無源線性網(wǎng)絡(luò)與Bott—Duffin綜合

范迪 劉英敏 呂常智

摘要：論文介紹了無源網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)及正實(shí)函數(shù)的性質(zhì)。無源線性網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)具有正實(shí)函數(shù)特性的阻抗函數(shù)，且僅能實(shí)現(xiàn)正實(shí)函數(shù)。Bott-Duffin綜合建立了線性網(wǎng)絡(luò)和正實(shí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于把電工原理課程和自動(dòng)控制原理聯(lián)系在一起提供了重要的指導(dǎo)方法。

關(guān)鍵詞：無源網(wǎng)絡(luò)；阻抗函數(shù)；正實(shí)函數(shù)；Bott-Duffin綜合

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）50-0187-03

一、前言

無源網(wǎng)絡(luò)綜合主要研究通過有限多個(gè)電阻、電感、電容及變壓器等無源元件來實(shí)現(xiàn)給定網(wǎng)絡(luò)描述函數(shù)的問題[1]。由有限個(gè)電阻、電感及電容等無源元件所組成的線性網(wǎng)絡(luò)，稱為無源線性網(wǎng)絡(luò)，研究其輸入導(dǎo)抗（即阻抗或?qū)Ъ{的總稱）的性質(zhì)，在電工課程的教學(xué)中有重要意義[2]。

本文介紹了無源線性網(wǎng)絡(luò)的阻抗特性，這是一個(gè)復(fù)變函數(shù)作為網(wǎng)絡(luò)阻抗的必要條件，而滿足這些條件的阻抗也恰好是無源線性網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)的。Bott和Duffin構(gòu)造出了一種無變壓器綜合方法，即著名的Bott-Duffin綜合法。它指出了無源網(wǎng)絡(luò)的能力和局限，并且將無源網(wǎng)絡(luò)和正實(shí)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來，使得無源網(wǎng)絡(luò)的研究轉(zhuǎn)變?yōu)槟愁悊螐?fù)變函數(shù)的研究。Bott-Duffin綜合被自然地應(yīng)用到自動(dòng)控制系統(tǒng)的綜合中，搭起了電工原理課程和自動(dòng)控制系統(tǒng)的橋梁。

二、無源線性網(wǎng)絡(luò)的阻抗特性與正實(shí)函數(shù)

由R、L、C等無源元件組成的網(wǎng)絡(luò)，其驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)是有理正實(shí)函數(shù)（下文介紹），這是無源單口網(wǎng)絡(luò)可以實(shí)現(xiàn)的充分必要條件，是無源網(wǎng)絡(luò)綜合的基礎(chǔ)。作為單個(gè)元件，電感的電壓—電流關(guān)系式是：u（t）=Ldi（t）/dt。其中u（t）、L、i（t）分別是電感兩端的電壓、電感值和電流。利用Laplace變換，可以寫成U（s）=sLI（s），s是復(fù)變量。電阻和電容的關(guān)系式分別是U（s）=RI（s），U（s）=I（s）/Cs。多個(gè)電阻、電感和電容串聯(lián)或者并聯(lián)可以組成一個(gè)無源線性網(wǎng)絡(luò)。記這個(gè)無源網(wǎng)絡(luò)的阻抗為Z（s），則Z（s）作為單個(gè)復(fù)變量s的函數(shù)，它具有以下特性：

（1）Z（s）是一個(gè)有理函數(shù)，也就是兩個(gè)多項(xiàng)式的比值；

（2）對(duì)實(shí)數(shù)s，Z（s）是實(shí)數(shù)；

（3）對(duì)實(shí)部大于零的復(fù)數(shù)s，Z（s）的實(shí)部也大于零。

以上三個(gè)特性都與電路網(wǎng)絡(luò)的特性相對(duì)應(yīng)。

兩個(gè)有理函數(shù)經(jīng)過（1）的運(yùn)算后，仍然是有理函數(shù)，故特性（1）成立；如果外加的電壓是直流電，網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)為純電阻特性，特性（2）成立；特性（3）指出無源線性網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流相位差不超過π，或者反相無法實(shí)現(xiàn)。特性（3）對(duì)無源網(wǎng)絡(luò)成立也是這類網(wǎng)絡(luò)不能持續(xù)輸出能量的結(jié)果。滿足這三個(gè)特性的復(fù)變量函數(shù)叫作正實(shí)函數(shù)（Positive Real Function，簡記為PRF），它是阻抗函數(shù)可以由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的必要條件。正實(shí)函數(shù)及其性質(zhì)是無源網(wǎng)絡(luò)綜合理論的基礎(chǔ)。正實(shí)函數(shù)的其他一些特性可以由定義中的三個(gè)特性導(dǎo)出，列舉如下：分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)；分子分母多項(xiàng)式的次數(shù)最多差一次；零、極點(diǎn)全部在左半平面和虛軸上（或無窮遠(yuǎn)處）。因此，任一正實(shí)函數(shù)必屬于下列四種情形之一：在虛軸上有極點(diǎn)；在虛軸上有零點(diǎn)；在虛軸上不等于零，實(shí)部有最小值R>0；有一個(gè)頻率ω>0，使得Z（ω）=jωL，其中L>0。

三、Bott-Duffin綜合

（一）Bott-Duffin綜合的規(guī)則

具有上述的三個(gè)特性的無源線性網(wǎng)絡(luò)的阻抗函數(shù)構(gòu)成所謂的正實(shí)函數(shù)，是否任何一個(gè)正實(shí)函數(shù)都可以由一個(gè)無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，或者說，是不是任意給定一個(gè)正實(shí)函數(shù)，總能構(gòu)造一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，使它的阻抗函數(shù)正好是給定的正實(shí)函數(shù)呢？Bott-Duffin綜合的內(nèi)容肯定地回答了這個(gè)問題，即把無源網(wǎng)絡(luò)和正實(shí)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來，把無源網(wǎng)絡(luò)的研究轉(zhuǎn)變成某類單復(fù)變函數(shù)的研究。

把正實(shí)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的次數(shù)相加得到的非負(fù)整數(shù)叫作函數(shù)的階。明顯地，零階函數(shù)，也就是常數(shù)函數(shù)，可以由單個(gè)電阻實(shí)現(xiàn)。再假設(shè)低于n階的函數(shù)是可以實(shí)現(xiàn)的，Bott-Duffin綜合的四條規(guī)則如下：

（1）如果Z（s）在虛軸上有極點(diǎn)，可以用如圖1（a）所示的一個(gè)電感和電容并聯(lián)組成的諧振元再與一個(gè)Z′（s）串聯(lián)實(shí)現(xiàn)，其中Z′（s）是比Z（s）低階的阻抗函數(shù)。

（2）如果Z（s）在虛軸上有零點(diǎn)，可以用如圖1（b）所示的一個(gè)電感和電容串聯(lián)組成的諧振元再與一個(gè)Z′（s）并聯(lián)實(shí)現(xiàn)，其中Z′（s）是比Z（s）低階的阻抗函數(shù)。

（3）如果Z（s）的實(shí)部在虛軸上不等于零，設(shè)R是一個(gè)正數(shù)（可以認(rèn)為是電阻），把Z（s）寫成Z（s）=R+Z0（s），那么Z0（s）是階次不大于Z（s）的正實(shí)函數(shù)，從而可以用如圖1（c）所示電路實(shí)現(xiàn)。

（4）若上述三種簡化均不能進(jìn)行，則存在ω>0使Z（jω）是純虛數(shù)。假設(shè)Z（jω）=jωL，其中L>0。利用P.I.Richards的一個(gè)關(guān)鍵定理，令

式（2）為Richards變換，實(shí)數(shù)k>0使得L=Z（k）/k。注意到若Z（s）為正實(shí)函數(shù)，則一定存在k>0使得通過Richards變換所得的函數(shù)在虛軸上存在零點(diǎn)或極點(diǎn)。在下節(jié)中我們將指出R（s）是一個(gè)階數(shù)不超過Z（s）的正實(shí)函數(shù)。由于R（s）為在虛軸上存在零點(diǎn)或極點(diǎn)的正實(shí)函數(shù)，則可進(jìn)一步抽取出電抗元件得到具有更低階數(shù)的正實(shí)阻抗函數(shù)。總可以找到一個(gè)k，使L=Z（k）/k，這是因?yàn)楫?dāng)k從0變到∞時(shí)，L=Z（k）/k從∞變到0，對(duì)于這個(gè)k值，有R（jω）=0，也就是R（s）在虛軸上有零點(diǎn)。由式（2）解出Z（s），得：

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，通過上述的四條規(guī)則可以實(shí)現(xiàn)任何一個(gè)正實(shí)函數(shù)。這樣，通過Bott-Duffin綜合，就建立起了無源線性網(wǎng)絡(luò)與正實(shí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)，任何一個(gè)正實(shí)函數(shù)都是可實(shí)現(xiàn)的，都對(duì)應(yīng)到一個(gè)網(wǎng)絡(luò)；同時(shí)，任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)又可以計(jì)算其阻抗，得到一個(gè)正實(shí)函數(shù)。

Bott是匈牙利籍著名的數(shù)學(xué)家，BottDuffin綜合是收入他的論文全集的唯一一篇關(guān)于電氣網(wǎng)絡(luò)的論文，全文只有半頁，文章刊出時(shí)，Bott只有二十六歲，還是一名研究生。他改進(jìn)了Brune關(guān)于網(wǎng)絡(luò)綜合的結(jié)果，用規(guī)則d代替了原來的第四條規(guī)則，去掉了理想變壓器的使用。他由于這篇文章被普林斯頓高級(jí)科學(xué)研究院的奧本海姆看中，開始了他的純粹數(shù)學(xué)家的職業(yè)生涯。

（二）Bott-Duffin綜合法規(guī)則的詳細(xì)說明

由于阻抗Z和對(duì)應(yīng)的容抗Y=1/Z是正實(shí)函數(shù)，任何極點(diǎn)必須單階且其留數(shù)為正實(shí)數(shù)。假設(shè)W是至少一個(gè)極點(diǎn)在虛軸或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的正實(shí)函數(shù)，則可寫成

通過計(jì)算得

四、自動(dòng)控制系統(tǒng)綜合的實(shí)例

在自動(dòng)控制系統(tǒng)的課程中，相位補(bǔ)償器必須是可以實(shí)現(xiàn)的，也就是說，它的傳遞函數(shù)必須是正實(shí)的。假設(shè)一個(gè)相位超前-滯后補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)為

它可以由圖3的無源網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)。

五、總結(jié)

無源網(wǎng)絡(luò)是電工課程的重要內(nèi)容，它的阻抗函數(shù)是正實(shí)函數(shù)。另一方面，任意給定一個(gè)正實(shí)函數(shù)，可以構(gòu)造僅由有限個(gè)電阻、電容和電感等無源器件通過串聯(lián)或并聯(lián)組合而成的網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)，Bott-duffin綜合就實(shí)現(xiàn)了這一功能。本文給予了說明和驗(yàn)證。結(jié)合Kirchhoffs的電壓、電流定律，無源線性電路的大部分內(nèi)容可以總結(jié)為三句話：電場是保守場（電壓定律）；電荷是守恒的（電流定律）；線性網(wǎng)絡(luò)和PRF一一對(duì)應(yīng)。目前多數(shù)的教學(xué)安排中，單復(fù)變函數(shù)的課程通常安排在電工原理課程之后，但教師可以把這三句話貫穿在教學(xué)中，為學(xué)生指明學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和方向。

參考文獻(xiàn)：

[1]陸志剛.線性無源二端網(wǎng)絡(luò)的近代綜合法[J].電信科學(xué)，1957，（05）：45-47.

[2]邱關(guān)源.電路[M].第5版.高等教育出版社，2006：75-296.