孔道彎曲條件下拉力型錨索錨固段剪應(yīng)力分布彈性理論分析

于 貴，朱寶龍，索玉文，巫錫勇

(1.中鐵西北科學(xué)研究院有限公司，甘肅蘭州 730000;2.西南科技大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，四川綿陽(yáng) 621010;3.西南交通大學(xué)地質(zhì)工程系，四川成都 610031)

預(yù)應(yīng)力錨索由于其本身加固性能良好且經(jīng)濟(jì)合理，在巖土工程等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。預(yù)應(yīng)力錨索的錨固能力研究很重要，其中較為關(guān)鍵的是如何確定錨固段中漿體和巖體之間的剪應(yīng)力分布情況，從而在對(duì)預(yù)應(yīng)力錨索錨固段進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)考慮剪應(yīng)力的分布情況使得錨固段設(shè)置合理，達(dá)到物盡其用的效果。

國(guó)內(nèi)外很多專(zhuān)家對(duì)預(yù)應(yīng)力錨索錨固段剪應(yīng)力規(guī)律進(jìn)行了較為深入的研究。在國(guó)外，Li等［1］提出了錨固段剪應(yīng)力分析模型。Ghadimi等［2］研究得到錨固段剪應(yīng)力指數(shù)型分布型式。在國(guó)內(nèi)，肖淑君等［3］基于彈塑性理論，研究了拉力型錨索錨固段剪應(yīng)力、位移分布特征。賀建清等［4］基于Mindlin位移解，推導(dǎo)出錨固段軸向應(yīng)力和剪應(yīng)力分布的理論解。陳棠茵［5］運(yùn)用剪切位移傳遞法，建立了抗浮錨桿計(jì)算模型，推導(dǎo)了錨側(cè)剪應(yīng)力與剪切位移的關(guān)系式。何思明等［6］將巖體剪切損傷理論與常規(guī)剪切位移法相結(jié)合，研究了拉力型預(yù)應(yīng)力錨索錨固段的荷載-位移特性、側(cè)阻力分布特性以及軸力分布特性。李桂臣等［7］利用Kelvin問(wèn)題解與Boussinesq問(wèn)題解推導(dǎo)出注漿前后錨固體與孔壁之間剪應(yīng)力分布理論解析式。芮瑞等［8］分析了軸向應(yīng)變與切向剪應(yīng)力的分布規(guī)律。但以上學(xué)者均是對(duì)錨索孔道直線(xiàn)狀態(tài)下錨固段周?chē)魬?yīng)力進(jìn)行的分析與計(jì)算，對(duì)于錨索孔道彎曲情況下錨固段周?chē)魬?yīng)力分布情況鮮有涉及。

一般來(lái)說(shuō)，隨著錨索設(shè)計(jì)長(zhǎng)度加大，由于施工技術(shù)有限，鉆孔機(jī)械的鉆頭受自重影響下沉而導(dǎo)致下懸臂下沉，鉆孔深度越大下沉的幅度也就越大，在鉆孔時(shí)就難以鉆成直孔，因此錨索孔道一般會(huì)呈向下彎曲狀態(tài)［9］。除此之外，地質(zhì)因素也是造成錨索孔道彎曲的主要因素之一［10～11］。先前關(guān)于錨索錨固段剪應(yīng)力的研究均采用理想化的直線(xiàn)型錨固段模型來(lái)分析錨固段的剪應(yīng)力分布是不準(zhǔn)確的。因此，針對(duì)拉力型預(yù)應(yīng)力錨索孔道彎曲情況下錨固段周?chē)募魬?yīng)力進(jìn)行二維彈性理論分析，對(duì)于掌握錨索錨固段真實(shí)受力狀態(tài)具有一定意義。

1 錨固段力學(xué)模型

拉力型預(yù)應(yīng)力錨索的預(yù)應(yīng)力是先作用在錨索自由段，由自由段將力傳遞給錨固段。忽略錨索自由段在預(yù)應(yīng)力施加過(guò)程中的損失值，設(shè)錨固段受到的拉力F即為施加在自由段的預(yù)應(yīng)力。錨固體通過(guò)漿體將受到的拉力F傳遞給周?chē)膸r體，從而在漿體與巖體接觸面上形成了沿接觸面分布的剪應(yīng)力τ，方向與拉力方向相反。假設(shè)孔道在自由段或從錨固段與自由段連接處開(kāi)始彎曲，整體的彎曲半徑為R，錨固段彎曲處內(nèi)側(cè)和外側(cè)上的剪應(yīng)力不相等，分別用τ內(nèi)、τ外來(lái)表示，如圖1。

圖1 孔道彎曲條件下拉力型錨索受力情況Fig.1 Schematic anchor force conditions of borehole deviation

在實(shí)際受力情況下，錨固段除了受到沿錨索體方向的拉力F外，它還會(huì)受到周?chē)吧戏酵馏w的壓力作用。根據(jù)圣維南原理，忽略除拉力以外的其他面力對(duì)錨索錨固段的作用。另外，一般錨索錨固段均具有一定的直徑，不能將其粗略地當(dāng)作一條直線(xiàn)來(lái)計(jì)算，又因錨固段有一定的彎曲，此處只討論孔道彎曲后錨固段錨固體內(nèi)側(cè)剪應(yīng)力τ內(nèi)與外側(cè)剪應(yīng)力τ外的分布情況。圖2為簡(jiǎn)化后的拉力型預(yù)應(yīng)力錨索錨固段力學(xué)分析模型。

圖2 錨索錨固段力學(xué)分析模型Fig.2 Mechanical model of the anchorage segment

2 錨固段剪應(yīng)力分布二維彈性理論分析

根據(jù)彈性理論［12］(圖3)，在半平面體邊界O點(diǎn)處受到集中力F作用。在已知集中力F的大小，作用方向即與x軸的夾角用β表示，以及所求點(diǎn)的矢徑ρ和其角度φ的情況下，可以求出O點(diǎn)在集中力F作用下的應(yīng)力。

圖3 半平面體內(nèi)任意點(diǎn)在極坐標(biāo)下應(yīng)力分量Fig.3 Half-plane stress components in the polar coordinates

根據(jù)力學(xué)模型可知邊界集中力F垂直于直線(xiàn)邊界，這種情況下的應(yīng)力分量只需在(1)式中取β=0，于是得

如圖4，按照彈性理論關(guān)于平面問(wèn)題中的應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的變換式，可得

圖4 半平面體內(nèi)任意點(diǎn)在直角坐標(biāo)下應(yīng)力分量Fig.4 Half-plane stress components in the Cartesian coordinate system

將式(4)、(5)、(6)代入式(7)、(8)、(9)，并換算成直角坐標(biāo)，可得

假設(shè)圖2中受力模型為彎曲的的圓柱體，將其中的內(nèi)曲線(xiàn)和外曲線(xiàn)用x、y的函數(shù)關(guān)系式表示，可得內(nèi)曲線(xiàn)、外曲線(xiàn)分別為:

再式將(13)、(14)代入式(10)、(11)、(12)可得內(nèi)曲線(xiàn)與外曲線(xiàn)的應(yīng)力狀態(tài)。

內(nèi)曲線(xiàn):

外曲線(xiàn):

對(duì)圖2進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)化得圖5。AB為弧MN過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)，Q為弧MN的圓心，過(guò)圓心Q與點(diǎn)C的連線(xiàn)與y軸的夾角為θ'。所要求的剪應(yīng)力τ為沿AB方向的，可由C點(diǎn)處各個(gè)應(yīng)力分量合成得到。由圖可以清晰的看到應(yīng)力 σx、τyx與 AB的夾角為 θ'，應(yīng)力σy、τxy與 AB 的夾角為 π/2-θ'。設(shè)錨固段任一點(diǎn)至錨固段與自由段連接處的的距離為s，內(nèi)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)C處的弧線(xiàn)長(zhǎng)為s1，外曲線(xiàn)上任一點(diǎn)E處的弧線(xiàn)段長(zhǎng)為 s2，可得

內(nèi)曲線(xiàn):

聯(lián)立式(21)、(22)，可知

圖5 錨固段上任一點(diǎn)處的應(yīng)力Fig.5 Stress of the anchoring segment

外曲線(xiàn):

聯(lián)立式(24)、(25)，可知

根據(jù)圖5所示曲線(xiàn)上的任一點(diǎn)的應(yīng)力關(guān)系，可以得到錨固段剪應(yīng)力分布關(guān)系式:

將式(15)～(17)、(22)～(23)代入式(27)即可得到錨索錨固段內(nèi)曲線(xiàn)上的剪應(yīng)力沿內(nèi)曲線(xiàn)s1的變化關(guān)系式 τ(s1)。同理，將式(18)～(20)、(25)～(26)代入式(27)即可得到錨索錨固段外曲線(xiàn)上的剪應(yīng)力沿外曲線(xiàn)s2的變化關(guān)系式τ(s2)。

3 計(jì)算實(shí)例

計(jì)算實(shí)例位于貴州省興義市境內(nèi)的汕昆高速公路K111+550處，路基沉降過(guò)大，坡表面發(fā)生過(guò)大裂縫，采用預(yù)應(yīng)力錨索對(duì)碎石土路基進(jìn)行加固(圖6)。設(shè)計(jì)錨索長(zhǎng)度40 m，錨固段長(zhǎng)7 m。根據(jù)鉆孔直徑可計(jì)算得到錨固段直徑D=0.14 m，通過(guò)采用專(zhuān)用設(shè)備測(cè)試鉆孔孔道軌跡［13］，得出孔道彎曲半徑R=10 m。計(jì)算中預(yù)拉力F分別按600 kN、800 kN和1000 kN來(lái)進(jìn)行加載。將上述參數(shù)代入上述相應(yīng)方程中，可分別計(jì)算得到錨固段內(nèi)曲線(xiàn)和外曲線(xiàn)的剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)(圖7～8)，其中實(shí)線(xiàn)為孔道彎曲情況下剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)，虛線(xiàn)為孔道直線(xiàn)情況下剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)。

圖6 預(yù)應(yīng)力錨索加固路基示意Fig.6 Subgrade reinforced by the prestress anchor

圖7 錨固段內(nèi)曲線(xiàn)的剪應(yīng)力τ(s1)分布Fig.7 Stress curve of τ(s1)inside the face

由圖7可以看出，剪應(yīng)力自錨固段起點(diǎn)開(kāi)始沿長(zhǎng)度方向上逐漸增大，直至0.09 m處達(dá)到最大值后逐漸減小，直至錨固段末端趨于穩(wěn)定但并不為零。由圖8可以看出，剪應(yīng)力自錨固段由零開(kāi)始逐漸沿預(yù)拉應(yīng)力方向(反方向剪應(yīng)力)增大，直到0.04 m處達(dá)到極值后逐漸減小，至0.07 m處剪應(yīng)力減小為零，隨后沿剪應(yīng)力正方向逐漸增大，到0.2 m處達(dá)到最大值后逐漸減小，最終在錨固段末端趨于穩(wěn)定但并不為零。改變參數(shù)的大小，如改變錨索長(zhǎng)度、錨索直徑或者是錨索彎曲半徑的大小，只會(huì)改變剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)的極值點(diǎn)、零點(diǎn)和最值點(diǎn)處的值和相應(yīng)的剪應(yīng)力的大小，不會(huì)改變剪應(yīng)力分布曲線(xiàn)的形狀。

圖8 錨固段外曲線(xiàn)的剪應(yīng)力τ(s2)分布Fig.8 Stress curve of τ(s2)outside the face

對(duì)比孔道彎曲與直線(xiàn)狀態(tài)下錨固段周邊剪應(yīng)力的分布規(guī)律，可以得出如下規(guī)律性:

(1)孔道直線(xiàn)情況下錨固段周邊剪應(yīng)力沿同一截面相同，而孔道彎曲情況下錨固段同一截面上剪應(yīng)力不同，剪應(yīng)力大小處于內(nèi)曲線(xiàn)τ(s1)和外曲線(xiàn)τ(s2)之間。

(2)孔道彎曲情況下錨固段內(nèi)曲線(xiàn)上剪應(yīng)力最大值比孔道直線(xiàn)情況下錨固段周?chē)魬?yīng)力最大值約大2倍，而外曲線(xiàn)上剪應(yīng)力最大值約為直線(xiàn)狀態(tài)時(shí)的50%。主要是因?yàn)殄^固段的彎曲造成彎曲內(nèi)側(cè)的漿體在預(yù)應(yīng)拉力作用下施予周?chē)鷰r體一個(gè)向內(nèi)的壓力，使其受到的摩阻力增大，導(dǎo)致剪應(yīng)力增大;而彎曲段外側(cè)的漿體則在預(yù)應(yīng)拉力的作用下，有脫離周?chē)鷰r體的趨勢(shì)，導(dǎo)致剪應(yīng)力減小。換言之，孔道直線(xiàn)情況下剪應(yīng)力分布圖被包含在孔道彎曲情況下作用在內(nèi)外曲線(xiàn)剪應(yīng)力分布圖之內(nèi)，說(shuō)明按孔道直線(xiàn)情況下分析的剪應(yīng)力分布較簡(jiǎn)略，不能夠真實(shí)表現(xiàn)實(shí)際孔道彎曲情況下錨索錨固段的受力情況。

(3)孔道彎曲情況下，錨固段起點(diǎn)處外邊緣上會(huì)在很短的距離內(nèi)分布與假設(shè)方向相反的剪應(yīng)力(反方向剪應(yīng)力)，而孔道直線(xiàn)情況下卻沒(méi)有，主要是由于自由段錨索周?chē)坑袧?rùn)滑油，在預(yù)應(yīng)力施加后可以發(fā)生較大的伸縮，帶動(dòng)自由段周?chē)膸r土體發(fā)生相應(yīng)程度的壓縮，加之與錨固段連接處突然發(fā)生彎曲，錨固段內(nèi)側(cè)包裹著的巖體受到擠壓導(dǎo)致這部分巖體壓縮量突增。而錨固段由漿體裹握錨索鋼絞線(xiàn)，其表面上存在著微觀(guān)的粗糙皺曲，漿體圍繞著鋼絞線(xiàn)充滿(mǎn)這些皺曲而形成一個(gè)灌漿柱整體［14～15］，灌漿柱一部分漿體嵌入到周?chē)膸r體中，錨固段因此不容易發(fā)生較大的位移。自由段與錨固段連接處周?chē)膸r土體相對(duì)錨固段發(fā)生了與假設(shè)剪應(yīng)力正方向相反的位移，導(dǎo)致錨固段周?chē)叹嚯x內(nèi)產(chǎn)生了反方向剪應(yīng)力。

4 結(jié)論

(1)一般來(lái)說(shuō)，由于施工技術(shù)原因及地質(zhì)因素的作用，隨著錨索長(zhǎng)度的加大，預(yù)應(yīng)力錨索鉆孔孔道發(fā)生偏離、彎曲難以避免。

(2)錨索孔道彎曲情況下錨固段同一截面上剪應(yīng)力并不像孔道直線(xiàn)狀態(tài)時(shí)分布相同、均勻，而是變得不均勻，內(nèi)側(cè)剪應(yīng)力大，最大值比孔道直線(xiàn)情況下錨固段周?chē)魬?yīng)力最大值約大2倍，外側(cè)剪應(yīng)力小，最大值約為直線(xiàn)狀態(tài)時(shí)的50%。

(3)由于錨索孔道彎曲效應(yīng)，在錨固段起點(diǎn)處外側(cè)存在反方向剪應(yīng)力，更易導(dǎo)致注漿體的破壞。

當(dāng)然，本次計(jì)算采用的是二維彈性理論模型，還需要進(jìn)一步考慮基于三維彈塑性模型來(lái)探討更接近于真實(shí)狀態(tài)的錨索受力模型。

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