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    用類比思維學(xué)習(xí)線段和角

    2015-12-22 08:19:49沈占立
    初中生天地 2015年34期
    關(guān)鍵詞:條數(shù)平分線端點(diǎn)

    □沈占立

    用類比思維學(xué)習(xí)線段和角

    □沈占立

    傳說(shuō)魯班的妻子看到一個(gè)小孩將一大片荷葉放在頭上避雨,便心生靈感,類比發(fā)明了斗笠和雨傘.同樣,線段和角也有很多類似的地方,同學(xué)們比對(duì)來(lái)學(xué)習(xí),效果更好.

    一、計(jì)數(shù)規(guī)律相同

    1.線段的計(jì)數(shù)

    線段的計(jì)數(shù)方法可采用“左端點(diǎn)順次數(shù)線段法”,即將每個(gè)點(diǎn)作為左端點(diǎn),順次數(shù)出線段,再求和.如圖1,以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有:AB、AC、AD;以B點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有:BC、BD;以C點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有:CD,共計(jì)線段的條數(shù)為3+2+1=6.用此方法數(shù)不重不漏,是一種簡(jiǎn)單、快捷的方法.

    一般地,當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)或一條線段上有n個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))時(shí),可確定的線段條數(shù)為

    圖1

    圖2

    2.角的計(jì)數(shù)

    角的計(jì)數(shù)方法與線段的計(jì)數(shù)方法極其類似,可先以某一射線為始邊,按一定的順序數(shù)出角的個(gè)數(shù),然后依次以后面的射線為始邊數(shù)出角的個(gè)數(shù),再求和.如圖2,按逆時(shí)針?lè)较颍設(shè)A為始邊的角有∠AOB∠AOC、∠AOD;以O(shè)B為始邊的角有∠BOC、∠BOD;以O(shè)C為始邊的角有∠COD,角的個(gè)數(shù)共計(jì)為3+2+1=6

    一般地,從O點(diǎn)出發(fā)引出n條射線或一個(gè)角的內(nèi)部有n-2條射線時(shí),可確定的角的個(gè)數(shù)為

    二、中間部分類似

    1.線段中點(diǎn)間的距離

    如圖3,點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn),D、E分別為線段AP、BP的中點(diǎn). AB=a,則有

    證明:

    圖3

    圖4

    2.角平分線間的夾角

    如圖4,OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線,OD、OE分別是∠AOC、∠COB的角平分線.則有

    例1如圖5,P為線段AB上任意一點(diǎn),D為線段AP上靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn),E為線段PB上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn),AB=15,求DE長(zhǎng).

    圖5

    分析:P是動(dòng)點(diǎn),所以不能分別求出DP、EP的值,需將DE轉(zhuǎn)化成與已知線段AB相關(guān)聯(lián)的量.DE=點(diǎn)評(píng):本題中線段的有關(guān)計(jì)算體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想,這種思想在線段和角的計(jì)算中要經(jīng)常用到,同學(xué)們要切實(shí)掌握.

    例2從∠AOB的頂點(diǎn)O處引一條射線OC,OE、OF分別為∠AOC、∠COB的角平分線,∠AOB=90°.

    (1)如圖6,射線OC在∠AOB內(nèi)部時(shí),求∠EOF的度數(shù);

    (2)射線OC在∠AOB外部時(shí),如圖7,求∠EOF的度數(shù).

    圖6

    圖7

    分析:將∠EOF分割成∠EOC和∠FOC,再利用角平分線定義將它們與∠AOC、∠BOC聯(lián)系起來(lái).

    點(diǎn)評(píng):本題中利用拆分、整合的思想是關(guān)鍵,先化整為零,再化零為整,目標(biāo)明確向已知條件靠攏.

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