一類非齊次樹(shù)上關(guān)于馬氏鏈場(chǎng)滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理

金少華，　趙　旋，　陳秀引，　賀雅萍

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401)

一類非齊次樹(shù)上關(guān)于馬氏鏈場(chǎng)滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理

金少華，趙旋，陳秀引，賀雅萍

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401)

[摘要]樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.本文利用Borel-Cantelli引理研究給出了一類非齊次樹(shù)上馬氏鏈場(chǎng)關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理.

[關(guān)鍵詞]非齊次樹(shù)； 負(fù)二項(xiàng)分布； 馬氏鏈； 強(qiáng)偏差定理

1前言

樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)偏差定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.文獻(xiàn)[1]研究給出了m根Cayley 樹(shù)指標(biāo) m階有限狀態(tài)非齊次Markov 鏈的一些極限性質(zhì). 文獻(xiàn)[2] 研究給出了Bethe樹(shù)上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類強(qiáng)偏差定理.本文利用Borel-Cantelli引理研究給出了一類非齊次樹(shù)上馬氏鏈場(chǎng)關(guān)于負(fù)二項(xiàng)分布滑動(dòng)平均的強(qiáng)偏差定理.

2定義

設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)o的無(wú)限樹(shù)，{Nn,n≥1}是一列正整數(shù)集，如果第n(n≥0)層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，則稱T為廣義Bethe樹(shù)或廣義Cayley樹(shù).特別地，若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N，用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類得到模m的剩余類

(0)={0,m,2m,3m,…,nm,…},

(1)={1,m+1,2m+2,3m+1,…,nm+1,…},

………………………

(m-1)={m-1,2m-1,3m-1,…,(n+1)m-1,…},

當(dāng)n∈(i)時(shí)，令Nn+1=αi(αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1)，i=0,1,2,…,m-1， 就得到了一類特殊的非齊次樹(shù)Tα0,α1,…,αm-1.

以下恒以T表示樹(shù)Tα0,α1,…,αm-1，以Ln表示第n(n≥0)層上所有頂點(diǎn)的子圖，Tn表示含有從o頂點(diǎn)到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖.S(t)表示頂點(diǎn)t的所有子代的子圖.

定義2.1設(shè){Ω,F,P}為一概率空間，{Xσ,σ∈T}是定義在該概率空間并于S={0,1,2,…}上取值的隨機(jī)變量族，設(shè)

P0={p0(x),x∈S}

(1)

是S上一概率分布，而

Pn=(pn(y|x)),x,y∈S,n≥0

(2)

?x,y,x1,x2,…,xn∈S.

(3)

并且

P0(X0,1=x)=p0(x),?x∈S，

(4)

則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布(1)與隨機(jī)矩陣列(2)的在S上取值的樹(shù)指標(biāo)非齊次馬氏鏈.

上述定義的樹(shù)T上的非齊次馬爾可夫鏈{Xσ,σ∈T}的聯(lián)合分布為

(5)

設(shè)Q為可測(cè)空間(Ω,F)上的另一概率測(cè)度，{Xσ,σ∈T}在測(cè)度Q下的聯(lián)合分布為

(6)

即{Xσ,σ∈T}在測(cè)度Q下相互獨(dú)立，且服從

的負(fù)二項(xiàng)分布，其中xξk∈S,pξk+qξk=1,ξk∈Lk.

定義2.2設(shè)0≤a1≤a2≤…是一整值數(shù)列，隨機(jī)變量族{Xσ,σ∈T}在測(cè)度P，Q下的聯(lián)合分布分別由(5)式與(6)式定義

(7)

φn(ω)=lnLn(ω)，

(8)

(9)

3主要結(jié)果及其證明

引理 3.1設(shè){Xσ,σ∈T}是定義在(Ω,F)上的在S={0,1,2,…}上取值的隨機(jī)變量族，P和Q為定義在F上的兩個(gè)不同的概率測(cè)度，記

P(XTn=xTn)=P(xTn),Q(XTn=xTn)=Q(xTn),

(10)

則

(11)

故有Ep(Zn)≤1成立.

對(duì)?ε>0，根據(jù)馬爾科夫不等式，有

P(|Tn|-1lnZn≥ε)=P(Zn≥e|Tn|ε)≤e-|Tn|ε，

由上式，有

(12)

根據(jù)Borel-Cantelli引理，由(12)式及ε的任意性，便得(11)式成立.

定理3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布(1)與轉(zhuǎn)移矩陣列(2)的在S上取值的樹(shù)指標(biāo)非齊次馬爾可夫鏈，它在F的另一概率測(cè)度Q下的聯(lián)合分布由(6)式定義，Ln(ω)及φn(ω)分別由(7)式與(8)式所定義，{al,l≥1}如前定義.令α=inf{qσ,σ∈T}>0,設(shè)存在M>0，使得

(13)

設(shè)0≤c≤1為一常數(shù)，令

H(c)={ω:M(P‖Q)(ω)≤c}，

(14)

則

(15)

(16)

(17)

因?yàn)?/p>

和p(Xξal+1,Xξal+2,…,Xξal+n)分別為{Xσ,σ∈T}的參考分布和真實(shí)分布，由引理3.1知，存在A(λ)∈F,P(A(λ))=1,使得

(18)

由(17)式和(18)式，有

(19)

由(14)式和(19)式，有

(20)

(21)

根據(jù)上極限的性質(zhì)

(22)

于是此時(shí)有

(23)

由(22)式和(23)式，有

(24)

由于

故由(25)式知(15)式成立.

(26)

因?yàn)镻(A*)=1，故由(26)式知，當(dāng)c=0時(shí)(15)式成立.

取λ∈(0,1),將(20)式兩邊同時(shí)除以lnλ，有

(27)

根據(jù)下極限的性質(zhì)

(28)

(29)

類似(26)式的證明，知當(dāng)c=0時(shí),(16)式也成立.

[參考文獻(xiàn)]

[1]Shi Z Y, Yang W G. Some limit properties for them-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by anmrooted Cayley tree[J]. Statist Probab Lett, 2010, 80(15): 1223-1233.

[2]Yang W G.. A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree[J]. Stochastic Analysis and Applications, 2012, 30(2):220-237.

A Strong Deviation Theorem for the Moving Averages of Markov Chain Fields on a Non-homogenous Tree

JINShao-hua,ZHAOXuan,CHENXiu-yin,HEYa-ping

(College of Science, Hebei University of Technology, Tianjin 300401，China)

Abstract:In recent years, tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory . The deviation theorem has been one of the central issues of the international probability theory. In this paper, by means of Borel-Cantelli lemma, a strong deviation theorem for the moving averages of Markov chain fields on a non-homogenous tree is given.

Key words:non-homogeneous tree; negative binomial distribution; Markov chain; strong deviation theorem

[中圖分類號(hào)]O177.91

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)04-0025-05