期望，從而加深學生對定義的理解和記憶。例如下面這則簡單例子：擲一枚六面骰子，已知其各面朝上的可能性是相同的，則擲得的點數(shù)的數(shù)學期望是多少呢？

此時可以引導學生思考：骰子的任何一面都不可能為3.5，然而最后算得的擲得的點數(shù)的數(shù)學期望卻是3.5，這說明了什么問題呢？這說明了期望值并不一定等同于常識中的“期望”，“期望值”也許與每一個結果都不相等。換句話說，期望值是該隨機變量取值的平均數(shù)，期望值并不一定包含于隨機變量的取值集合里，這就加深了學生對數(shù)學期望定義的理解和把握。

二、關于如何“引申”到連續(xù)型隨機變量期望的定義

對于連續(xù)型隨機變量其值充滿整個區(qū)間，且取每一特定值的概率均為0，因此不能直接利用上述離散型隨機變量期望定義求其數(shù)學期望。但可將連續(xù)型隨機變量離散化，再由離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義引申出連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義。

三、關于如何“過渡”到方差

因為方差本身就是一種數(shù)學期望，但是如何引出“方差”這一數(shù)學期望卻是要費一點心思的。比如說現(xiàn)在我們面前擺放著兩只手表，它們每日的走時誤差（以分為單位）分別以隨機變量和表示，其分布律如下。

四、結語

通過實際的教學實踐，我們發(fā)現(xiàn)“數(shù)學期望”概念對于許多同學來說是非常抽象的，因此，對它概念的講解就應該是我們必須注意的地方。本文是筆者對“數(shù)學期望”概念的講解的一點經(jīng)驗總結，希望能對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教學起到一點“拋磚引玉”的作用。

參考文獻：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]李正耀，周德強.大學數(shù)學——概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：科學出社，2009.

[3]熊歐，仇海全，武潔.數(shù)學期望的教學方法新探[J].科技信息，2010，（3）.

基金項目：長江大學教研項目（JY2011023）

作者簡介：曹小玲（1981-），女，數(shù)學與應用數(shù)學系，講師，現(xiàn)主要從事數(shù)字圖像處理和高等工程數(shù)學的教學與研究工作。endprint