多產(chǎn)品報童模型的研究綜述

王東紅 WANG Dong-hong

（廣西財經(jīng)學院 管理科學與工程學院，廣西 南寧530003）

(School of Management Science and Engineering, Guangxi University of Fiance and Economic, Nanning 530003, China)

0 引 言

報童模型（Newsvendor Problem，NP） 是一個考慮單周期、隨機需求的經(jīng)典庫存模型。自從該模型被提出以后，便成為庫存理論研究的焦點之一，在現(xiàn)實生活中得到了廣泛的推廣和應用，例如，報刊雜志、果蔬、數(shù)碼類電子產(chǎn)品、時尚產(chǎn)品以及酒店客房和航空機票的經(jīng)銷訂購等問題；理論界也涌現(xiàn)了大量的對報童模型及其擴展模型問題的研究文獻和綜述。Khouja[1]對經(jīng)典的報童模型及它的11 種擴展做了一個非常全面的綜述，總結了從20 世紀50 年代至1999 年以來相關文獻的主要貢獻和模型的擴展研究。例如擴展到不同的目標和效用函數(shù)；擴展到不同的供應商定價策略；折扣問題；需求規(guī)律和信息的缺乏度；隨機產(chǎn)出以及帶資源約束的多產(chǎn)品庫存問題；可替代多產(chǎn)品方面的擴展；多層次系統(tǒng)方面的擴展；多場所系統(tǒng)方面的擴展；銷售季節(jié)多階段備貨方面的擴展及其他方面的擴展，并提出了進一步的研究方向，認為將上述擴展的兩個或多個相結合對報童模型來說會更加實際。

隨著生產(chǎn)技術的進步和銷售環(huán)境的復雜化，多產(chǎn)品的生產(chǎn)經(jīng)營順應了現(xiàn)實的決策環(huán)境而產(chǎn)生，多產(chǎn)品報童模型也被眾多研究者關注。本文綜合分析了多產(chǎn)品報童模型的研究文獻，主要從不考慮定價的多產(chǎn)品報童模型研究和考慮定價決策的多產(chǎn)品報童模型研究兩個方面對多產(chǎn)品報童模型的研究進行綜述，挖掘文獻中所提出的新的研究視角和解決方法，并提出對多產(chǎn)品報童模型的進一步研究的方向。

1 多產(chǎn)品報童模型

自從Hadley 和Whitin[2]在1963 年首次將經(jīng)典報童模型擴展到帶有約束下的多產(chǎn)品報童模型（Multi-Product Newsvendor Problem, MPNP），在求解這些模型的時候采用了拉格朗日算子（Lagrange Multipliers） 萊布尼茲規(guī)則（Leibniz Rule） 和動態(tài)規(guī)劃方法（Dynamic Programming）。他們證明了當考慮單資源約束時，動態(tài)規(guī)劃可以用于求解得出整數(shù)值的解，然而，他們注意到，當增加約束到模型中后，用動態(tài)規(guī)劃法就很困難。自此，很多學者對MPNP 進行了深入的研究和推廣，如將市場因素中預算限制、生產(chǎn)外包、供應商數(shù)量折扣、損失最大限制、預售策略、價格協(xié)議、產(chǎn)品可替代等引入到多產(chǎn)品報童模型中，豐富和發(fā)展了多產(chǎn)品報童模型的研究。讀者可參看Gallego 和Moon[3]和Khouja[1]，了解更多的對報童問題的擴展研究。

George[4]研究了一個不確定需求下的考慮預算約束的魯棒（Robust） 報童模型。傳統(tǒng)描述需求不確定的方法是概率分布函數(shù)，他采用了一個確定的優(yōu)化模型，用兩種類型即分段和離散情況來描述需求不確定性。對分段需求情況僅需要不確定需求的一個下界和上界，而對于離散需求的情況需要一系列每個產(chǎn)品的相似的需求結果。利用上述兩種類型描述需求不確定性，采用幾個極小極大化遺憾公式表達（Regret Formulations） 一個預算約束下的多產(chǎn)品報童模型。對于分段需求情形，他提出了一個線性時間優(yōu)化算法；對于離散需求情形，他證明了這是一個NP-hard 問題，并通過動態(tài)規(guī)劃方法求解。最后，他認為一部分產(chǎn)品的需求是分段式的，另一部分產(chǎn)品的需求是離散式的，兩種情形進行混合，擴展了模型的研究。

Moon 和Silver[5]研究了對補貨數(shù)量總價值有預算約束的多產(chǎn)品報童模型，且考慮補貨的固定成本。他們利用動態(tài)規(guī)劃法進行求解，并提出了簡單而有效的啟發(fā)式算法。Abdel-Malek 和Montanari[6]提出了一種利用嚴格的、近似的及遺傳迭代算法的方法求解單種約束下的多產(chǎn)品報童問題。Abdel-Malek 和Areeratchakul[7]提出了一個采用二次規(guī)劃方法求解多種約束下的多產(chǎn)品的報童模型。他們利用Excel Solver 和Lingo 等線性規(guī)劃軟件求解出多種約束下報童模型，并依賴于需求分布函數(shù)的類型得出了精確的和好的近似解。還解決了產(chǎn)品的需求正偏態(tài)概率密度函數(shù)的復雜性，忽略了其下限可能導致負的最優(yōu)解，或一些產(chǎn)品訂購量的不可行數(shù)量，如同Lau 和Lau[8-9]最早所觀察到的一樣。

Abdel-Malek 和Montanari[10]研究了一個在預算約束下的多產(chǎn)品的報童模型問題。Abdel-Malek 和Montanari[11]提出了一個方法來研究具有兩種約束下的多產(chǎn)品報童模型解空間的對偶問題并給出了一個得出每種產(chǎn)品的最優(yōu)批量的方法。該方法采用了拉格朗日算子（Lagrangian Multipliers），萊布尼茲規(guī)則（Leibniz Rule） 和KKT 條件（Kuhn-Tucker Conditions）。且有必要在求解最優(yōu)解或近似最優(yōu)解時將他們集成進行迭代求解。他們所研究的方法最重要的一個特征就是可以適用于一般分布的需求函數(shù)。

Zhen Shao 等[12]研究了一個預算約束下模糊需求的多產(chǎn)品報童模型。他們認為既然在現(xiàn)實生活中需求是模糊的，那么報童的利潤也是模糊的。他們根據(jù)決策的標準不同，研究了三類模型：Expected Profit Model, the Most Profit Model 和α-Profit Model，即從最大化期望收益、機會約束規(guī)劃、機會規(guī)劃這三個方面建立了新的模型。并采用了基于遺傳算法及模糊模擬的混合智能算法求解新的模型。

Niederhoff[13]區(qū)別于前期學者在研究中試圖采用拉格朗日松弛算法或有限需求分布的方法求解多產(chǎn)品報童模型，進而提出了一個近似規(guī)劃法求解多產(chǎn)品報童模型，其中產(chǎn)品的需求相互獨立，庫存產(chǎn)品數(shù)量受兩個或更多的線性約束，例如預算或容量約束，并用凸規(guī)劃理論得出一個最優(yōu)近似解。

Abdel-Malek 等[14]將多產(chǎn)品報童模型擴展到了隨機產(chǎn)出情形下的模型。他們指出該模型就像一個園丁問題（the Gardener Problem）。他們采用了拉格朗日算子（Lagrange Multipliers） 萊布尼茲規(guī)則（Leibniz Rule） 和牛頓法（Newton's method） 求解在隨機產(chǎn)出和隨機需求情形下的最優(yōu)解。他們所研究的方法適合于一般概率分布的函數(shù)，所給出的例子證明了該方法在相互依賴的產(chǎn)出結構下對不同的供應和需求概率分布的適用性。

Jafar Rezaei 等[15]研究了一個供應鏈中有多種產(chǎn)品和多個供應商的情形下，且每個供應商都是有限的產(chǎn)能。他們假定從供應商處收到的產(chǎn)品不全是質(zhì)量好的產(chǎn)品。存在質(zhì)量缺陷和不一定有缺陷的產(chǎn)品可以用于另一個庫存情況。在下次發(fā)貨之前，有質(zhì)量缺陷的產(chǎn)品作為一批次以優(yōu)惠價格銷售出去。在有限的計劃期間內(nèi)需求是已知的，且在一個多周期內(nèi)可以確定一個最優(yōu)的采購策略。決策者及購買者需要做出決定訂購什么產(chǎn)品，訂購多少，向誰訂貨，在哪個周期內(nèi)訂購等問題。最后，他們采用一個遺傳算法（Genetic Algorithm, GA） 對模型求解。

2 多產(chǎn)品聯(lián)合定價的報童模型

近年來，學者對經(jīng)典報童模型考慮了定價決策問題進行模型擴展研究。Whitin[16]最早對報童模型的研究考慮到了定價決策問題，他主要研究了在不確定需求環(huán)境下同時決策庫存數(shù)量和銷售價格優(yōu)化問題，Mills[17], Karlin 和Carr[18]也做了類似的研究。Petruzzi 和Dada[19]對單產(chǎn)品報童模型的定價問題進行了一個全面的綜述并提出了一些有意義的擴展，他們對一個兩周期/兩個市場零售情況下的聯(lián)合庫存和定價決策的報童模型進行研究。Karakul[20]研究了在一個出清市場上時尚產(chǎn)品的聯(lián)合定價和采購策略。Granot 和Yin[21]分析了采用乘法式的、加和式價格依賴的需求，分析了一個集中的報童模型的定價和訂購延遲的效果。Chen 和Bell[22]研究了當消費者退貨時的聯(lián)合定價和庫存補貨決策。Pan 等[23]構建了一個兩階段模型，對需求隨機和降價環(huán)境下一個供應鏈中地位占優(yōu)的零售商聯(lián)合定價和訂購策略。He 等[24]考慮了需求不確定，且需求對零售價格和銷售努力敏感下的報童模型的擴展問題。由于報童定價問題可以協(xié)調(diào)供應鏈系統(tǒng)的收益和市場需求不確定環(huán)境，近年來受到越來越多地關注，但是，目前大多數(shù)文獻探討其在不同的供應鏈環(huán)境下的應用并獲得了一些管理的見解。

最近幾年，有不少學者從不同角度對多產(chǎn)品的生產(chǎn)、庫存、定價和分類（Assortment） 規(guī)劃決策問題對報童模型進行擴展研究。Bertsimas 和Boer[25]研究了一個周期性多產(chǎn)品定價和庫存控制問題在生產(chǎn)計劃和航空收益管理中的應用。他們證明了在需求分布是確定類型時，單周期模型的目標函數(shù)是凸函數(shù)，從而對大多數(shù)情況都是容易求解的。而對更加復雜的多周期問題，他們提出了一種結合線性和動態(tài)規(guī)劃的啟發(fā)式算法求解。其中，數(shù)值試驗和理論在最優(yōu)期望收益方面的驗證表明了一個基于隨機模型的動態(tài)策略優(yōu)于一個基于確定模型的簡單的靜態(tài)的策略，而確定性模型是依賴于通過變異系數(shù)（the Coefficient of Variation） 衡量的需求可變性的水平。

Adida 和Perakis[26]研究了一個有限期間的離散時間模型。他們把一個魯棒優(yōu)化方法（A Robust Optimization Approach） 引入到“Make-to-Stock”的生產(chǎn)系統(tǒng)的動態(tài)定價和庫存控制問題的一個流模型中。對每個時間t的產(chǎn)品i，給定的輸入包括每單位的庫存持有成本hi（t），生產(chǎn)成本fi（·），需求函數(shù)di（t），初始庫存水平和共享的產(chǎn)能率K（t）。然后確定N個產(chǎn)品在給定時間期間[0,T]內(nèi)的價格｛pi（t）｝，生產(chǎn)流程率｛ui（t）｝和庫存水平｛Ii（t）｝，通過最小化dt，約束條件為和對控制變量和需求函數(shù)的標準的非負約束。用一個確定的擾動表示需求的不確定性，用的參數(shù)約束在一個不確定集。最后，他們討論了一些簡單的模型和一些理論及數(shù)值算例。

Bernstein 和Federgruen[27]分別研究了在集中供應鏈和分散供應鏈情景下的模型。在集中供應鏈系統(tǒng)中，一個決策者（供應商） 假定對所有零售商的價格，銷售量和補貨策略進行決策，而在分散供應鏈系統(tǒng)中，供應商基于零售商（每個零售商都是最大化自己的利潤） 的訂單，對其批發(fā)價格機制和補貨策略決策。利潤函數(shù)依賴于補貨策略和幾個成本因素，包括供應商和零售商之間固定的和變動的配送成本，庫存年持有成本和管理一個零售商賬目所發(fā)生的年費用。與上述文獻內(nèi)容相似，Bernstein 和Federgruen[28-30]假定一個供應商服務于多個網(wǎng)絡分布的零售商，但僅僅是一個分散的供應鏈系統(tǒng)。Bernstein 和Federgruen[30]研究在每周期開始，每個零售商選擇他自己的零售價格pi和從供應商處的訂購量yi，每單位產(chǎn)品批發(fā)價格wi。過量的庫存由供應商以每單位產(chǎn)品bi的價格回收。因此，零售商i的期望利潤函數(shù)為：其中，p是所有零售商的價格向量是零售商在價格p時的隨機向量，且

Bernstein 和Federgruen[28-30]擴展了Bernstein 和Federgruen[30]中的模型到周期檢查、無限期的模型，每個零售商面臨最大化其長期的利潤。零售商面臨著一個時間上相互獨立的需求的流，而不是各零售商的需求相互獨立。在每個周期結束，庫存可以每單位成本結轉到下一個周期，而不足的庫存和延遲交貨（backlogged） 的單位成本為

因此，Bernstein 和Federgruen[28]中的單階段的利潤函數(shù)是：

其中，Di（p）是每個零售商i在價格p時的期望需求（或銷售量）。

Bernstein 和Federgruen[29]在模型中考慮了服務競爭，其中，需求也依賴于f，fi是每個階段零售商選擇的目標服務水平，或補充率（fill rate）。

零售商i的利潤函：

價格和補充率限制在一個集中。他們討論了三種競爭情況：價格競爭，價格和服務競爭，兩階段競爭（所有競爭者首先選擇一個服務水平，之后同時選擇定價和庫存策略以應對所選擇的服務水平）。

Maddah 和Bish[31]研究了從一組可能的變量中組成的一個產(chǎn)品線的聯(lián)合定價和庫存決策問題。假定S?Ω 是一組存儲的產(chǎn)品。對產(chǎn)品S的需求從顧客在單個銷售周期到達一個零售商店中獲得。他們的模型可以被看成是一個聯(lián)合定價和分類決策多產(chǎn)品報童模型（Multi-Item Newsvendor Model）。定義為顧客在一個價格向量p（對S中所有的產(chǎn)品） 購買產(chǎn)品i∈S；λ 是顧客到達商店的平均值；c是產(chǎn)品1,…,S的成本向量和Φ（·）分別是標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)（假定需求服從正態(tài)分布）。

Hopp 和Xu[32]采用一個基于價格和缺貨替代下的近似模型，分別在集中和離散系統(tǒng)下分析庫存、定價和分類決策問題。Aydin 和Porteus（2008）[33]研究了在報童模型中在一個給定的分類（assortment） 的多產(chǎn)品庫存水平和定價的優(yōu)化問題。除了定價和庫存決策外，他們還考慮了分類選擇的問題。他們研究的是單周期，需求隨機，并且是基于價格替代而非缺貨替代情況下優(yōu)化模型。受市場份額模型（market share models） 通常用于市場營銷中的驅(qū)動，他們解決需求模型包括乘法式的不確定性。模型中pi和ci是每單位產(chǎn)品i的銷售價格和生產(chǎn)成本。是價格向量庫存水平向量。Di（p）是給定價格向量p下對產(chǎn)品i的需求；分布是需求Di（p）的分布函數(shù)（c.d.f）和概率密度函數(shù)（p.d.f）； 假定關于x嚴格遞增。公司希望最大化利潤函數(shù)：

因為∏p,（y）在yi是可分的和凹的，最優(yōu)庫存水平可表示為對作為通常的臨界分位數(shù)的每個價格向量p是給定的。問題就可以寫成以下方程（例如：Porteus[34）]：研究的焦點放在了價格對庫存水平的影響問題上。他們發(fā)現(xiàn)在一定程度上目標函數(shù)依然表現(xiàn)相當好，對一階條件存在一個唯一解，對于他們所研究的問題，這個解是最優(yōu)的。

Guoqing Zhang[35]研究了一個供應商數(shù)量折扣和預算約束下的多產(chǎn)品報童模型，與前期的非線性優(yōu)化模型不同，由于價格折扣，他們將問題用混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型表達，目標函數(shù)是最大化期望利潤，即：

Jianmai Shi 等[36]在報童模型的基礎上考慮零售商的定價決策和供應商的數(shù)量折扣問題的多產(chǎn)品的定價策略。供應商對所有產(chǎn)品提供數(shù)量折扣，需求函數(shù)假定是線性的，價格依賴型的加和式的隨機性，即其中Di（p）=ai-bi pi是產(chǎn)品i的平均需求，ui是在之間的已知分布的隨機變量零售商的目標是在多種容量的約束下，通過聯(lián)合決策多產(chǎn)品的訂購數(shù)量和銷售價格以達到利潤最大化。他們建立了一個擴展的離散規(guī)劃模型（Generalized Disjunctive Programming,GDP）：

模型的約束條件考慮到了供應商數(shù)量折扣約束，他們開發(fā)了一個拉格朗日（Lagrangian） 啟發(fā)式算法求解模型。通過一個隨機的生產(chǎn)1 000 種產(chǎn)品的實例驗證了所提出的方法，計算結果表明拉格朗日啟發(fā)式算法對所有的例子都能在一個合理的時間內(nèi)給出一個非常好的解。

Murray 等[37]結合報童模型考慮購買者的預算敏感性，研究了銷售商（Newsvendors） 銷售多產(chǎn)品時的訂購和定價策略（the Multi-Product Price-Setting News-Vendor Problem，MPPSNVP）。其中每種產(chǎn)品的隨機特征依賴于其他的產(chǎn)品，即交叉彈性。目標函數(shù)包括銷售產(chǎn)品所得利潤以及為銷售出產(chǎn)品產(chǎn)生的損失，即：

其中，p和q是決策向量是產(chǎn)品i的需求的累積分布函數(shù)優(yōu)化模型的最優(yōu)決策是最大化約束條件考慮到產(chǎn)品量的上下限約束及資源約束，例如預算和空間的約束等。另外，考慮到每個產(chǎn)品的價格選擇可以在一個離散的集中，訂購量是一個整數(shù)。作者將目標函數(shù)轉換成一個整數(shù)規(guī)劃求解，并開發(fā)了一個基于Nelder-Mead 搜索技術的數(shù)值優(yōu)化程序，從一些小規(guī)模和大規(guī)模數(shù)值算例中獲得令人鼓舞的數(shù)值結果。論文是首次將這個情況結合到消費者的預算敏感性，即消費者在購買產(chǎn)品的時候需要考慮自己當前的經(jīng)濟狀況。

許多學者對多產(chǎn)品報童模型的研究做了大量深入的探討，構建了許多量化模型，考慮了需求不確定情況下的庫存控制策略和聯(lián)合定價與庫存控制策略。學者們也提出了許多求解方法，包括動態(tài)規(guī)劃法等，但大多是采用啟發(fā)式算法求解模型，例如啟發(fā)式算法Erlebacher[38]，動態(tài)規(guī)劃法Moon 和Silver[5]，遺傳迭代模型Abdel-Malek 等[6]和二進制算法Zhang 等[39]等都有一定的研究，得出最優(yōu)策略的解或近似解。盡管多產(chǎn)品報童模型（Multi-product Newsvendor Problem, MPNP） 的求解算法得到了廣泛的研究，但大多數(shù)所提出的模型和求解方法通常只能求解包括大約10 種產(chǎn)品的模型。Lau 和Lau[8-9]是在所研究多產(chǎn)品報童模型的文獻中，極少有地提出了求解包括上千種產(chǎn)品的模型。

3 研究存在的問題及展望

3.1 考慮時間因素

需求的不確定性給企業(yè)的決策帶來了很大的困難，市場的變幻莫測也使得價格成為了影響企業(yè)庫存管理的重要因素，因此，如果將需求、價格與時間因素結合起來對多產(chǎn)品的庫存管理進行研究，將更有利于企業(yè)科學的管理決策。

3.2 考慮電子商務環(huán)境

電子商務時代，市場需求變化的速度更快，更加難以確定，采購與庫存管理的復雜性大大增加?？紤]報童模型的魯棒性，對電子商務環(huán)境下的多產(chǎn)品庫存管理進行定量分析研究，將會是進一步研究的熱點。

3.3 考慮供應鏈競爭因素

由于競爭日益劇烈，單個企業(yè)難以應對市場的變化，供應鏈的合作和競爭成為了必然趨勢，因此，研究供應鏈多層次及網(wǎng)絡式的多產(chǎn)品報童模型無疑是實踐或理論界的一個熱點。

3.4 計算復雜性和精確性

雖然計算機技術和算法技術的發(fā)展對庫存管理的發(fā)展起到了極大的推動作用，然而現(xiàn)實的復雜性難以用理想的模型描述，因此，在一定假設條件下提出的考慮多種市場因素、多種產(chǎn)品的報童模型的計算將會是極其復雜的，盡管現(xiàn)有一定的啟發(fā)式算法可以求出問題的近似解或確定解的上下界，但很難確定其精確性，因此，開發(fā)出更先進的算法也必將對貼近現(xiàn)實的多產(chǎn)品報童模型的求解至關重要。

4 結 論

隨著對報童模型更加貼近實際角度的研究進展，多產(chǎn)品報童模型的研究對企業(yè)的管理決策提供了更好的指導。相關研究的進程也見證了報童模型隨著時代變化而發(fā)展的一個過程，未來的研究中，報童模型將繼續(xù)在實踐和理論界實現(xiàn)其不可替代的指導價值。

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