考慮負(fù)載均衡的過驅(qū)動航天器推力器分配方法

張世杰，段晨陽，趙亞飛

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150080)

0 引言

高性能航天器常采用冗余配置的推力器以提高系統(tǒng)在軌可靠性，構(gòu)成一類過驅(qū)動系統(tǒng)。過驅(qū)動航天器的推力器分配方案并不唯一，增加了在軌推力分配的復(fù)雜性，卻可為控制系統(tǒng)提供新的設(shè)計自由度，進(jìn)而能夠改善航天器控制系統(tǒng)性能。已有諸多學(xué)者針對推力分配問題提出了多種方法，包括固定

分配列表法［1，2］和動態(tài)分配法等［3－5］。固定分配列表法是根據(jù)推力器布局，預(yù)先制定推力分配列表，在運行過程中始終采用該方案，其主要缺點是需要預(yù)先制定推力器分配列表，包括推力器故障時的分配列表，這就需要占用巨大的星上存儲空間，特別是靜態(tài)推力器列表無法考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)特性，無法對該特性實時地調(diào)整分配策略應(yīng)對不可預(yù)見的跟蹤誤差。

控制分配(Control allocation，CA)方法是由控制算法給出的期望控制量出發(fā)，在各類約束條件和最優(yōu)目標(biāo)下，將期望控制量在冗余配置的執(zhí)行機(jī)構(gòu)間進(jìn)行分配，使執(zhí)行機(jī)構(gòu)的實際控制輸出盡可能與期望控制量相吻合的一種控制設(shè)計技術(shù)［6］。Ricardo等［7］嘗試將控制分配方法引入航天器推力控制問題，隨后多位學(xué)者面向不同的控制性能，提出了諸多航天器推力分配算法［8－10］。

航天器在軌運行時，控制目標(biāo)一般具有方向性，在推力器分配時如果不做限制，會出現(xiàn)僅有少數(shù)幾個推力器承擔(dān)主要控制任務(wù)的情況，導(dǎo)致這幾個推力器的工作總時長或開關(guān)次數(shù)顯著增加，相比于其它推力器會提前達(dá)到最大連續(xù)工作時長和繼電器開關(guān)次數(shù)壽命，發(fā)生故障或失效。因此，在推力分配過程中，確保誤差最小前提下，需要均衡分配給各推力器的負(fù)載，降低各推力器分配力矩之差，對提高推進(jìn)系統(tǒng)整體工作壽命具有重要意義。如何利用推力器冗余配置特性，實現(xiàn)推力器負(fù)載均衡(Load balancing)分配，是一個亟待解決的問題?？刂品峙淙菰S在一定的約束下，提出新的設(shè)計指標(biāo)，并進(jìn)行最優(yōu)求解，為解決負(fù)載均衡問題提供了可行途徑。

負(fù)載均衡的概念源自于計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，用于處理多個節(jié)點間的協(xié)同工作問題，如用于P2P系統(tǒng)的負(fù)載平衡算法，其核心思想是將虛擬服務(wù)器分解，并且動態(tài)調(diào)節(jié)虛擬服務(wù)器的數(shù)量［11］。Wang等針對提高無線電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)利用率的問題，基于當(dāng)前或過去臨近節(jié)點的信息來滿足整個數(shù)據(jù)流需求的思想，給出了每個節(jié)點的資源分配方案［12］。Frost等對飛機(jī)中的負(fù)載均衡控制分配問題進(jìn)行了研究，基于一種min-max準(zhǔn)則實現(xiàn)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的均衡分配，并對該算法的敏感度進(jìn)行了分析［13］。部分學(xué)者也探討了航天領(lǐng)域的負(fù)載平衡方法［14－16］，但主要集中在編隊飛行控制的燃料平衡問題。上述工作具有重要參考價值，但并不完善，難以直接應(yīng)用。

本文以冗余配置推力器的小衛(wèi)星作為研究對象，探索采用控制分配方法實現(xiàn)負(fù)載均衡控制目標(biāo)的可行途徑，期望本文的工作對高性能航天器控制系統(tǒng)設(shè)計能夠提供一定的參考。

1 負(fù)載均衡分配問題描述

在航天器控制中，系統(tǒng)狀態(tài)空間模型可以寫成

其中x∈Rm是系統(tǒng)狀態(tài)量，d∈Rm為擾動項，ad∈Rm為通過控制器給出的控制指令，y∈Rk為觀測向量。

在推力器進(jìn)行航天器姿態(tài)/軌道控制過程中，滿足

式中:F= ［F1，…，F(xiàn)n］T，其各個元素分別代表各個推力器的推力大小，B為m×n階矩陣。對于第i個推力器的大小，滿足約束0≤Fi≤Fimax(i=1，…，n)。這里在給定的約束條件下，尋找“最優(yōu)”解F的問題即為控制分配問題。

在給定約束條件下，控制分配問題可能存在多解、唯一解或無解三種情況。一種常見的，也是容易理解的方式，是降低控制分配誤差以獲取最佳的控制性能。除此以外，多推力器同時工作更容易實現(xiàn)姿態(tài)和軌道控制，尤其是在系統(tǒng)故障及恢復(fù)的過程中。因此，控制分配實際上包含兩個層次的內(nèi)容:一個是誤差最小，另一個為控制優(yōu)化。

控制分配的目的在于將控制器給出的期望控制指令，以一定的優(yōu)化指標(biāo)，分配給冗余的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，從而優(yōu)化配置，提高控制系統(tǒng)性能，原理如圖1所示。

圖1 控制分配原理圖Fig.1 Schematic diagram of control allocation

考慮一般的控制分配模型

式中:B為由推力器安裝布局確定的矩陣，稱之為控制效率矩陣，控制效率矩陣的計算過程見文獻(xiàn)［3］，F(xiàn)imax分別為第i個推力器標(biāo)稱的最大推力。

在不考慮推力器上限約束的情況下，該控制分配模型可以通過簡單的Lagrange算法求解［17］，當(dāng)考慮推力器上限約束時，可通過零空間方法對飽和情況進(jìn)行修正求解［18］。然而，力矩最優(yōu)目標(biāo)下的解不能保證均衡分配效果，且在給出初解之后予以被動修正，將飽和分配量賦予最大值，這種策略不能預(yù)先調(diào)節(jié)控制分配指令，無法達(dá)到在滿足約束條件下實現(xiàn)力矩最優(yōu)的分配效果。

2 控制分配的公式化表述

如前所述，控制分配包含兩個層次的內(nèi)容:誤差最優(yōu)和分配優(yōu)化，下文將分別給出其數(shù)學(xué)描述。

誤差最優(yōu):根據(jù)推力器安裝構(gòu)型矩陣B，尋求推力器分配向量F，滿足，

最小，并滿足執(zhí)行機(jī)構(gòu)約束0≤Fi≤Fimax，其中向量范數(shù)為p范數(shù)。如果控制器給出的力和力矩指令在推力器可達(dá)集內(nèi)，那么顯然使得方程(4)得到最優(yōu)解的條件為J=0，進(jìn)而說明推力器的能力能夠完成當(dāng)前控制器的控制指令。但實際上，該條件并不一定成立，尤其是在某種特定情形下，如采用小推力發(fā)動機(jī)，大角度機(jī)動等，因此，考慮該分配目標(biāo)極其必要。

分配優(yōu)化:在給定推力器安裝構(gòu)型矩陣B，向量Fg滿足0≤Fg≤Fmax時，尋找向量F滿足

使得

混合優(yōu)化:給定推力器安裝構(gòu)型矩陣B，進(jìn)一步將優(yōu)化指標(biāo)修改為，尋找向量F滿足

并滿足

混合優(yōu)化是將誤差最優(yōu)和分配最優(yōu)兩種不同的優(yōu)化指標(biāo)通過參變量ε變成一個統(tǒng)一的優(yōu)化指標(biāo)，如果選擇較大的ε，則分配結(jié)果更趨向于分配最優(yōu);如果選擇較小的ε，那么結(jié)果更趨向于誤差最優(yōu)。

選擇不同的范數(shù)可以達(dá)到不同的控制目標(biāo)，對于向量x∈Rm，向量范數(shù)分別定義為:

顯然，對于誤差最優(yōu)，可以選擇多種方案，都能夠表示控制分配誤差最小，可針對具體的求解復(fù)雜性確定;而對于控制最優(yōu)指標(biāo)，選擇無窮范數(shù)是減小各推力器的最大值，從而降低分配給推力器的最大推力，增加利用率低的推力器的工作負(fù)荷，達(dá)到均衡分配的目的。這種均衡是一種相對“均衡”的概念，由控制指令確定，并非指最終分配給推力器的推力相等。通過設(shè)計一定目標(biāo)函數(shù)，滿足控制器指令的要求，同時考慮了推力器間負(fù)荷均衡的效果，合理的分配給各個執(zhí)行機(jī)構(gòu)，因此，該方法是一種全局的均衡推力器控制分配策略。

3 負(fù)載均衡分配算法

3. 1 控制分配算法

應(yīng)用上節(jié)給出的混合優(yōu)化控制分配模型，考慮負(fù)載均衡的控制分配模型可表示為其中，誤差最優(yōu)選擇1范數(shù)，控制最優(yōu)選擇無窮范數(shù)，即負(fù)載均衡的概念。

顯然，上述控制分配模型無法直接求解，需要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化模型，并基于現(xiàn)有的優(yōu)化算法進(jìn)行求解。

引入?yún)⒆兞縁*，滿足F*= F∞，并引入一個新的標(biāo)量函數(shù)y=s(x)，該函數(shù)定義為

相應(yīng)的向量函數(shù)y=s(x)定義為，對于x∈Rm

根據(jù)s函數(shù)的定義，引入如下松弛變量

以及誤差松弛變量

于是有

令各推力器最大值的集合為Fmax=［F1max，…，F(xiàn)nmax］T，則有

對于誤差e，令emax=s(ad)+s(－ad)，則有，

于是控制分配模型可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃模型

式中:

上述模型具有標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃模型的形式，因此基于現(xiàn)有的線性分配算法可以進(jìn)行求解［19－20］。

3. 2 算法評價指標(biāo)

本文主要采用兩種指標(biāo)，用于評價執(zhí)行機(jī)構(gòu)負(fù)載均衡算法性能:平衡度和敏感度。

3.2.1 負(fù)載裕度與平衡度

定義第i個推力器的負(fù)載裕度

在給定配置下推力器的平均負(fù)載裕度為

平衡度定義為推力器配置下的整體平均負(fù)載裕度，可定義為

式中:N為采樣時間點的數(shù)目。

顯然，在推力器均未工作在最大推力時，平均負(fù)載裕度越大，說明推力器平均輸出距離推力器閾值越遠(yuǎn)，越能夠避免出現(xiàn)推力器工作在最大負(fù)荷的幾率。

3.2.2 敏感度

對于控制器算法給出的期望力矩指令Tcmd，加以一小的常值偏差向量Δ，會導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令發(fā)生變化，定義執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令變化的程度為敏感度。其表達(dá)式為

式中:Fcmd為未加偏差的執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令，F(xiàn)delta為具有偏差時的執(zhí)行機(jī)構(gòu)指令。

由敏感度定義可知，敏感度越低時，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的指令分配越理想，對誤差的敏感程度越低。

綜上，平衡度表征執(zhí)行機(jī)構(gòu)負(fù)載均衡狀況，平衡度越高，則執(zhí)行機(jī)構(gòu)出現(xiàn)飽和狀況的可能性越小;而敏感度表征算法對干擾的敏感程度，敏感度越低，則誤差分配導(dǎo)致執(zhí)行機(jī)構(gòu)的出現(xiàn)飽和的可能性越小，表現(xiàn)為一定的魯棒性。

4 仿真及結(jié)果分析

推力器姿態(tài)控制的控制效率矩陣為

以某型小衛(wèi)星基于推力器的高精度姿態(tài)穩(wěn)定控制問題為背景，小衛(wèi)星的質(zhì)量為10 kg，轉(zhuǎn)動慣量為I= ［6.292 0 0;0 5.477 0;0 0 2.687］kg·m2;初始姿態(tài)四元數(shù)為 q(t0)= ［0.7035 －0.4708 0.3430 0.4073］T;初 始 姿 態(tài) 角 速 度 ωb0= ［0.9 0.6 0.7］Trad/s;控制器采用PD控制律，控制律參數(shù)kp=2.4 ，kd=3.9 。

為了能夠?qū)Ρ日f明均衡控制分配的效果，采用該算法和燃料最優(yōu)推力器控制分配方法進(jìn)行對比，燃料最優(yōu)分配方法的模型可以寫為

該模型是一個標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃模型，求解該模型的線性分配算法可參考文獻(xiàn)［21］。

在給定的安裝構(gòu)型及控制效率矩陣B下，記矩陣B的每i列編號為#i的推力器分別在三個坐標(biāo)軸的分量，每個推力器的最小推力均為0.01 N，最大為10 N，推力器可以產(chǎn)生連續(xù)推力。在給定的推力器配置和控制律作用下，姿態(tài)角速度和姿態(tài)四元數(shù)的變化情況如圖2和圖3所示?？梢钥闯鲎藨B(tài)角速度逐漸趨于0，同時從姿態(tài)四元數(shù)的變化可以看出小衛(wèi)星從初始姿態(tài)完成機(jī)動，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)過程。

圖2 姿態(tài)角速度隨時間變化曲線Fig.2 Attitude angular velocity curve change with time

圖3 姿態(tài)四元數(shù)隨時間變化曲線Fig.3 Attitude quaternion curve change with time

在姿態(tài)控制過程，各個推力器的工作狀態(tài)如圖4所示。其中4a)和4b)是負(fù)載平衡下的推力器分配結(jié)果，而4c)和4d)是燃料最優(yōu)控制分配時各個推力器的工作狀態(tài)，灰色填充部分為推力器的工作時間段，非填充區(qū)域表示推力器處于關(guān)機(jī)狀態(tài)，每個推力器柱狀圖后面的數(shù)字表示推力器工作期間輸出的最大推力。

從圖4中可以得出以下幾點結(jié)論:

圖4 負(fù)載均衡分配時的推力器工作情況(a和b)及燃料最優(yōu)分配時的推力器工作情況(c和d)Fig.4 Working status of thrusters under balancing control allocation(a＆b)，and optimal fuel-consumption allocation(c＆d)

(1)推力器工作數(shù)目:在進(jìn)行姿態(tài)控制期間，采用負(fù)載均衡控制分配方法時所有推力器都參與了工作，而燃料最優(yōu)控制分配方法參與控制的推力器只有10個。這說明了負(fù)載均衡控制分配方法能夠合理利用推力器的安裝布局，使推力器間彼此協(xié)同工作，避免頻繁使用部分推力器，從而均衡各推力器的利用率;

(2)系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時間:采用負(fù)載均衡控制分配方法時，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時間為40.2 s，而采用燃料最優(yōu)控制分配方法時，系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時間為49.6 s;可見，采用負(fù)載均衡控制分配方法能充分利用多推力器協(xié)同工作降低系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時間，這對于工程實際應(yīng)用是十分有意義的;

(3)最大推力:采用負(fù)載均衡控制分配方法時，最大推力輸出為#5，#12，#13，#14，#15 推力器，均為1.78 N，采用燃料最優(yōu)控制分配方法時，最大推力輸出是#12推力器，大小為4.08 N;可見，負(fù)載均衡控制分配方法能夠減小最大分配推力達(dá)56.4%，可見該方法能夠有效降低某一或某些推力器工作負(fù)荷。

(4)推力器總工作時間:采用負(fù)載均衡控制分配方法時，所有16個推力器的工作時間總和為306.3 s，而燃料最優(yōu)控制分配方法的推力器工作時間總和僅為111 s，這也說明負(fù)載均衡控制分配方法所達(dá)到的優(yōu)化效果是以增加總的推力器工作時間為代價的;但是，在燃料最優(yōu)控制分配方法中工作時間較長的推力器，如#11，#15推力器，在負(fù)載均衡控制分配方法中，工作時間均有所減少。

圖5 最大推力變化曲線Fig.5 The curve of maximum thrusters change

圖6 平均負(fù)載裕度變化曲線Fig.6 The curve of average payload margin change

表1 兩種算法評價對比結(jié)果Table 1 The comparison of two algorithms

(5)總?cè)剂舷?燃料消耗常用速度增量表示，采用燃料最優(yōu)的控制分配方法時總速度增量為0.0024 km/s，而負(fù)載均衡的控制分配方法的速度增量為0.0032 km/s?？梢?，負(fù)載均衡的控制分配方法比燃料最優(yōu)的控制分配增加燃料消耗約33.3%。

圖5和圖6分別給出了姿態(tài)控制過程中，各個時刻下分配給推力器的最大推力變化曲線和平均負(fù)載裕度變化曲線，燃料最優(yōu)控制分配曲線始終位于負(fù)載均衡控制分配曲線上方，更直觀的體現(xiàn)出了本文提出的控制分配方法能夠有效的降低分配給推力器的最大控制指令分量，優(yōu)化控制過程，使得推力器間分配更為均衡、合理。

通過表1可以看出，負(fù)載均衡控制分配方法能夠增加推力器配置的平衡度，同時降低對擾動信號的敏感程度，從而提高控制系統(tǒng)性能。

5 結(jié)論

本文通過對負(fù)載均衡控制分配策略進(jìn)行建模，并轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，通過仿真，在給定的評價指標(biāo)下進(jìn)行了驗證，得到了以下結(jié)論:

(1)負(fù)載均衡控制分配方法能夠充分利用推力器冗余特性，通過增加推力器執(zhí)行數(shù)目，達(dá)到減小推力器最大分配推力，減小控制系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時間的目的;

(2)負(fù)載均衡控制分配方法能有效增加推力器配置的平衡度，將控制器指令“平均”分配給各個退器，同時在存在擾動力矩時，負(fù)載均衡控制分配方法對擾動誤差不敏感，魯棒性強(qiáng)。

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