液體多模態(tài)晃動(dòng)充液航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)復(fù)合控制

宋曉娟，岳寶增，閆玉龍，鄧明樂(lè)

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081)

0 引言

為了完成長(zhǎng)時(shí)間復(fù)雜的航天任務(wù)，航天器需要攜帶大量的發(fā)動(dòng)機(jī)液體燃料。液體燃料晃動(dòng)質(zhì)量的增加使得液體晃動(dòng)更容易與航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)及柔性附件振動(dòng)發(fā)生耦合從而影響航天器的穩(wěn)定性，甚至可能導(dǎo)致航天器飛行任務(wù)失敗。開(kāi)展相關(guān)研究的緊迫性和重要性還可以從美國(guó)航空航天管理局于2010年2月所發(fā)射的太陽(yáng)動(dòng)力學(xué)高精度觀測(cè)衛(wèi)星的研制過(guò)程和在軌運(yùn)行經(jīng)歷而窺見(jiàn)一斑。SDO觀測(cè)器含有2個(gè)大型燃料貯腔(充液重為1400 kg，占衛(wèi)星總重的47%)。在觀測(cè)器執(zhí)行第二次遠(yuǎn)地點(diǎn)主發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火并進(jìn)行變軌機(jī)動(dòng)過(guò)程中，控制系統(tǒng)發(fā)出了過(guò)載警告信號(hào)，同時(shí)迫使觀測(cè)器關(guān)閉主發(fā)動(dòng)機(jī)并轉(zhuǎn)入安全模式?？蒲腥藛T在長(zhǎng)達(dá)一周的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行了13次軌道和姿態(tài)機(jī)動(dòng)并最終成功地將太陽(yáng)動(dòng)力學(xué)觀測(cè)器引導(dǎo)到預(yù)定的使命軌道。相關(guān)工程技術(shù)人員在總結(jié)這次事故經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)中得到兩點(diǎn)非常重要的啟示:其一是傳統(tǒng)的液體晃動(dòng)等效力學(xué)模型并不能有效模擬液體非線性晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)(尤其是遠(yuǎn)地點(diǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火階段);其二是在充液復(fù)雜航天器的研制過(guò)程中，必須考慮液體晃動(dòng)及控制系統(tǒng)之間的非線性耦合動(dòng)力學(xué)問(wèn)題［1］。對(duì)于大型充液航天器而言，液體非線性等效力學(xué)模型的建立［2－3］、流固耦合非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分叉［4－5］、液體晃動(dòng)抑制［6］以及相應(yīng)現(xiàn)代控制理論等問(wèn)題的研究仍是有待解決的關(guān)鍵性課題［7］。

目前有關(guān)充液航天器剛－液－控－耦合動(dòng)力學(xué)研究的文獻(xiàn)報(bào)道中，大部分工作只涉及液體晃動(dòng)的基階模態(tài)，即只考慮單一質(zhì)量擺模型和單一質(zhì)量彈簧模型，而忽略了高階模態(tài)。雖然高階模態(tài)的晃動(dòng)幅值很小，但在建立耦合系統(tǒng)更精確模型時(shí)應(yīng)適當(dāng)增加模態(tài)的階數(shù)。有文獻(xiàn)報(bào)道，如果在耦合系統(tǒng)建模時(shí)加入前兩階或前三階模態(tài)將能更加準(zhǔn)確地反映液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)特征［8］。

近年來(lái)，一些學(xué)者將輸入成型技術(shù)應(yīng)用于液體晃動(dòng)抑制中取得了令人矚目的成果。文獻(xiàn)［9］通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)證明魯棒輸入成型器在一定參數(shù)范圍內(nèi)可以有效抑制儲(chǔ)液箱內(nèi)液體殘余晃動(dòng);文獻(xiàn)［10］采用輸入成型控制技術(shù)詳細(xì)研究了球形貯箱的液體晃動(dòng)的抑制問(wèn)題;文獻(xiàn)［11］將前饋輸入成型技術(shù)與動(dòng)態(tài)逆方法相結(jié)合，對(duì)充液航天器軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了復(fù)合控制方法的研究。

對(duì)于現(xiàn)代大型航天器的控制設(shè)計(jì)不可避免地會(huì)遇到各種擾動(dòng)(諸如太陽(yáng)光壓、重力梯度)和不確定參數(shù)問(wèn)題(諸如柔性附件振動(dòng)及液體晃動(dòng)等)。這就要求控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的自適應(yīng)與魯棒性［9－11］。研究表明，采用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制策略可以達(dá)到對(duì)復(fù)雜航天器的良好控制效果［12］。

本文對(duì)充液航天器采用零動(dòng)量反作用輪進(jìn)行三軸姿態(tài)穩(wěn)定，其在航天器的3個(gè)主慣性軸上各裝一個(gè)動(dòng)量輪，3個(gè)動(dòng)量輪相互正交(如圖1所示)，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理建立航天器系統(tǒng)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程和彈簧質(zhì)量等效力學(xué)模型的前兩階模態(tài)液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。針對(duì)充液航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)了基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器及多模態(tài)前饋輸入成型技術(shù)的復(fù)合控制器，并進(jìn)行了數(shù)值仿真試驗(yàn)研究。

1 充液航天器動(dòng)力學(xué)建模

1. 1 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程描述

假設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系對(duì)慣性系有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度ω，航天器系統(tǒng)在慣性坐標(biāo)系下的總動(dòng)量p可表示為

式中:f為系統(tǒng)外力。系統(tǒng)在慣性系中的動(dòng)量矩h有以下關(guān)系式

式中:v為系統(tǒng)平動(dòng)速度，g為外力矩。反對(duì)稱矩陣

1. 2 建立航天器數(shù)學(xué)模型

帶有單個(gè)儲(chǔ)液腔體的充液航天器模型如圖1所示，假設(shè)航天器本體坐標(biāo)系的原點(diǎn)與系統(tǒng)質(zhì)心重合，航天器本體為剛體，提供控制力矩的動(dòng)量輪分別作用在三個(gè)坐標(biāo)軸上，儲(chǔ)液腔體中的晃動(dòng)燃料等效為二階彈簧質(zhì)量模型如圖2所示。圖中的各個(gè)參數(shù)物理意義如下:O為航天器質(zhì)心，OXYZ為與剛體航天器固連的參考坐標(biāo)系，假設(shè)航天器的橢球形燃料貯箱部分充液且整個(gè)系統(tǒng)處于零重力環(huán)境，將液體晃動(dòng)等效為彈簧質(zhì)量模型并考慮其二階模態(tài)振動(dòng)，一階晃動(dòng)模型參數(shù)為mf1，kf1，cf1，其沿著OZ軸方向距離質(zhì)心O的距離為bf1，二階晃動(dòng)模型參數(shù)為mf2，kf2，cf2，bf2，不參與晃動(dòng)液體參數(shù) If0，mf0，bf0。動(dòng)量輪關(guān)于坐標(biāo)軸是軸對(duì)稱的，其到質(zhì)心的距離為bw，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Is。

航天器質(zhì)心到一階晃動(dòng)質(zhì)量mf1的距離為rOf1vO+ω×rOf1+˙η1，η1為一階彈簧質(zhì)量的晃動(dòng)位移。這里，η1= ［η11η12］T，η11為晃動(dòng)質(zhì)量沿著 OX 軸的晃動(dòng)位移，η12為晃動(dòng)質(zhì)量沿著OY軸的晃動(dòng)位移。同理可知，二階晃動(dòng)質(zhì)量mf2的位移及速度表達(dá)式。由于研究液體小幅晃動(dòng)，略去速度項(xiàng)中的二階高次項(xiàng)，則

在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，晃動(dòng)質(zhì)量的動(dòng)量為

由于本文只討論姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)航天器的影響，沒(méi)有考慮平動(dòng)的影響，所以認(rèn)為v0=0，并且應(yīng)用式(1)，得到關(guān)于等效液體晃動(dòng)質(zhì)量的動(dòng)力學(xué)方程

圖1 充液航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Simplified model of the liquid-filled spacecraft

圖2 航天器液體貯箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖Fig.2 The internal structure diagram for the liquid filled tank of spacecraft

轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中，航天器整體的動(dòng)量矩為

結(jié)合式(5)及式(2)，可以得到帶有動(dòng)量輪的充液航天器的動(dòng)力學(xué)方程為

由此，得到充液航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。

2 大角度反饋控制率設(shè)計(jì)

2. 1 設(shè)計(jì)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋?zhàn)藨B(tài)控制器

將動(dòng)力學(xué)方程(6)、(4)寫成矩陣形式，液體為小幅晃動(dòng)，省略式(4)中的高階小量。為了控制系統(tǒng)方便引入了一個(gè)新的變量α?？刂葡到y(tǒng)為

用四元數(shù)描述動(dòng)力學(xué)方程

式中:q=［q1q2q3］T，qTq+q20=1。

設(shè)計(jì)控制器τ確保閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定或者一致最終有界穩(wěn)定的，即當(dāng)t→∞ 時(shí)，q→0，ω→0，α→0，η→0，或者當(dāng)t→∞ 時(shí)，q與ω收斂到原點(diǎn)的一個(gè)較小鄰域內(nèi)。

動(dòng)態(tài)輸出反饋一般采用補(bǔ)償?shù)脑O(shè)計(jì)方法，具有全局反饋及可靠鎮(zhèn)定的效果，且對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的攝動(dòng)及外力擾動(dòng)變化具有一定的魯棒性。充液航天器控制系統(tǒng)是一個(gè)參數(shù)不確定系統(tǒng)，航天器姿態(tài)角及角速度是可以測(cè)量的狀態(tài)向量，而等效液體模型的晃動(dòng)模態(tài)為不可測(cè)的狀態(tài)向量。本文針對(duì)這類不確定系統(tǒng)的控制問(wèn)題，運(yùn)用自適應(yīng)方法得到了彈簧質(zhì)量模型的狀態(tài)向量的最優(yōu)估計(jì)值并設(shè)計(jì)出了自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，

假設(shè)1.對(duì)于存在有干擾力矩的充液航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，外部擾動(dòng)Td具有連續(xù)性及一致有界性，滿足如下條件

式中:β為沿著三個(gè)坐標(biāo)軸關(guān)于 Td2的最大未知邊界。

設(shè)計(jì)如下控制器［12］

式中:Qi為待設(shè)計(jì)的正定對(duì)稱矩陣，有Qi=＞0，β^為 β無(wú)限接近的估計(jì)值，單位向量a=［1 1 1］T，K、D為待設(shè)計(jì)控制增益，η^i為 ηi無(wú)限接近的估計(jì)值，α^i為αi無(wú)限接近的估計(jì)值，qe=［qe1qe2qe3］T為指令四元數(shù)qc與輸入四元數(shù) q的姿態(tài)誤差。

控制反饋增益可以設(shè)計(jì)為

式中:k＞0，d＞0。

根據(jù)四元數(shù)的性質(zhì)，qe有如下表達(dá)形式

下面證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

將李雅普諾夫函數(shù)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，并且將式(7)、(14)和(18)代入到式(17)中，為了得到˙V≤0，結(jié)合式(18)及假設(shè)1，進(jìn)一步整理，得到^β、^αi，及^ηi自適應(yīng)律

此時(shí)李雅普諾夫函數(shù)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)可以表示為如下形式

式中:Ri與Qi有如下關(guān)系

可以證明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2. 2 多模態(tài)輸入成型

輸入成型器是通過(guò)改變期望輸入的形狀和作用點(diǎn)位置，使得系統(tǒng)達(dá)到預(yù)定位置的同時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)顫振現(xiàn)象。即通過(guò)整型之后的系統(tǒng)輸入不僅可以滿足剛體的需求，而且可以抑制液體的晃動(dòng)現(xiàn)象。對(duì)于線性系統(tǒng)，設(shè)計(jì)單個(gè)脈沖的響應(yīng)可描述為

式中:Qi的具體表達(dá)式可通過(guò)Matlab線性不等式模塊求出。

綜上，可以得到

根據(jù)LaSalle不變?cè)?，此時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)收斂于最大不變集Ξ中，其中Ξ包含于

式中:yi(t)是輸出，Ai是幅值，ti為時(shí)間，ωf為無(wú)阻尼系統(tǒng)的頻率，ζ為系統(tǒng)的阻尼。為了使系統(tǒng)在多個(gè)脈沖作用下的響應(yīng)最終相互抵消而趨于零，則必須滿足

具有一定魯棒性的三階脈沖ZVD成型器，有如下形式

以上分析僅僅考慮了系統(tǒng)存在單個(gè)模態(tài)的情況，對(duì)于多階振動(dòng)模態(tài)的系統(tǒng)，輸入成型器可以先設(shè)計(jì)抑制各個(gè)單獨(dú)振動(dòng)模態(tài)的成型器，然后將這些成型器卷積起來(lái)，從而得到一個(gè)新的成型器

式中:*表示卷積運(yùn)算。

3 數(shù)值模擬

圖3 成型后的姿態(tài)四元數(shù)輸入指令Fig.3 Time vs shaped input command quaternions

對(duì)于三軸穩(wěn)定充液航天器，根據(jù)以上的數(shù)值仿真試驗(yàn)，通過(guò)比較自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，以及將其與二階模態(tài)ZVD輸入成型技術(shù)相結(jié)合所得到的復(fù)合控制器這兩種控制方法的控制效果圖，可以得到如下重要的分析結(jié)果和結(jié)論:

(1)從圖4及圖5所給出的航天器姿態(tài)角速率及姿態(tài)四元數(shù)響應(yīng)圖可以看出:系統(tǒng)在110 s左右達(dá)到穩(wěn)定效果。仿真圖還表明帶有多模態(tài)輸入成型技術(shù)的復(fù)合控制控制器可以稍快達(dá)到穩(wěn)定;而由自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器(14)所得到的控制效果與復(fù)合控制器所達(dá)到的控制效果幾乎相當(dāng)，這也從另一角度說(shuō)明自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出控制器具有較好的魯棒性、穩(wěn)定性及抗干擾的能力。

圖4 姿態(tài)角速率的響應(yīng)Fig.4 Time vs angular velocities response

圖5 姿態(tài)四元數(shù)的響應(yīng)Fig.5 Time vs attitude quaternions responses

(2)從圖6及圖7所給出的采用成型器技術(shù)前后液體燃料晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)圖可以看出:液體晃動(dòng)沿著偏航軸、滾動(dòng)軸的一階晃動(dòng)的瞬態(tài)響應(yīng)特征非常明顯;雖然二階晃動(dòng)響應(yīng)幅值比一階晃動(dòng)幅值小10－1數(shù)量級(jí)，但也顯示出其不可忽略的瞬態(tài)響應(yīng)特性。仿真結(jié)果顯示，本文所設(shè)計(jì)的基于成型器技術(shù)的復(fù)合控制器對(duì)液體晃動(dòng)的抑制效果非常明顯。

(3)圖8給出了采用控制器(14)時(shí)的控制力矩輸入時(shí)變圖，圖9為采用復(fù)合控制器時(shí)的控制力矩輸入時(shí)變圖。在數(shù)值仿真的實(shí)施過(guò)程中，為了結(jié)合航天器工程應(yīng)用實(shí)際，本文還考慮了控制力矩的飽和約束條件;控制力矩約束范圍限制在－5～5 N·m之間。對(duì)比仿真圖8、圖9可以發(fā)現(xiàn):加入成型器后的復(fù)合控制器將使航天器系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)定姿態(tài)且控制過(guò)程中所需要的控制力矩輸入更小。

圖6 液體一階晃動(dòng)時(shí)域曲線Fig.6 Time vs first mode displacement of fuel slosh

4 結(jié)論

圖7 液體二階晃動(dòng)時(shí)域曲線Fig.7 Time vs second mode displacement of fuel slosh

圖8 控制器(14)下的控制力矩Fig.8 Control moment input under controller(14)

圖9 控制器(14)結(jié)合輸入成型的控制力矩Fig.9 Control moment input under controller(14)and input sharpening

本文以三軸穩(wěn)定充液航天器為研究對(duì)象，在航天器的3個(gè)主慣性軸上各裝一個(gè)動(dòng)量輪，提供航天器的控制力矩。液體貯箱假定為橢球形，將晃動(dòng)液體等效為二階彈簧－質(zhì)量模型，應(yīng)用動(dòng)量矩定理建立了充液航天器耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。針對(duì)充液航天器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，該控制器具有良好的穩(wěn)定性及魯棒性品質(zhì)。為了在對(duì)航天器進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程自適應(yīng)控制的同時(shí)，達(dá)到對(duì)儲(chǔ)腔中的液體晃動(dòng)進(jìn)行抑制的目的，本文設(shè)計(jì)了具有魯棒特性的二階ZVD輸入成型器。數(shù)值仿真試驗(yàn)所給出的控制效果圖校驗(yàn)了本文方法的有效性;本文所得到的結(jié)果具有理論意義和工程應(yīng)用參考價(jià)值。

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