關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的若干新積分不等式

羅　強(qiáng)，　李成岳，　孫　鵬

(1.中央民族大學(xué)理學(xué)院, 北京100081；　2. 北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué), 北京102488)

關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的若干新積分不等式

羅強(qiáng)1，李成岳1，孫鵬2

(1.中央民族大學(xué)理學(xué)院, 北京100081；2. 北京師范大學(xué)良鄉(xiāng)附屬中學(xué), 北京102488)

[摘要]根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式,得到了C2([a,b])空間中函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的若干新積分不等式.

[關(guān)鍵詞]Cauchy-Schwarz不等式；H?lder不等式；積分不等式

1引言

在文獻(xiàn)[1]和[3]中, 下列著名問(wèn)題：

設(shè)f(x)∈C2([a,b])滿足邊界條件f(a)=f(b)=0,f′(a)=1,f″(b)=0, 求證：

(*)

得到了討論. 文獻(xiàn)[2]利用Cauchy-Schwarz不等式, 對(duì)這個(gè)問(wèn)題給出了一個(gè)解答. 受[1]-[3]的啟發(fā), 我們?cè)贑auchy-Schwarz不等式的基礎(chǔ)上, 建立了一系列關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的新的積分不等式, 進(jìn)一步又把這個(gè)結(jié)果推廣到關(guān)于任意階導(dǎo)數(shù)的積分不等式. 另外, 我們還利用同樣的技巧和H?lder不等式建立了關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)的任意次冪函數(shù)的積分不等式.

2關(guān)于|f″(x)|2的一般形式的積分不等式

文獻(xiàn)[2]對(duì)上述問(wèn)題(*)給出了如下證明.

證對(duì)f,g∈C2([a,b]), g″≠0時(shí), 由Cauchy-Schwarz不等式得到

(1)

取g(x)=(x-a)(x-b)2, 則

g(a)=g(b)=0,g′(a)=(b-a)2,g′(b)=0,

g″(x)=2[3x-(a+2b)].

(2)

計(jì)算得

(3)

由(2)得

=4(b-a).

(4)

聯(lián)合(1),(3),(4)得到

[4(b-a)]2≤4(b-a)3|f(x)3|2dx，

分析這個(gè)證明過(guò)程, 考慮選取另外的輔助函數(shù)g(x), 則也可建立一系列新的積分不等式：

(i) 取g(x)=(x-a)2(x-b), 則有

g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,

g″(x)=2[3x-(b+2a)].

(5)

(6)

=2(2b-2a)f′(b)-2(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a))

=2(b-a)(2f′(b)+f′(a))-6(f(b)-f(a)).

(7)

于是由(1),(6),(7)得到下列不等式

(ii) 取g(x)=(x-a)3, 則

g(a)=0,g(b)=(b-a)3,g′(a)=0,g′(b)=3(b-a)2,

g″(x)=6(x-a).

(8)

由(8)計(jì)算得

(9)

=6(b-a)f′(b)-6(f(b)-f(a)).

(10)

由(1),(9),(10)得到下列不等式

(iii) 取g(x)=(x-b)3，

g(a)=(a-b)3,g(b)=0,g′(a)=3(a-b)2,g′(b)=0,g″(x)=6(x-b).

(11)

由(11)計(jì)算得

=-12(a-b)3=12(b-a)3,

(12)

=6(b-a)f′(a)-6(f(b)-f(a)).

(13)

由(1),(12),(13)得到下列不等式

3關(guān)于|f(m)(x)|2的若干積分不等式(m≥1)

當(dāng)f,g∈C(m)([a,b])時(shí), 根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式, 有

(14)

以m=3為例, 此時(shí)若取g(x)為不同的4次多項(xiàng)式, 則也可以建立一系列不等式. 如

取g(x)=(x-a)(x-b)3, 則

g′(x)=(x-b)3+3(x-a)(x-b)2,

g″(x)=6(x-b)2+6(x-a)(x-b),

g?(x)=6(4x-3b-a),

g(4)(x)=24.

(15)

(16)

再計(jì)算

=6(b-a)f″(b)+18(b-a)-24(f′(b)-f′(a)).

(17)

根據(jù)(14),(16),(17)整理得

另外, 考慮m=1這個(gè)最簡(jiǎn)單的情形.根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式, 有

(18)

取g(x)=(x-a)(x-b), 則

g′(x)=2x-b-a,

(19)

(20)

再計(jì)算

(21)

由(18),(20),(21)得

特別地，若f(a)=f(b)=0, 則有

4關(guān)于|f″(x)|p的積分不等式(p>1)

(22)

g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,g″(x)=2[3x-(a+2b)],

令c=a+2b，有

g″(x)=2(3x-c).

(23)

(24)

把c=a+2b帶入, 根據(jù)(24)計(jì)算得

=2(b-a)f′(b)-4(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a)).

(25)

由(22),(24),(25)整理得

則

[參考文獻(xiàn)]

[1]張恭慶.泛函分析講義(上冊(cè))[M].北京：北京大學(xué)出版社,1987.

[2]林源渠.泛函分析指南(上冊(cè))[M].北京：北京大學(xué)出版社,2009.

[3]劉玉蓮,傅沛仁,林玎,范德馨,劉寧.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京：高等教育出版社, 2008.

SomeNewIntegralInequalitiesfortheSecondDerivative

LUO Qiang1，LI Cheng-yue1，SUN Peng2

(1.CollegeofScience,MinzuUniversityofChina,Beijing100081,China;

2.LiangXiangHighSchoolAffiliatedToBeijingNormalUniversity,Beijing102488,China)

Abstract:BytheCauchy-Schwarzinequality,theauthorsgetsomenewintegralinequalitiesforthesecondderivativeofthefunctioninspaceC2[a,b].

Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;Holderinequality;integralinequality

[基金項(xiàng)目]浙江省自然科學(xué)基金(LQ13A010018)；國(guó)家自然科學(xué)基金(11401530)

[收稿日期]2014-12-31

[中圖分類號(hào)]O178

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0055-05