妙用冪的“逆運(yùn)算”

□胡軍

妙用冪的“逆運(yùn)算”

□胡軍

同學(xué)們都知道，冪的乘法運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方，其運(yùn)算法則的表達(dá)式分別為：am·an＝am+n，（am）n＝amn，（ab）n＝anbn（m、n為正整數(shù)）.在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，巧妙地逆用這幾個(gè)法則，?？梢曰睘楹?jiǎn)，化難為易，使很多棘手的問題迎刃而解.

一、逆用法則化簡(jiǎn)求值

例1計(jì)算：

分析：由于與正好互為倒數(shù)，其乘積為1.故先逆用同底數(shù)冪的乘法法則，將

逆用積的乘方即可.

例2已知a2n＝2，求（2a3n）2－3（a2）2n的值.

分析：顯然，由條件直接求出a是不可能的.我們不妨先對(duì)求值式進(jìn)行冪的“正運(yùn)算”，然后逆用冪的乘方法則，使之出現(xiàn)a2n，再整體代入即可.

解：（2a3n）2－3（a2）2n

＝4a6n－3a4n

＝4（a2n）3－3（a2n）2.

∵a2n＝2，

∴（2a3n）2－3（a2）2n

＝4×23－3×22

＝32－12

＝20.

二、逆用法則確定個(gè)位數(shù)字

例3試確定52014×72015的個(gè)位數(shù)字.

分析：本例若通過直接運(yùn)算來求乘積的個(gè)位數(shù)，顯然不可取，而逆用同底數(shù)冪的乘法及積的乘方法則，可使問題巧妙獲解.

解：52014×72015

＝52014×72014×7

＝（5×7）2014×7

＝352014×7.

因?yàn)閭€(gè)位數(shù)字為5的數(shù)的任何次冪的個(gè)位數(shù)字仍是5，再與7相乘，其乘積的個(gè)位數(shù)字還是5，所以最后結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為5.

三、逆用法則比較大小

例4試比較255、344、433的大小.

分析：這三個(gè)冪運(yùn)算后的數(shù)字都非常大，直接計(jì)算相當(dāng)困難，考慮到三個(gè)算式的指數(shù)都與11有關(guān)，所以可逆用冪的乘方法則，把它們化為同指數(shù)的冪，然后比較底數(shù)的大小即可.

解：（1）∵255＝（25）11，

344＝（34）11，433＝（43）11，

∵25＝32，34＝81，43＝64，

又∵32＜64＜81，

即25＜43＜34，

∴255＜433＜344.

四、逆用法則說理論證

例5試說明353－333是10的整數(shù)倍.

分析：要說明353－333是10的倍數(shù)，只要說明353－333能被10整除，即說明353－333的個(gè)位數(shù)字是0即可.由353－333的數(shù)字的特點(diǎn)可逆用冪的乘方法則，分別求出353和333的個(gè)位數(shù)字，再說明其差的個(gè)位數(shù)字為0.

證明：∵353＝（34）13×3

＝8113×3，

其個(gè)位上的數(shù)字為3，

333＝（34）8×3＝818×3，

其個(gè)位上的數(shù)字也是3.

∴353－333的個(gè)位上的數(shù)字是0，即353－333是10的整數(shù)倍.