關(guān)于凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

張亞楠,　劉長(zhǎng)劍

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇蘇州215006)

關(guān)于凸函數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性

張亞楠,劉長(zhǎng)劍

(蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇蘇州215006)

[摘要]證明了開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)其左導(dǎo)數(shù)必定左連續(xù)，右導(dǎo)數(shù)必定右連續(xù).

[關(guān)鍵詞]凸函數(shù)； 微積分基本定理； 單側(cè)連續(xù)

在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)過(guò)程中，對(duì)凸函數(shù)性質(zhì)的介紹是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn). 一個(gè)簡(jiǎn)單而直觀的例子是絕對(duì)值函數(shù)y=|x|. 容易驗(yàn)證它是凸函數(shù), 其兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在并在x=0處間斷.我們進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，其單側(cè)導(dǎo)數(shù)雖然在x=0處間斷，但是分別單側(cè)連續(xù). 本文的主要目的就是將該結(jié)論推廣到一般的凸函數(shù)上，即證明如下結(jié)論：

定理1設(shè)f(x)是定義在開(kāi)區(qū)間I上的凸函數(shù),則其左導(dǎo)數(shù)必定左連續(xù)，右導(dǎo)數(shù)必定右連續(xù). 也即成立

這個(gè)定理的結(jié)論與[1]中122頁(yè)推論3(導(dǎo)數(shù)極限定理)很相似，但導(dǎo)數(shù)極限定理的證明需要拉格朗日中值定理，而對(duì)單側(cè)導(dǎo)數(shù)而言拉格朗日中值定理不一定成立，所以定理1的證明需要新的方法.我們給出兩種證明方法.方法一利用積分的思想而方法二則采用微分的思想.

引理1[3,4]設(shè)f(x)在開(kāi)區(qū)間I上連續(xù), 其單側(cè)導(dǎo)數(shù)f′-或f′+存在且黎曼可積，則對(duì)?a,b∈I，a≤b，成立

(1)

容易驗(yàn)證開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)滿(mǎn)足引理1的條件，因此對(duì)凸函數(shù)成立(1)式.

定理1的證明(方法1)只證明定理的前半部分；后半部分可類(lèi)似證明.

(2)

另一方面，由引理1可得

(3)

結(jié)合(2),(3)兩式，即得結(jié)論.

以上是基于積分的證明，下面我們將給出一個(gè)基于微分的證明. 首先給出如下引理.

證只證明不等式的右半部分，左半部分類(lèi)似可證.

任取z∈(x,y),由凸函數(shù)定義可知

若不然，則存在z∈(x,y),使得

記

F(ξ2)>F(y)-ε.

定理1的證明(方法2)同樣只證明定理的前半部分；后半部分可類(lèi)似證明.

由引理2 可知，?Δx<0,?ξ∈(x0+Δx,x0), 使得

上式中另Δx→0-, 即得

致謝：本文第一作者受到中國(guó)博士后基金(2014T70539)和教育部博士點(diǎn)基金(20133201120002)的資助，第二作者受到中國(guó)自然基金面上項(xiàng)目(NSFC-11371269)的資助.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 3版. 北京：高等教育出版社，2001.

[2]謝惠民，惲自求，易法槐，錢(qián)定邊. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[3]MichaelW.BotskoandRichardA.Gosser,StrongerVersionsoftheFundamentalTheoremofCalculus[J].TheAmericanMathematicalMonthly, 1986，93(4)：294-295.

[4]王良成.凸函數(shù)及其不等式[M]. 成都：四川大學(xué)出版社，2001.

OntheContinuityofOne-SidedDerivativeofConvexFunction

ZHANG Ya-nan,LIU Chang-jian

(SchoolofMathematicalSciences,SoochowUniversity,Suzhoujiangsu215006,China)

Abstract:Weprovethattheleftderivativeofaconvexfunctiononanopenintervalmustbeleftcontinuousandtherightderivativemustberightcontinuous.

Keywords:convexfunction;fundamentaltheoremofcalculus;one-sidedcontinuous

[基金項(xiàng)目]國(guó)家自然科學(xué)基金(11171342)；中央民族大學(xué)科研創(chuàng)新基金

[收稿日期]2015-01-11

[中圖分類(lèi)號(hào)]O178

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0053-02