域同態(tài)的擴(kuò)張的個數(shù)

高　升

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

域同態(tài)的擴(kuò)張的個數(shù)

高升

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

[摘要]設(shè)h:F→Ω是域的同態(tài)，E是F的有限次擴(kuò)域，本文討論了使h到E上的擴(kuò)張的個數(shù)取得最大值的條件.

[關(guān)鍵詞]域； 單同態(tài)； 同態(tài)的擴(kuò)張； 可分次數(shù)

1引言

設(shè)F是任意一個域，E是F的有限次擴(kuò)域; h:F→Ω是從F到另一域Ω的單同態(tài).本文主要討論這樣一個問題：有多少種方式將h擴(kuò)張為從E到Ω的單同態(tài)？

為了簡便，用記號Emb(E,Ω)表示從E到Ω的全部單同態(tài)的集合，用Emb(F,h)(E,Ω)表示所有擴(kuò)張了h的、從E到Ω的單同態(tài)的集合，即

Emb(F,h)(E,Ω)={ξ∈Emb(E,Ω)|ξ|F=h}，

其中ξ|F表示ξ到F上的限制映射.這樣，本文討論的問題也就是集合Emb(F,h)(E,Ω)中元素的個數(shù)(在一般情況下，E和Ω之間沒有包含關(guān)系，Emb(E,Ω)和Emb(F,h)(E,Ω)有可能為空集.)

將域擴(kuò)張E/F的可分次數(shù)記為[E∶F]sep，則不等式

|Emb(F,h)(E,Ω)|≤[E∶F]sep

在任何情況下都是成立的(見本文引理5).

現(xiàn)有文獻(xiàn)在某些情況下討論了該不等式等號成立的條件.[1]第224頁命題1證明了:當(dāng)Ω是h(F)的代數(shù)閉包時(shí)，|Emb(F,h)(E,Ω)|可以取到最大值[E∶F]sep.[2]第20頁命題3和[6]第77頁定理16都證明了:當(dāng)Ω是F的一個代數(shù)正規(guī)擴(kuò)張且E是Ω/F的中間域時(shí)，從E到Ω的F-單同態(tài)的個數(shù)取到最大值[E∶F]sep.[4]第131頁命題3.2給出了當(dāng)Ω為F的擴(kuò)域時(shí)使E到Ω的F-單同態(tài)個數(shù)等于[E∶F]的充要條件.[6]第79頁推論1證明了：E的F-自同構(gòu)群Gal(E/F)的階一定不超過[E∶F]sep，且等式|Gal(E/F)|=[E∶F]sep成立的充要條件是E/F為正規(guī)擴(kuò)張.[7]第142頁定理5.2.6給出了當(dāng)Ω為E在F上的正規(guī)閉包時(shí)使E到Ω的F-單同態(tài)個數(shù)等于[E∶F]的充要條件.文獻(xiàn)[8]在第135頁證明了，若F?E?Ω，則E到Ω的F-單同態(tài)個數(shù)一定不超過[E∶F]sep，在適當(dāng)?shù)剡x取Ω時(shí)可以取到最大值[E∶F]sep.

本文將在一般情況下討論使|Emb(F,h)(E,Ω)|取到最大值[E∶F]sep的充分必要條件.

2對主要定理的敘述和證明

將有限次域擴(kuò)張E/F的純不可分次數(shù)記為[E∶F]ins，F(xiàn)在E中的可分閉包記為ES(此時(shí)有[E∶F]sep=[ES∶F]，[E∶F]ins=[E∶ES]).對于任一α∈E，用min(α,F)表示α在F上的極小多項(xiàng)式.F[X]表示F上的一元多項(xiàng)式環(huán)，以X為不定元.對于F[X]中的多項(xiàng)式

記號degf表示它的次數(shù).對每一單同態(tài)h:F→Ω，定義一個映射

引理1([5, 推論5.2.9, 第218頁])設(shè)F和Ω是兩個域，h:F→Ω是從F到Ω的單同態(tài)，F(xiàn)(β)是F的一個單代數(shù)擴(kuò)域， min(β,F)=f(X)，則

|Emb(F,h)(F(β),Ω)|=|{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|，

即h到F(β)上的擴(kuò)張的個數(shù)等于多項(xiàng)式h*(f)在Ω中的全部根的個數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù)).

引理2([3, 推論6.14，第287頁])設(shè)F是一個域，f(X)是F[X]中的首一不可約多項(xiàng)式；L是F的一個擴(kuò)域，使得f(X)在L[X]中可以完全分裂為一次因子的乘積.若f(X)在L中全部兩兩互異的根為γ1,γ2,…,γn，則必有n=[F(γ1)∶F]sep，且

f(X)=[(X-γ1)(X-γ2)·…·(X-γn)][F(α)∶F]ins，

即f(X)的每個根的重?cái)?shù)都等于[F(γ1)∶F]ins.

引理3設(shè)E/F是域的純不可分代數(shù)擴(kuò)張，ξ1和ξ2都是從域E到域Ω的同態(tài)映射.如果ξ1|F=ξ2|F，那么必有ξ1=ξ2.

證若F的特征為0，則E/F同時(shí)又是可分?jǐn)U張，從而必有E=F.故不妨設(shè)F的特征為素?cái)?shù)p.此時(shí)，E和Ω的特征都是素?cái)?shù)p.任取α∈E，則存在非負(fù)整數(shù)l，使得αpl∈F，從而有ξ1(αpl)=ξ2(αpl)，即ξ1(α)pl=ξ2(α)pl.所以，

[ξ1(α)-ξ2(α)]pl=ξ1(α)pl-ξ2(α)pl=0，

從而ξ1(α)=ξ2(α).

引理4設(shè)E=F(S)是域F的代數(shù)擴(kuò)域，L是E/F的中間域；Ω是另一個域，h:F→Ω是從F到Ω的單同態(tài).又設(shè)對每個α∈S，多項(xiàng)式h*(min(α,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.在這些條件下，如下結(jié)論成立：

(i) 集合Emb(F,h)(E,Ω)是非空的，即h可以提升為從E到Ω的單同態(tài)；

(ii) 對于每個ρ∈E，h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積；

(iii) 若φ是從L到Ω的單同態(tài)且φ|F=h，則φ可提升為從E到Ω的單同態(tài)，即映射Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(L,Ω)(ξξ|L)是滿的.

min(ρ,F)=(X-ρ1)(X-ρ2)…(X-ρk)，

(iii) 此時(shí)E=L(S)，并且對每個α∈S，在L[X]中有min(α,L)|min(α,F).于是，在Ω[X]中有φ*(min(α,L))|φ*(min(α,F)).注意到min(α,F)的系數(shù)都屬于F且φ|F=h，故

φ*(min(α,F))=h*(min(α,F)).

所以，在Ω[X]中有φ*(min(α,L))|h*(min(α,F)).由已知條件，h*(min(α,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積，故φ*(min(α,L))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.于是，由本引理之(1)知，φ:L→Ω可提升為從E到Ω的單同態(tài).

引理5設(shè)E/F是有限次的域擴(kuò)張，h:F→Ω是從F到另一域Ω的單同態(tài)，則有

|Emb(F,h)(E,Ω)|≤[E∶F]sep.

證設(shè)ES為F在E中的可分閉包，則E/ES是純不可分?jǐn)U張，ES/F是單擴(kuò)張.由于有限可分?jǐn)U張必為單擴(kuò)張，故可以選取β∈ES，使得ES=F(β).

設(shè)min(β,F)=f(X).若Emb(F,h)(E,Ω)=?，則待證不等式顯然成立.不妨設(shè)Emb(F,h)(E,Ω)≠?.由引理3可知，映射

Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(ES,Ω)(ξξ|ES)

是單的，所以

|Emb(F,h)(E,Ω)|≤|Emb(F,h)(ES,Ω)|=|Emb(F,h)(F(β),Ω)|.

(1)

再由引理1可知，

|Emb(F,h)(F(β),Ω)|= |{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|≤degh*(f)=degf=[F(β)∶F]=[ES∶F].

(2)

結(jié)合(1)式和(2)式，可知

|Emb(F,h)(E,Ω)|≤[ES∶F]=[E∶F]sep.

以下定理是本文的主要結(jié)果.

定理設(shè)E/F是有限次的域擴(kuò)張，E=F(α1,α2,…,αr)，h:F→Ω是從域F到另一域Ω的單同態(tài)，則以下三者彼此等價(jià)：

(i) |Emb(F,h)(E,Ω)|=[E∶F]sep；

(ii) 對每個j∈{1,2,…,r}，多項(xiàng)式h*(min(αj,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積；

(iii) 對每個ρ∈E，多項(xiàng)式h*(min(ρ,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.

證設(shè)ES為F在E中的可分閉包，則E/ES是純不可分?jǐn)U張，ES/F是單擴(kuò)張.選取β∈ES，使得ES=F(β).設(shè)min(β,F)=f(X)(在以下的討論中一直使用這些記號).

(i)(ii) 由于α1,α2,…,αr地位平等，只需證明：h*(min(α1,F))在Ω[X]中可以完全分裂為一次因子的乘積.

考慮映射λ:Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(F(α1),Ω)(ξξ|F(α1))，則有

Emb(F,h)(E,Ω)=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω)λ-1(h′)=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω){ξ∈Emb(F,h)(E,Ω)|ξ|F(α1)=h′}

=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω){ξ∈Emb(E,Ω)|ξ|F(α1)=h′}=∪h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω)Emb(F(α1),h′)(E,Ω) .

此處，λ-1(h′)表示h′關(guān)于映射λ的全部原像的集合.集合Emb(F(α1),h′)(E,Ω)對于不同的h′是互不相交的，所以由引理5可知

|Emb(F,h)(E,Ω)|=∑h′∈Emb(F,h)(F(α1),Ω)|Emb(F(α1),h′)(E,Ω)|≤|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|·[E∶F(α1)]sep.

又由(i)中條件，有

[E∶F]sep=|Emb(F,h)(E,Ω)|≤|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|·[E∶F(α1)]sep，

所以

[F(α1)∶F]sep=[E∶F]sep/[E∶F(α1)]sep≤|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|.

由引理5,又有

|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|≤[F(α1)∶F]sep，

于是必有

|Emb(F,h)(F(α1),Ω)|=[F(α1)∶F]sep.

于是，由引理1可知，多項(xiàng)式h*(min(α1,F))在Ω中的根的個數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù))恰為[F(α1)∶F]sep.又由引理2可知，min(α1,F)在任一分裂域中的全部根的個數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù))為[F(α1)∶F]sep，從而h*(min(α1,F))在任一分裂域中的根的個數(shù)(不計(jì)重?cái)?shù))也是[F(α1)∶F]sep.由此可知， h*(min(α1,F))在Ω[X]中可以完全分裂為一次因子的乘積.

(ii)(iii) 這可由引理4(ii)直接推出.

(iii)(i) 由引理4(iii)可知，映射

Emb(F,h)(E,Ω)→Emb(F,h)(ES,Ω)(ξξ|ES)

是一個滿射.由引理3可知，此映射同時(shí)也是一個單射.所以此映射是一個雙射，從而有

|Emb(F,h)(E,Ω)|=|Emb(F,h)(ES,Ω)|=|Emb(F,h)(F(β),Ω)|

(a)

由引理1可知

|Emb(F,h)(F(β),Ω)|= |{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|

(b)

由條件(iii)可知，多項(xiàng)式h*(f)=h*(min(β,F))在Ω[X]中可完全分裂為一次因子的乘積.因?yàn)棣略贔上是可分的，所以f(X)=min(β,F)在任一分裂域上都沒有重根，從而

h*(f)=h*(min(β,F))

在Ω中沒有重根.這樣就有

|{ω∈Ω|h*(f)(ω)=0}|=degh*(f)=degf=[F(β)∶F]=[ES∶F]=[E∶F]sep

(c)

綜合(a)，(b)，(c)三式，有

|Emb(F,h)(E,Ω)|=[E∶F]sep，

于是(i)得證.

3結(jié)論

現(xiàn)有文獻(xiàn)對于使域嵌入的擴(kuò)張的個數(shù)達(dá)到最大的充分條件多有討論，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于證明了這些條件的必要性.

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OntheNumberofExtensionsofaFieldHomomorphism

GAO Sheng

(SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology，Hefei230009,China)

Abstract:Leth:F→ΩbeafieldhomomorphismandEafinitedimensionalextensionfieldofF.Inthisarticle,wediscusstheconditionsforthenumberoftheextensionsofhtoEtoattainitsmaximum.

Keywords:field;monomorphism;extensionsofahomomorphism;separabledegree

[中圖分類號]O153.4

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)04-0030-04