考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量梁彎曲變形的計(jì)算

吳 曉，趙均海，黃志剛，楊立軍

(1.湖南文理學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，中國(guó)常德，415000;2 長(zhǎng)安大學(xué)建筑工程學(xué)院，中國(guó)西安 710061)

在實(shí)際工程中，許多工程結(jié)構(gòu)由雙模量材料制成，即由拉壓彈性模量不同的材料制成.鑄鐵、金屬合金和混凝土等材料都具有拉壓彈性模量不同的雙模量特性，已有文獻(xiàn)對(duì)雙模量結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的變形進(jìn)行了計(jì)算分析.文獻(xiàn)［1～2］采用有限元法分析了雙模量材料板的變形，文獻(xiàn)［3］采用細(xì)觀力學(xué)研究了雙模量泡沫材料等效彈性模量，文獻(xiàn)［4］研究了雙模量材料的本構(gòu)關(guān)系，文獻(xiàn)［5～8］對(duì)雙模量材料結(jié)構(gòu)彎曲及扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)行了計(jì)算分析，文獻(xiàn)［9］研究了雙模量梁的彎曲變形，但是沒(méi)有研究剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁的彎曲變形影響;文獻(xiàn)［10］證明了軸向載荷對(duì)雙模量梁中性軸位置有較大影響.基于上述因素，本文給出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式，證明了橫向外載荷對(duì)雙模量梁的中性軸位置無(wú)影響，并采用Timoshenko 梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形，分析討論了剪切變形效應(yīng)對(duì)雙模量梁彎曲變形的影響.

1 剪切彈性模量表達(dá)式

對(duì)于圖1所示純剪切應(yīng)力狀態(tài)，可知雙模量結(jié)構(gòu)受力單元體的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系為

圖1 應(yīng)力狀態(tài)Fig.1 Sutress state

由于σ1=τ，σ3=－τ，所以

由材料力學(xué)可知應(yīng)變公式為

由式(2)、式(3)和式(4)可以求得

式中，E1和μ1分別為拉伸彈性模量和泊松比，E2和μ2分別為壓縮彈性模量和泊松比.

2 確定中性軸位置

由于雙模量梁在外載荷作用下彎曲時(shí)，會(huì)形成彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū)，由彈性理論可知雙模量梁彎曲時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為

假設(shè)圖2所示雙模量簡(jiǎn)支梁在任意載荷作用下發(fā)生彎曲變形，以A 點(diǎn)為力矩支點(diǎn)可知

圖2 任意載荷作用下簡(jiǎn)支梁Fig.2 Simply supported beam under loads

由式(7)可知

簡(jiǎn)支梁的支座約束反力確定后，即可方便寫出簡(jiǎn)支梁任意截面的彎矩表達(dá)式M(x).

由彈性理論可知雙模量梁彎曲時(shí)橫截面內(nèi)力應(yīng)滿足以下關(guān)系式

雖然雙模量梁在任意載荷作用下其截面彎矩在不同梁段是不相同的，但其曲率是軸向坐標(biāo)的函數(shù)與梁高無(wú)關(guān)，將式(6)代入式(8)中可求得

式中，h1為拉伸區(qū)高度，h2為壓縮區(qū)高度，

由以上推導(dǎo)可知雙模量梁中性軸的位置與作用在梁上的橫向載荷無(wú)關(guān).

3 雙模量梁撓曲線方程

對(duì)于圖3所示任意載荷作用下的雙模量梁，可把分布載荷及集中載荷用奇異函數(shù)表示為

圖3 任意作用下雙模量梁Fig.3 Bimodulous beam under loads

奇異函數(shù)的規(guī)則為

根據(jù)Timoshenko 梁理論可知雙模量梁彎矩和剪力為

梁橫截面平衡方程為

將式(10)代入式(11)可得到下式

對(duì)式(12)進(jìn)行積分可得

把式(9)代入式(13)中可得雙模量梁撓曲線表達(dá)式為

以簡(jiǎn)支雙模量梁為例，可知其邊界條件為

利用式(15)可求得簡(jiǎn)支雙模量梁撓曲線函數(shù)中的常數(shù)為

對(duì)于其他邊界條件支承的雙模量梁的撓曲線表達(dá)式，利用其邊界條件及式(14)即可方便求得.

4 算例分析

下面以實(shí)例研究剪切效應(yīng)對(duì)雙模量梁彎曲變形的影響.

算例1對(duì)于圖4所示均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁，由式(16)可求得

圖4 雙模量簡(jiǎn)支梁Fig.4 Simply supported bimodulous beam

把A0和A2表達(dá)式代入式(14)中可得到均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁撓度為

所以，雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度為

由于工程上要求誤差應(yīng)控制在5% 以內(nèi)，所以應(yīng)有下式成立

由式(18)可得到

算例2對(duì)于圖5所示集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁，由式(16)可求得

圖5 雙模量簡(jiǎn)支梁Fig.5 Simply supported bimodulous beam

把A0和A2表達(dá)式代入式(14)中可得到集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁撓度為

所以，雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度為

對(duì)于集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁，同理可得

由式(21)可得到

式(19)和式(22)即為考慮剪切效應(yīng)對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲變形影響時(shí)的判別式.

下面以有機(jī)玻璃雙模量材料為例，討論分析剪切效應(yīng)對(duì)雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲變形的影響.雙模量材料參數(shù)為:E1=172 GPa，μ1=0.34，E2=295 GPa，μ2=0.395.其中，由式(5)可求得G=80 GPa.具體計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1 和表2.表中誤差為忽略剪切效應(yīng)與考慮剪切效應(yīng)時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度的差值絕對(duì)值與考慮剪切效應(yīng)簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度的比值.

表1 均布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度Tab.1 The midpoint deflection of simply supported bimodulous beam under uniform load

表2 集中載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)撓度Tab.2 The midpoint deflection of simply supported bimodulous beam under concentrated load

由式(17)和式(20)可知當(dāng)c →∞時(shí)，即為忽略剪切效應(yīng)時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁在均布載荷或集中載荷作用下中點(diǎn)的撓度，這說(shuō)明本文推導(dǎo)雙模量梁的撓曲線通式是正確的.從以上算例可知，本文在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上，采用Timoshenko 梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題，通過(guò)奇異函數(shù)得到了雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式，利用雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式可以方便計(jì)算出雙模量梁的彎曲撓度.對(duì)表1 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在均布載荷作用下當(dāng)時(shí)，可以忽略剪切變形的影響;對(duì)表2 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下時(shí)，可以忽略剪切變形的影響.

5 結(jié)論

通過(guò)上述推導(dǎo)證明與實(shí)例分析可知:

(1)得出了雙模量梁剪切彈性模量的表達(dá)式.

(2)采用材料力學(xué)原理證明了雙模量梁中性軸位置與作用在梁上的橫向外載荷無(wú)關(guān).

(3)在考慮剪切變形的基礎(chǔ)上，采用Timoshenko 梁理論研究了雙模量梁的彎曲變形問(wèn)題，利用奇異函數(shù)可以方便得到雙模量梁在橫向外載荷作用下的撓曲線通式.

(4)對(duì)表1 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在均布載荷作用下當(dāng)時(shí)，可以忽略剪切變形的影響;對(duì)表2 進(jìn)行分析可知有機(jī)玻璃雙模量材料簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下當(dāng)接近時(shí)，可以忽略剪切變形的影響.

［1］MEDRI G.A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression［J］.Trans ASME，1982，26(104):26-28.

［2］SRINIVASAN R S，RAMACHANDRA L S.Axisymmetric nonlinear dynamic response of bimodulous annular plates［J］.J Vib Acous，1990，112(2):202-205.

［3］李戰(zhàn)莉，黃再興.雙模量泡沫材料等效彈性模量的細(xì)觀力學(xué)估算方法［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(4):464-468.

［4］蔡來(lái)生，俞煥然.拉壓模量不同彈性物質(zhì)的本構(gòu)［J］.西安科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，29(1):17-21.

［5］吳 曉，楊立軍，孫 晉.雙模量圓板彎曲變形的計(jì)算分析［J］.西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，41(1):88-92.

［6］吳 曉，黃 翀，孫 晉.雙模量懸臂梁在分布載荷作用下的Kantorovich 解［J］.湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，27(2):55-59.

［7］吳 曉，楊立軍，孫 晉.用雙模量理論分析灰鑄鐵拉伸與扭轉(zhuǎn)的破壞試驗(yàn)［J］.湖南科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，26(3):51-54.

［8］吳 曉.用Kantorovich 及Galerkin 聯(lián)合法研究雙模量板的彎曲［J］.西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，44(4):457-461.

［9］周小平，盧 萍，張永興，等.不同拉壓模量彈性地基梁的解析解［J］.重慶大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，30(7):78-82.

［10］姚文娟，葉志明.不同模量彎壓柱的解析解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2004，25(9):901-909.