序極限算子的分解

周玉莎，陳滋利，文永明

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031)

序極限算子的分解

周玉莎，陳滋利，文永明

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031)

給出了序極限算子的定義以及其序列的等價(jià)刻畫，同時(shí)得到了當(dāng)值域空間與定義域空間相同時(shí)，序極限算子與區(qū)間是極限集是等價(jià)的.序極限算子滿足左乘的性質(zhì)，并且由序極限算子構(gòu)成的全體是閉子空間.除此之外，也給出了判定序極限算子的充分不必要條件，并給出結(jié)論不是充要條件的反例.序極限算子具有分解性，即可以通過具有序連續(xù)范數(shù)的Banach格分解，可得到相關(guān)結(jié)論.

序極限算子；序連續(xù)范數(shù)；分解性

引言

20世紀(jì)80年代，Bourgain J，Diestel J.在文獻(xiàn)[3]中提出了在Banach空間上極限集和極限算子的概念，并給出了極限集的有關(guān)性質(zhì).由于Banach空間上研究極限算子的局限性，他們并未研究極限算子的性質(zhì).之后就掀起了Banach格上有關(guān)極限集、極限算子所延伸出來的相關(guān)算子和集合的研究，比如幾乎極限集、幾乎極限算子等.結(jié)合極限集與AM-緊算子的定義，我們給出了序極限算子的定義，并且研究定義的等價(jià)刻畫，同時(shí)也給出了序極限算子可通過具有序連續(xù)范數(shù)的Bananch格分解.

文中E，F(xiàn)表示Banach格，若T:E→F是有界線性算子，T把E中的序有界集映為F中的相對(duì)緊集，則稱T是AM-緊算子；T把E中的相對(duì)弱緊集映為F中的極限集，則稱T是弱?Dunford-Pettis算子.若E中的相對(duì)弱緊集是極限集，則稱E具有Dunford-Pettis?性.文中未提到的術(shù)語可參考文獻(xiàn)[1-2].

1 序極限算子的刻畫

定義1.1設(shè)E是Banach格，X是Banach空間，T:E→X是連續(xù)算子.若T把E中的序有界集映為X的極限集，則稱T是序極限算子.

顯然每一個(gè)緊算子都是序極限算子，但反之未必成立.例如自然嵌入映射T:c0→l∞是極限算子，必然是序極限算子，但不是緊算子.如果E＝c0或E＝lp(其中1≤p＜∞)，則每個(gè)連續(xù)線性算子T:E→X是序極限算子，但未必是緊算子.同樣地，由序極限算子的定義知，AM-緊算子與序極限算子有著密切的關(guān)系.AM-緊算子一定是序極限算子，但序極限算子不一定是AM-緊算子.

我們知道所有緊算子構(gòu)成的全體是閉子空間，并且還是雙邊理想.由所有序極限算子構(gòu)成的全體有什么樣的性質(zhì)呢?是否滿足雙邊理想的性質(zhì)呢?給出下面的結(jié)論.

所有從Banach格E到Banach空間X的有界線性算子構(gòu)成的全體記為L(E，X)，所有從E到X的序極限算子構(gòu)成的全體記為LOL(E，X).

定理1.4 設(shè)E，F(xiàn)是Banach格，X，F(xiàn)是Banach空間.

1)LOL(E，X)是L(E，X)的閉子空間；

2)若T:E→F是序有界算子，S:F→X是序極限算子，則S?T是序極限算子；

3)若S:E→X是序極限算子，T:X→Y是連續(xù)算子，則T?S是序極限算子.

證明:1)對(duì)任意S，T∈LOL(E，X)，x∈E+，

(S+T)[0，x]?S[0，x]+T[0，x]，

2)對(duì)任意x∈E+，因T是序有界算子，有T[0，x]是F中的序有界集.又S是序極限算子，由定義知S?T[0，x]是極限集，因而S?T是序極限算子.

3)對(duì)任意x∈E+，因S是序極限算子，有S[0，x]是極限集.又T是連續(xù)算子，由文獻(xiàn)[7]命題1.4(4)知T?S[0，x]是極限集，因而T?S是序極限算子.

下面給出判定連續(xù)算子是序極限算子的充分條件

定理1.5 設(shè)E，F(xiàn)是Banach格，T:E→F是連續(xù)算子.如果滿足下列條件之一，則T是序極限算子.

1)E′有弱?序列連續(xù)格運(yùn)算；

2)E有序連續(xù)范數(shù)，F(xiàn)有Dunford-Pettis?性；

3)E是離散的且有序連續(xù)范數(shù)；

4)E是離散的且有序連續(xù)范數(shù)且T是正則的.

2)因?yàn)镋有序連續(xù)范數(shù)，由文獻(xiàn)[2]命題2.4.3知，對(duì)任意的x∈E+，[-x，x]是E中的弱緊集.又因T是有界線性算子，所以有T[-x，x]是F中的弱緊集.另一方面，因F有Dunford-Pettis?性，可知F中的相對(duì)弱緊集是極限集，故T[-x，x]是F中的極限集.即得證

3)若E是離散的且有序連續(xù)范數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的定理2.3知E中的每個(gè)序區(qū)間都是相對(duì)緊集.對(duì)任意x∈E+，有T[-x，x]是相對(duì)緊集，從而T是AM -緊算子，因而T是序極限算子.

4)正則算子T把E中的序區(qū)間映到F中的序有界集.若F是離散的且有序連續(xù)范數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的定理2.3知F中的序有界集是相對(duì)緊集，從而T是AM-緊算子，因而T是序極限算子.

注1上述定理是必要非充分的.在2)中存在序極限算子，但空間不具有上述性質(zhì).例如T:l1→c0是序極限算子，但是c0沒有Dunford-Pettis?性.

2 序極限算子的分解

文獻(xiàn)[4，5]中給出了緊算子、弱緊算子的分解性，緊算子可以通過c0的閉子空間分解；弱緊算子可通過自反的Banach格分解；下面我們給出序極限算子的分解性.

定理2.1 設(shè)E是Banach格，X是Banach空間.若T:E→X是序極限算子，則T可通過具有序連續(xù)范數(shù)的Banach格F分解為T＝SQ，且滿足

1)Q:E→F是幾乎保區(qū)間格同態(tài)；

2)S:F→X是序極限算子；

推論2.3 設(shè)S，T:E→F是有界線性算子，且滿足0≤S≤T，T是序極限算子，F(xiàn)是Banach格，E是有嚴(yán)格正線性泛函的Banach格，則S是弱?Dunford-Pettis算子.

證明:假設(shè)A是E中的相對(duì)弱緊子集，從而A也是E中的弱序列準(zhǔn)緊集.因?yàn)镋有嚴(yán)格正線性泛函，由文獻(xiàn)[2]定理2.5.9知，對(duì)?ε＞0，0＜x′∈E′+，存在x∈E+，滿足A?[-x，x]+εB(ρx′)(此時(shí)ρx′是E上的格范數(shù)).由[-x，x]＝-x+2[0，x]知S(A)?-Sx+2S[0，x]+ε‖S‖U?-Sx+2T[0，x]+ ε‖S‖U，其中U是F的閉單位球.又因T[0，x]是極限集，因而有 S(A)也是極限集，這就表明 S是弱?Dunford-Pettis算子.

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(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

Factorization of order lim ited operators

ZHOU Yu-sha，CHEN Zi-li，WENG Yong-m ing

(Department of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，P.R.C.)

This paper gives the definition and characterization of order limited operator，and discusses the basic properties of order limited operators.That is，the set of all order limited operators from Banach Lattice to Banach space is a norm closed vector subspace.Additionally，it is proved that every continuous operator from Banach Lattice to Banach space is order limited operator，but it is not necessary and sufficient.The factorization theorem of order limited operator is obtained through Banach lattice with order continuous norm and related results.

order lim ited operator；order continuous norm；factorization

O177

A

2095-4271(2015)03-0360-04

10.11920/xnmdzk.2015.03.018

2014-11-14

周玉莎(1988-)，女，漢族，河南濮陽人，碩士研究生，主要研究方向泛函分析，E-mail:957626315＠qq.com；陳滋利(1961-)，男，教授，主要研究方向泛函分析，E-mail:zlchen＠home.swjtu.edu.cn.

四川省基礎(chǔ)研究項(xiàng)目算子理論及其在系統(tǒng)控制中的應(yīng)用研究(2010JY0067)