多思善想 以少勝多

摘要：高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和方法分析問題和解決問題的能力更是考查的重點。為了提高能力，解題之后要思改進與優(yōu)化，思數(shù)形找妙法，思引申與推廣，從“題?！敝薪饷摮鰜?，以少勝多。

關(guān)鍵詞：提高能力;多思善想;以少勝多

中圖分類號：G632.0 ? ? 文獻標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）44-0180-02

近幾年的素質(zhì)教育中，強調(diào)較多的是如何提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。要做到這一點，必須在平時的學(xué)習(xí)過程中一點一滴地積累和培養(yǎng)。有很多學(xué)生感到疑惑：“做了許多數(shù)學(xué)練習(xí)，解題能力為何沒有明顯提高？”究其原因，往往在于解題之后滿足于題已解出而淺嘗輒止。然而，“正確”≠“完美”，為了達到完美，為了提高能力，解題之后還應(yīng)多思善想。怎樣才算多思善想呢？請看如下“三思”。

一、思改進與優(yōu)化

解題開始時，重在找到已知與未知的聯(lián)系，能達到目的走點彎路也無所謂，但是，解出之后，就應(yīng)回頭查看，論證中有無多余的枝節(jié)可刪去？復(fù)雜運算能否簡化？哪些量在變，哪些量不變？換一個角度去考慮，有無更簡單的解法？這樣去深究，解題的關(guān)鍵才能得以突出，因而也會給我們留下深刻的印象，并在今后由此及彼的加以靈活運用。

例1：已知f（x+1）=x ?+x+1，那么f（x-1）的最小值是

。

分析：按常規(guī)解法，應(yīng)由f（x+1）→f（x）→f（x-1），求出f（x-1）的解析式后再求其最小值。仔細觀察可發(fā)現(xiàn)所求最小值與f（x+1）的最小值相同，均為 ?，為什么呢？深究根底，發(fā)現(xiàn)f（x-1）的圖像可由f（x+1）的圖像向右平移兩個單位得到，他們當(dāng)然有相同的最小值，因此，只需求出f（x+1）的最小值即可。

f（x+1）=（x+ ?） ?+ ?≥

例2：（2013年理）設(shè)等差數(shù)列{a ?}的前n項和為s ?，s ?=-2，s ?=0，s ?=3，則m= ? ?。

A. 3 ? B. 4 ? C. 5 ? D. 6

分析：設(shè)數(shù)列{a ?}的首項為a ?，公差為d，則

（m-1）a ?+ ?d=-2ma ?+ ?d=0（m+1）a ?+ ?d=3，解出m=5

仔細觀察可發(fā)現(xiàn)s ?-s ?=a ?，s ?-s ?=a ?，所以

d=a ?-a ?=1，再由a ?+m=3ma ?+ ?d=0，解出m=5

二、思數(shù)形找妙法

數(shù)形結(jié)合是很重要的一種數(shù)學(xué)思想，也是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生思維的有效途徑。大多數(shù)代數(shù)問題都有幾何背景，若拘于常規(guī)，會有很大的運算量，甚至思維受阻，若結(jié)合圖形及其特征常能快速求解。

例3：（2013課標(biāo)全國卷Ⅱ）若存在正數(shù)x使2 ?（x-a）<1成立，則a的取值范圍是 ? ?。

A.（-∞，+∞） ? ? B.（-2，+∞）

C.（0，+∞） ? ? ?D.（-1，+∞）

分析：求解此類問題僅從“數(shù)”上觀察較難入手，但如果把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形語言，借助函數(shù)圖像的生動性和直觀性闡明數(shù)量之間的關(guān)系，即可快速判斷參數(shù)的取值范圍。

解析：不等式2 ?（x-a）<1可變形為x-a<（ ?）

在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)做出直線y=x-a與y=（ ?） ?的圖像，如圖。

由題意可知，在（0，+∞）上，直線y=x-a有一部分在曲線y=（ ?） ?的下方。觀察可知，有-a<1，所以a>1，故選D。

例4：（2014江蘇高考）已知f（x）是定義R在 ? ? 上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=|x ?-2x+ ?|，若函數(shù)y=f（x）-a在區(qū)間[-3，4]上有10個零點（互不相同），則實數(shù)a的取值范圍是 ? ?。

分析：畫出函數(shù)y=f（x）的圖像，利用函數(shù)的圖像直觀判斷y=a的位置，確定a的范圍。

解析：當(dāng)x∈[0，3）時，f（x）=|x ?-2x+ ?|=

|（x-1） ?- ?|，由f（x）是周期為3的函數(shù)，做出f（x）在[-3，4]上的圖像，如圖。

由題意知方程a=f（x）在[-3，4]上有10個不同的根，由圖可知a∈0，

三、思引申與推廣

解出一道題后，還應(yīng)常存引申、推廣之心，如改變題中條件或變結(jié)論為條件，結(jié)論如何？還有由三角形想到四邊形、多邊形;由圓想到橢圓、雙曲線及一般曲線;由二次函數(shù)，想到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。

例5：求函數(shù)y=x ?+2x-2的值域。

顯然y=（x+1） ?-3的值域為[-3，+∞），但是如果改變條件，變?yōu)槿缦聠栴}，則可以加以推廣、引申。

①若x∈[1，2]，求函數(shù)y=x ?+2x-2的值域。

②若x∈（1，2），此函數(shù)還有最大值與最小值嗎？在開區(qū)間上函數(shù)最值是否一定不存在呢？

③把x用“指數(shù)”或“對數(shù)”式代替，如：求函數(shù)y=（log ? ?x） ?+2log ?x-2的值域，再附加上條件x∈[1，2]呢？

④與三角函數(shù)相結(jié)合，如求y=cos2x+2cosx-1的值域。

因為y=cos2x+2cosx-1=2cos ?x+2cosx-2，所以此題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y=2t ?+2t-2在區(qū)間[-1，1]上求最值問題。

⑤聯(lián)想到解析幾何，如：已知點P（x，y）在已知橢圓x ?+2y ?=1上運動，求z=2x+5y ?的取值范圍。

分析：可由x ?+2y ?=1求得y ?= ?，代入z=2x+5y ?，得z=- ?x ?+2x+ ?（-1≤y≤1）

以上屬于同一類型的題，而且把三角、解析幾何、函數(shù)問題串在了一起，經(jīng)常做這種由此及彼的思維聯(lián)想，不僅可以增強學(xué)生的分析和解決問題的能力，還會引導(dǎo)我們走向發(fā)展創(chuàng)新之路。

如果做到了以上“三思”，就能從“題海”中解脫出來，就像掌握了“芝麻開門”的秘訣一樣，任何數(shù)學(xué)問題都可迎刃而解。