具有連續(xù)參數(shù)的寬平穩(wěn)隨機場的采樣定理及應(yīng)用

徐業(yè)基

(復(fù)旦大學(xué)管理學(xué)院統(tǒng)計學(xué)系，上海200433)

具有連續(xù)參數(shù)的寬平穩(wěn)隨機場的采樣定理及應(yīng)用

徐業(yè)基

(復(fù)旦大學(xué)管理學(xué)院統(tǒng)計學(xué)系，上海200433)

[摘要]研究具有連續(xù)參數(shù)的寬平穩(wěn)隨機場的采樣定理，并求出它的相關(guān)函數(shù)；譜密度函數(shù)和譜函數(shù)的估計式以及它們的一致收斂的速度.

[關(guān)鍵詞]寬平穩(wěn)隨機場； 相關(guān)函數(shù)； 譜密度函數(shù)； 譜函數(shù)； 采樣定理

為方便，本文只討論具有兩元連續(xù)參數(shù)的寬平穩(wěn)隨機場，其方法和所得結(jié)果可以推廣到n元的情況.

設(shè){X(s,t),-∞

其中Zx(λ,μ)是正交增量的兩元隨機函數(shù)，且對平面上任意兩個Borel可測集s1及s2，成立著

稱Zx(λ,μ)與Fx(λ,μ)各為{X(s,t)}的隨機譜函數(shù)與譜函數(shù).若

則fx(λ,μ)稱為譜密度.記{X(s,t)}的相關(guān)函數(shù)為Gx(s,t).則

y(k,l)=X(kΔ1,lΔ2)，(k,l=0,±1,±2,…)，

則{y(k,l)}是均值為零的離散寬平穩(wěn)隨機場，它的相關(guān)函數(shù)為Gx(kΔ1,lΔ2).

譜函數(shù)為

譜密度為

證由于

Ey(k,l)=EX(kΔ1,lΔ2)=0,

故{y(k,l)}是離散寬平穩(wěn)隨機場，有唯一表示式

故

引理3[1]積分的估計如下：

定理1設(shè){X(s,t),-∞

且上述級數(shù)對(s,t)在任意有限區(qū)域：|s|≤R,|t|≤T內(nèi)是均方一致收斂的，且

(1)

應(yīng)用不等式：

|akbl-ab|2=|(ak-a)(bl-b)+b(ak-a)+a(bl-b)|2

≤3|ak-a|2|bl-b|2+3|b|2|ak-a|2+3|a||bl-b|2.

再由引理3即得定理1的證明.

下面討論定理1的應(yīng)用

定理2設(shè){X(x,t)}是實的寬平穩(wěn)隨機場，滿足定理1的條件，則它的相關(guān)函數(shù)Gx(s,t)有下列估計式：

這里

,

E(kΔ1,lΔ2)=Gx(kΔ1,lΔ2).

證由定理1及Gx(kΔ1,lΔ2)的譜分解得

下面用定理1的證法和引理3，即可證明定理2.

定理3設(shè){X(s,t)}是實的寬平穩(wěn)隨機場，滿足定理1的條件，記

y(k,l)=X(kΔ1,lΔ2),(k,l=0,±1,±2,…),

(2)

其中

若進(jìn)一步設(shè)

存在且有界，則

(3)

證由引理1和引理2得Gy(k,l)=Gx(kΔ1,lΔ2)及

即得(2).若進(jìn)一步設(shè)

存在且有界，利用Gy(k,l)的譜分解

對積分進(jìn)行p+q次分部積分(可參看[2])即得(3)式.

定理4設(shè){X(s,t)}是實的寬平穩(wěn)隨機場，滿足定理3的條件，F(xiàn)y(λ,μ)是y(k,l)=x(kΔ1,lΔ2)(k,l=0,±1,±2,…)的譜函數(shù)，則

(4)

這里

若進(jìn)一步設(shè)

存在且可積，則

(5)

證利用

即得(4)的證明.關(guān)于(5)式的證明法和定理3一樣，故從略.

定理5設(shè){x(s,t),-∞

(Δ是正的常數(shù))，即Fx(λ,μ)的譜測度集中在帶狀區(qū)域中)，則

證參看[1]，并用引理3得

注我們也可以在滿足定理5的條件下來討論具有連續(xù)參數(shù)寬平穩(wěn)隨機場的相關(guān)函數(shù)、譜密度和譜函數(shù)的估計.

[參考文獻(xiàn)]

[1]徐業(yè)基.關(guān)于平穩(wěn)隨機過程的采樣定理的一致收斂速度[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25(6)：48-51.

[2]徐業(yè)基.關(guān)于平穩(wěn)承受機過程的采樣定理的一致收斂速度(Ⅱ)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30(3)：10-14.

[3]惠軍.平穩(wěn)過程采樣定理的一個注記[J].合肥工業(yè)大學(xué)(自然科學(xué)版)，2000，23(6)：969-975.

[4]復(fù)旦大學(xué).概率論(隨機過程)[M].3版.北京：人民教育出版社，1981.

[5]Hobson E W. The theory of functions of a real variable and theory of fourier’s series (VOLUME Ⅱ)[M]. New york:Dover Publications. NC, 1926.

The Discrete Samples Theorems of the Weak Stationary Stochastic Fields with Continuous Parameter and its Applications

XUYe-ji

(Fudan University, Shanghai 200433, China)

Abstract:The discrete samples theorems of the weak stationary stochastic fields with continuous parameter are discussed. The estimate of the correlation of function and density function of spectrum and spectrum function also are discussed.

Key words:weak stationary stochastic fields; correlation of function; density function of spectrum; spectrum function; discrete sample

[基金項目]陜西省自然科學(xué)基金項目(2013JC2-31)； 西安工業(yè)大學(xué)校長基金(XAGDXJJ1323)

[收稿日期]2014-11-03；[修改日期]2015-07-13

[中圖分類號]O211.61

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1672-1454(2015)04-0014-06