實(shí)伴隨矩陣的原矩陣

黃艷寧，　胡志廣

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387)

實(shí)伴隨矩陣的原矩陣

黃艷寧，胡志廣

(天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387)

[摘要]給出實(shí)數(shù)域上關(guān)于伴隨矩陣方程X*=A解的討論.

[關(guān)鍵詞]伴隨矩陣； 原矩陣； 實(shí)矩陣

1引言

伴隨矩陣是由方陣構(gòu)造出的一類矩陣，在矩陣?yán)碚撗芯恐姓加休^為重要的地位，而且關(guān)于伴隨矩陣的內(nèi)容非常豐富，可參考文獻(xiàn)[2].作為一個(gè)自然的問題，就是伴隨矩陣的原矩陣的存在性問題.文獻(xiàn)[3]討論了復(fù)數(shù)域上原矩陣的存在性及原矩陣存在時(shí)一般表達(dá)問題.本文將在實(shí)數(shù)域上討論這個(gè)問題.

本文中A表示n階方陣，E表示n階單位矩陣，而A*表示A的伴隨矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，|A|表示A的行列式，其中n是大于1的正整數(shù).

2基礎(chǔ)知識

引理1AA*=A*A=|A|E，且在A可逆時(shí)，有A*=|A|A-1.

引理2|A*|=|A|n-1.

引理4設(shè)k為非零常數(shù)，則(kA)*=kn-1A*.

引理5設(shè)B為n階方陣，則(AB)*=B*A*.

引理6矩陣方程X*=diag(1,0,…,0)的解為

其中B為行列式為1的n-1階方陣.

證顯然X不可逆.在方程兩邊左乘X，據(jù)引理1有

XX*=Xdiag(1,0,…,0)=O.

于是X的第一列全為零.同樣考慮右乘X，得X的第一行全為零.從而有

由伴隨矩陣的定義，B為行列式為1的n-1階方陣.反之顯然.

3主要結(jié)果

引理7設(shè)r(A)=1時(shí)，則在實(shí)數(shù)域上存在行列式為正的矩陣P,Q，使得

A=Pdiag(1,0,…,0)Q.

(*)

證由矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形理論，存在n階實(shí)可逆陣P,Q，使得

A=Pdiag(1,0,…,0)Q.

可以假定P,Q的行列式均為正，否則可用Pdiag(1,…,1,-1)，diag(1,…,1,-1)Q代替上面的P,Q即可，引理得證.

定理1設(shè)A為n≥3階的實(shí)矩陣，則實(shí)數(shù)域上矩陣方程X*=A解的情況為

(i) 當(dāng)1

(ii) 當(dāng)r(A)=n時(shí)，

(iii) 當(dāng)r(A)=1時(shí)，方程有無窮解，且當(dāng)A有分解式(*)時(shí)，方程的解為

其中B為行列式為1的任意n-1階實(shí)方陣.

(iv) 當(dāng)r(A)=0時(shí)，方程有無窮個(gè)解，且任意秩小于n-1的矩陣都是解.

證(i),(iv)顯然.

(ii) 因A=X*=|X|X-1，故X=|X|A-1.又由引理2知，|A|=|X*|=|X|n-1.下面對n的奇偶性做討論：

(iii) 當(dāng)r(A)=1時(shí)，A有分解式(*).于是

P-1X*Q-1=diag(1,0,…,0).

由(ii)知

從而由引理5，得

再由引理7，易得方程解所具有的形式，且易驗(yàn)證就是所有的解.顯然這樣的矩陣X有無窮多個(gè).

[參考文獻(xiàn)]

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京: 高等教育出版社, 2003：177-193.

[2]韓成茂. 伴隨矩陣性質(zhì)研究[D]. 濟(jì)南: 山東大學(xué), 2008.

[3]王新哲. 伴隨矩陣的反問題[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 1994, (5), 36-38.

[4]柯鏵,柯科. 伴隨矩陣的原矩陣[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013,38(6)： 4-7.

OriginalMatrixofaRealAdjointMatrix

HUANG Yan-ning，HU Zhi-guang

(CollegeofMathematicsandScience,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

Abstract:ThispaperdiscussesthesolutionsoftheadjointmatrixequationX*=Aintherealfield.

Keywords:adjoinmatrix;originalmatrix;realmatrix

[中圖分類號]O151.21

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0087-03