一類非線性二維自治系統(tǒng)的兩個重合著的極限環(huán)

王曉靜，　崔景安，　葉　萌，　許傳青

(北京建筑大學理學院數(shù)學系，北京100044)

一類非線性二維自治系統(tǒng)的兩個重合著的極限環(huán)

王曉靜，崔景安，葉萌，許傳青

(北京建筑大學理學院數(shù)學系，北京100044)

[摘要]利用《微分積分法軟件》和微分方程定性理論研究了一類二維非線性自治系統(tǒng)的動力學性質(zhì).探討了五個平衡點的存在性、穩(wěn)定性和極限集等一些幾何性質(zhì)，并通過描繪系統(tǒng)的圖像解，得到兩個重合的橫置的葫蘆形極限環(huán).在解題的過程中首次發(fā)現(xiàn)了一個反常的現(xiàn)象：此系統(tǒng)所描述的周期性運動其周期的大小隨自變量的微分的減小而增大.

[關鍵詞]平衡點； 穩(wěn)定性； 周期解； 極限環(huán)

1引言

常微分方程定性理論的基本思想是由方程直接研究和判斷解的性質(zhì)，它在常微分方程的研究中往往有其獨到的功能[1].文獻[2]中的微分積分法是以圖像的方式給出微分方程的解，稱作微分方程的圖像解，圖像解與數(shù)值計算中的數(shù)值解有著重大的區(qū)別.首先， 它們產(chǎn)生的條件不同.數(shù)值解的各種方法是在手算的基礎上逐漸發(fā)展出來的， 因此離散點很少， 解的數(shù)量也很少，而圖像解(即海量的數(shù)值解的可視性的表達方式)是在計算機問世之后產(chǎn)生的.其次，圖像解能以動態(tài)的形式模擬出微分方程所描述的實際過程，這也是普通的數(shù)值解所不能辦到的.

文獻[3]是一本比較經(jīng)典的教材，它既包括平面自治系統(tǒng)與穩(wěn)定性理論，又系統(tǒng)闡述了常微分方程分支理論.在研究本教材116頁的例5時，我們發(fā)現(xiàn)個有趣的現(xiàn)象：該二維非線性自治系統(tǒng)存在一個不通過原點(0，0)的周期解.下面利用文獻[2]中的圖像解來探討例5[3]，即如下非線性二維自治系統(tǒng)(1)的一些幾何性質(zhì).

(1)

2模型的平衡點

O(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(-1.3766,1.1028),D(1.3766,-1.10283).

證當y=0時，可由

(2)

直接求得平衡點O，A和B的坐標.

當y≠0時，平衡點C和D的坐標滿足

(3)

此時，必然有

將y=-x(1-x2)2代入(3)的第一個方程并用Matlab可求得x=±1.3766，從而

y=?1.1028,

即得平衡點C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)，見下面的圖1.

“無規(guī)矩不可成方圓”。黨中央的“八項規(guī)定”“三嚴三實”及“自律準則”“處分條例”等就是最好的規(guī)矩。千里之堤毀于蟻穴，一些巨貪，往往就是從貪小便宜步步為“盈”“煉”成的?！耙佐~”類似事件的嚴肅處理，體現(xiàn)的是“抓早抓小”，防微杜漸，以遏制由量變到質(zhì)變。“好規(guī)矩”需善始善終，嚴要求產(chǎn)生好成效，嚴管理養(yǎng)成好習慣，嚴標準才能得民心。杜絕“易魚”類似案例發(fā)生，打虎學武松拳頭要硬的同時，拍蠅力度亦不能松。

圖1　系統(tǒng)(1)的五個平衡點　　　　　　　　圖2　方程(4)的解圖像

這里，關于y軸對稱的兩條曲線和直線y=0代表(2)中第一個方程的圖形，另一條曲線代表(2)中第二個方程的圖形，三條曲線的五個交點即為系統(tǒng)(1)的五個平衡點.

注由Matlab[4]可畫出方程

(4)

的解圖像如圖2.將方程(4)的左邊沿著系統(tǒng)(1)求導得

圖3　系統(tǒng)(1)的圖像解

因此(4)表示的閉曲線經(jīng)過原點且滿足系統(tǒng)(1)的方程.

利用文獻[2]中的微分積分法可得系統(tǒng)(1)的圖像解(圖3)：

由系統(tǒng)(1)的圖像解可知，平衡點A和B為不穩(wěn)定的焦點，平衡點O,C和D為不穩(wěn)定的鞍點，利用微分方程定性理論給出如下證明.

定理2系統(tǒng)(1)五個平衡點中的A(1,0)與B(-1,0)是不穩(wěn)定的焦點，O(0,0)，C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)都是鞍點.

證系統(tǒng)(1)的特征矩陣是

(5)

把平衡點O(0,0)的值代入特征矩陣(5)中得

其特征方程和特征根分別為

|λI-J(O)|=λ2-1,λ1,2=±1，

所以平衡點O(0,0)是鞍點.

把平衡點A(1,0)與B(-1,0)的值代入特征矩陣(5)中得

其特征方程和特征根分別為

所以平衡點A(1,0)與B(-1,0)是不穩(wěn)定的焦點.

把平衡點C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)的值代入特征矩陣(5)中得

其特征方程和特征根分別為

顯然λ1,2是異號的兩個實根，所以C(-1.3766,1.1028)和D(1.3766,-1.10283)都是鞍點.

3兩個重合著的極限環(huán)

從圖3可以看出系統(tǒng)(1)圍繞著不穩(wěn)定的焦點A(1,0)與B(-1,0)各存在一個穩(wěn)定的極限環(huán).這兩個極限環(huán)的大小形狀及轉向均相同，是兩個完全重合著的橫置的葫蘆形極限環(huán)，為一、一結構.該極限環(huán)并不是圖2中的封閉曲線，但是系統(tǒng)(1)的經(jīng)過有解區(qū)域里的初值點的一切軌線的ω極限集，而點A和B分別是起點在圖2中的封閉曲線內(nèi)的右半和左半軌線的α極限集.

圖4(a)　　　　　　　　　　　　圖4(b) 　　　　　　　　　　　圖4(c)

利用文獻[2]中的微分積分法可畫出系統(tǒng)(1)當n=1000和n=10000兩組圖像解，見下圖5和圖6.其中n表示積分單位的等分數(shù)，n增加一個數(shù)量級，用來描繪圖形的離散點數(shù)就擴大十倍，得到的解的準確位數(shù)就提高一位.

圖5　n=1000時系統(tǒng)(1)的周期解圖像

圖6　n=10000時系統(tǒng)(1)的周期解圖像

其中tx和ty分別表示該曲線與其前一個峰、谷值之間的時間間隔.圖5和圖6中的峰、谷值高的曲線代表x(t)的解相圖，峰、谷值低的曲線代表y(t)的解相圖.數(shù)據(jù)中可以發(fā)現(xiàn)當n=1000時，得到周期為19.6的解，當n=10000時，得到周期為24.22的解.

類似的方法，我們可以得到當n=105,106,107時其周期分別為28.82，33.42和38.02.

在確定周期運動的峰值、谷值之準確位數(shù)時，發(fā)現(xiàn)其運動周期是隨自變量的微分dt的減小而增大(見表1中周期T的數(shù)據(jù))，這是一個反常的現(xiàn)象，一般周期性運動的周期是不隨dt變化的，若知道此微分方程組的來源及其相關的背景材料，或許可以得到滿意的答復.另外，在解題過程中曾多次降低對自變量的微分dt的數(shù)量級的計算，是為了觀察d值及運動周期T的變化，同時也從中獲知：

.

4結論

利用文獻[2]求解微分方程的通用方法-微分積分法給出了系統(tǒng)(1)的圖像解，找到了經(jīng)典教材[3]中沒有提到的兩個鞍點，并且由于這兩個不穩(wěn)定的平衡點的存在，系統(tǒng)(1)出現(xiàn)了圖3左右兩邊的無解區(qū).進而結合相圖說明了系統(tǒng)(1)存在兩個完全重合著的極限環(huán)，此種情況并不多見，并且發(fā)現(xiàn)運動周期T隨自變量的微分dt的變化而發(fā)生改變.

我們還利用Matlab[4]進行了數(shù)值模擬，當選取Reltol和Abstol的精度控制從10-11到10-12到10-13，對應的運動周期變化為55, 58, 63, 結果與本文的基本一致.并在精度相同的條件下通過改變初值來計算運動周期，結果表明不同初值并未對周期產(chǎn)生顯著影響，因此我們推斷精度是導致周期變化的主要原因.

[參考文獻]

[1]張芷芬，丁同仁，黃文灶，董鎮(zhèn)喜.微分方程定性理論[M]. 北京：科學出版社，2006.

[2]張渭曾，劉耀榮. 用《微分積分法》解黎卡提方程(附《微積分積分法》的簡介)[C]∥數(shù)學·力學·物理·高新技術研究進展—中國數(shù)學力學物理學高新技術交叉研究會第8屆學術研討會論文集， 2000， 8：64-68.

[3]張錦炎，馮貝葉. 常微分方程幾何理論與分支問題[M]. 第2次修訂本. 北京：北京大學出版社，2005：116-117.

[4]劉浩，韓晶.MatlabR2012a完全自學一本通[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2013.

TwoDuplicateLimitsCyclesofaKindofNonlinear

Two-DimensionAutonomousSystem

WANG Xiao-jing，CUI Jing-an，YE Meng,XU Chuan-qing

(SchoolofScience,BeijingUniversityofCivilEngineeringandArchitecture，Beijing100044,China)

Abstract:Thedynamicpropertiesofaclassofnonlineartwo-dimensionautonomoussystemareinvestigatedbasedonthedifferentialandintegralmethodandthequalitativetheoryofdifferentialequations.Theexistenceandstabilityoffiveequilibria,limitsetsandsomeothergeometricpropertiesareobtained.Fromtheimagesolution,wegettwoduplicatelimitcycleswithtransversegourdshaped.Anabnormalphenomenonwasfirstdiscoveredintheprocessofstudying:theperiodoftheperiodicmotionincreasesasthederivativeoftheindependentvariabledecreases.

Keywords:equilibrium;stability;periodicsolution;limitcycle

[基金項目]國家自然科學基金資助項目(10461006,11261037)； 內(nèi)蒙古師范大學“十百千”人才培養(yǎng)工程資助項目(RCPY-2-2012-K-033)

[收稿日期]2015-04-02

[中圖分類號]O175

[文獻標識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)04-0064-06