從對(duì)立事件談逆向思維的訓(xùn)練

吳春紅

(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安710049)

AbilityfromOppositeEvent

WU Chun-hong

(SchoolofMathematicsandStatistics,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049，China)

從對(duì)立事件談逆向思維的訓(xùn)練

吳春紅

(西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安710049)

[摘要]在《概率論》教學(xué)中，通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，可有效地提高學(xué)生的思維能力.

[關(guān)鍵詞]教學(xué)； 逆向思維； 思維能力

現(xiàn)代科技革命對(duì)智力和創(chuàng)造力提出越來(lái)越高的要求，世界各國(guó)都面臨著智力競(jìng)賽、科技競(jìng)賽的迫切任務(wù)，促使一批心理學(xué)家、思維科學(xué)家把思維訓(xùn)練納入到現(xiàn)代教育中.思維訓(xùn)練，又叫思維教學(xué)，是有計(jì)劃、有目的地為增強(qiáng)思維能力，提高思維品質(zhì)所進(jìn)行的訓(xùn)練和教學(xué)活動(dòng)[1].我們可以從所教課程出發(fā)，挖掘典型例題，從典型例題中發(fā)現(xiàn)有利于思維的好方法.而《概率論》有它獨(dú)特的概念，即對(duì)立事件.有關(guān)對(duì)立事件及其概率的典型題，它們可作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練的練習(xí)，而逆向思維有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng).

1逆向思維概述

創(chuàng)造性思維方式有多種形式，其中包括正向思維與逆向思維.正向思維是沿著人們習(xí)慣性的、由因到果的思路思考問(wèn)題的一種思維方式.在通常情況下，這種思維方式比較有效、經(jīng)濟(jì)，能解決大部分常規(guī)問(wèn)題[2].但任何事物都包括對(duì)立的兩個(gè)方面，這兩個(gè)方面又相互依存于一個(gè)統(tǒng)一體中.人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，不能只看其中的一方面，而忽視另一方面.如果從反面考慮問(wèn)題，往往會(huì)產(chǎn)生出一些意想不到的結(jié)果.

逆向思維是與正向思維相對(duì)而言的.逆向思維又稱(chēng)反向思維，是指從反面或?qū)α⒚嫣岢鰡?wèn)題、思索問(wèn)題的思維過(guò)程，是以背離常規(guī)的思維方法來(lái)解決問(wèn)題的思維方式.

逆向思維的具體方法有三種，其中之一就是反轉(zhuǎn)型逆向思維法[3]，即從已知事物的功能、結(jié)構(gòu)、因果關(guān)系等方面相反方向進(jìn)行思考，產(chǎn)生構(gòu)思的途徑.這種思維方法在概率論中通常為“對(duì)立互補(bǔ)法”.

概率論的教學(xué)目的，不止停留在掌握知識(shí)這個(gè)層面上，而要提高到方法和能力的層面上.主要關(guān)注面對(duì)的問(wèn)題以及解決問(wèn)題的方式.所以，本文通過(guò)概率論中的實(shí)例分析，對(duì)學(xué)生加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練，促使其提高創(chuàng)造性思維能力.

2對(duì)立事件的定義

對(duì)立事件B又叫做“補(bǔ)事件”.

例1設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，試?yán)肁,B,C表達(dá)下列事件：

D={三個(gè)事件中至多有兩個(gè)出現(xiàn)}.

這個(gè)表達(dá)式有7項(xiàng)之多.

這個(gè)表達(dá)式僅僅1項(xiàng).

比較兩個(gè)表達(dá)式，法一就是正向思維，而法二換一個(gè)角度看問(wèn)題，從相反的方向思考問(wèn)題，這就屬于逆向思維.逆向思維有助于我們開(kāi)闊思路，收到意想不到的效果.

3利用對(duì)立事件的概率性質(zhì)加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維的訓(xùn)練

對(duì)立事件的概率性質(zhì)：對(duì)任一事件A，則

這一性質(zhì)是概率論理論中的獨(dú)特性質(zhì)，它為運(yùn)用逆向思維提供理論依據(jù).利用此性質(zhì)不僅可以幫助我們解決一些實(shí)際問(wèn)題，而且可以促使學(xué)生的逆向思維能力不斷提高.

3.1　在古典概率教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練

在隨機(jī)事件與概率這一部分內(nèi)容中，有一些典型例題可以作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練的練習(xí).在分析講解例題時(shí)，要強(qiáng)調(diào)逆向思維的積極作用.

例2箱子中裝有100個(gè)產(chǎn)品，其中有3個(gè)次品.為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，從這箱產(chǎn)品中任意抽取5個(gè)，求抽取的5個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品的概率.

解法一設(shè)A={至少有一個(gè)次品}，B1={恰有一個(gè)次品}，

B2={恰有二個(gè)次品}，B3={恰有三個(gè)次品}.

由概率的加法定理，所求概率為

P(A)=P(B1)+P(B2)+P(B3)，

即

于是，由對(duì)立事件概率的性質(zhì)，所求概率為

法一的解法就是一步一步按照正向思維方式進(jìn)行求解.而法二則利用了對(duì)立事件的性質(zhì)求解，體現(xiàn)了逆向思維的積極作用.

例3從n雙不同的手套中任取2k(2k

第二步，從取出的2k雙手套中各選一只手套，有22k種取法.

從上面的解法看到，一方面利用對(duì)立事件的概率性質(zhì)可以快速求解，另一方面還對(duì)學(xué)生的逆向思維加以訓(xùn)練，拓展了學(xué)生的思維空間.

3.2　在一維隨機(jī)變量教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練

在一維隨機(jī)變量及概率分布這一部分內(nèi)容中，也有一些典型例題可以作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練的練習(xí).下面主要介紹一些離散型隨機(jī)變量的例題，而對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量的例題則可以類(lèi)推.在分析講解例題時(shí)，讓學(xué)生對(duì)逆向思維有進(jìn)一步的體會(huì)與認(rèn)識(shí).

例4設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.001，現(xiàn)獨(dú)立射擊1000次，求至少擊中2彈的概率.

解設(shè)X表示這1000次獨(dú)立射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則

X～B(1000,0.001).

對(duì)于隨機(jī)變量，對(duì)立事件概率的性質(zhì)同樣適用.于是所求概率為

=1-0.9991000-1000×0.001×(0.999)999≈0.264.

這種解法是利用對(duì)立事件求概率的解法，可以作為逆向思維的訓(xùn)練.另外的解法也有，比如用泊松近似公式也可以求解此題.

例5[5]某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X～P(0.8)，求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.

解因X～P(0.8)，所以X的分布律為

法一利用泊松分布表求解

則所求概率為

法二對(duì)于隨機(jī)變量，對(duì)立事件概率的性質(zhì)同樣適用.則所求概率為

可以看到法一就是正向思維方式的解法，法二就是逆向思維方式的解法.兩種方法可以讓學(xué)生加深對(duì)內(nèi)容的理解并掌握所學(xué)知識(shí).同時(shí)，學(xué)生的思維能力也有所提高.

3.3　在二維隨機(jī)變量教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練

在二維隨機(jī)變量及概率分布這一部分內(nèi)容中，仍然有一些典型例題可以作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練的練習(xí).下面主要介紹一例連續(xù)型隨機(jī)變量的例題，而對(duì)于離散型隨機(jī)變量的例題則可以類(lèi)推.在分析講解例題時(shí)，再一次強(qiáng)調(diào)逆向思維的作用.

例6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為

(i)確定A的值；(ii)求P{X-Y≥0}.

解(i) 由性質(zhì)，得

得A=3/4.

(ii) 對(duì)于二維隨機(jī)變量，對(duì)立事件概率的性質(zhì)同樣適用.則所求概率為

在(ii)的求解中，利用了對(duì)立事件的概率性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，也就是逆向思維的應(yīng)用，再一次對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練.

3.4　在中心極限定理教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練

在中心極限定理這一部分內(nèi)容中，仍然有一些典型例題可以作為對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練的練習(xí).在分析講解例題時(shí)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)逆向思維的作用，給學(xué)生留下深刻印象.

例7計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法時(shí)，對(duì)每個(gè)加數(shù)取整(即取為最接近于它的整數(shù))，設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的，且它們都在(-0.5,0.5)上服從均勻分布.若取1200個(gè)數(shù)相加，問(wèn)誤差總和的絕對(duì)值超過(guò)20的概率是多少？

解設(shè)每個(gè)數(shù)取整誤差為Xk(k=1,2,…,1200).

所以

由中心極限定理，有

對(duì)于隨機(jī)變量，對(duì)立事件概率的性質(zhì)同樣適用.則所求概率為

≈1-[Φ(2)-Φ(-2)]=2[1-Φ(2)]=0.046.

利用中心極限定理求解概率問(wèn)題，需要用到正態(tài)分布的理論.在上題的求解過(guò)程中，一方面對(duì)學(xué)生加強(qiáng)了逆向思維的訓(xùn)練，另一方面使學(xué)生加深對(duì)正態(tài)分布理論的理解與認(rèn)識(shí).

4結(jié)束語(yǔ)

我們可以看到，用于逆向思維訓(xùn)練的實(shí)例很多.而思維能力的提高是一個(gè)潛移默化的過(guò)程.所以，在《概率論》教學(xué)中，教師需有意識(shí)、有目的地對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，并將正向思維與逆向思維相互比較，不僅能使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，而且還能開(kāi)拓解題途徑，對(duì)提高學(xué)生的思維能力具有極其重要的作用.學(xué)生思維能力的提高，對(duì)于解決學(xué)生日常生活中遇到的問(wèn)題也有一定的幫助.

[參考文獻(xiàn)]

[1]魏奇.現(xiàn)代思維方式與創(chuàng)造性思維[M].西安：陜西人民出版社，2005.

[2]宮承波.創(chuàng)新思維訓(xùn)練[M].北京：中國(guó)廣播電視出版社，2014.

[3]李存金.大學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)方法論[M].北京：經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2013.

[4]施雨, 李耀武.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用[M].2版.西安：西安交通大學(xué)出版社，2005.

[5]吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

AboutCultivatingtheStudents’ReverseThinking

AbilityfromOppositeEvent

WU Chun-hong

(SchoolofMathematicsandStatistics,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049，China)

Abstract:Inprobabilityteaching,thestudents’abilityinabilityofthinkingcanbeeffectivelyimprovedthroughthetraininginreversethinking.

Keywords:teaching;reversethinking;abilityofthinking

[中圖分類(lèi)號(hào)]O211

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]C

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0040-05