增強型軌道列表星歷及其在北斗混合星座中的應用

路 余，杜 蘭，張中凱，周佩元

(信息工程大學導航與空天目標工程學院，鄭州450001)

0 引言

我國自主發(fā)展的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)已于2012年底實現(xiàn)了亞太地區(qū)的區(qū)域導航定位服務［1］。導航星座由中高度圓軌道(MEO)、傾斜地球同步軌道(IGSO)和地球靜止軌道(GEO)三類衛(wèi)星組成。衛(wèi)星的廣播星歷提供了導航服務的空間基準，因此是影響衛(wèi)星導航定位精度和可靠性的重要因素。目前廣播星歷參數(shù)有兩大類，一是基于軌道根數(shù)的GPS型廣播星歷［2］，另一類是基于衛(wèi)星狀態(tài)向量的GLONASS型廣播星歷［3］。后者由于模型參數(shù)少，參數(shù)的有效期較短，因而更新更加頻繁。

北斗混合星座的廣播星歷采用類似于GPS的標準廣播星歷格式，其中GEO衛(wèi)星采用了5度傾角旋轉法以避免軌道根數(shù)的奇點問題［4］。但是，用戶計算GEO衛(wèi)星位置還需要反向旋轉以恢復正確的軌道定向［5］。如此以來，破壞了用戶使用北斗混合星座廣播星歷的算法一致性。

本文提出了一種增強型軌道列表星歷參數(shù)模型。首先，仍采用基于衛(wèi)星狀態(tài)向量的參數(shù)表示法，保留了GLONASS型廣播星歷的無奇點特性;其次，改進了衛(wèi)星的攝動力模型，星歷有效期從原來的30分鐘擴展到數(shù)小時，同時星歷參數(shù)也從原來的9個增加為15個。與目前采用的GPS型廣播星歷相比，新模型的參數(shù)個數(shù)、參數(shù)有效期和更新頻率均保持一致，且能夠同時適用于MEO、IGSO、GEO三類衛(wèi)星軌道的短期運動特性描述，無需對GEO衛(wèi)星進行人為旋轉。對北斗混合星座的星歷參數(shù)擬合實驗表明，三類衛(wèi)星的2小時擬合精度在非地影期均優(yōu)于1 cm。

1 GLONASS標準廣播星歷模型

GLONASS型廣播星歷是通過對地心地固坐標系(ECEF)下的力模型進行數(shù)值積分來計算衛(wèi)星位置的［6］。由于星歷更新較快，所需的軌道外推時間短，攝動力僅考慮了對軌道影響較大的攝動主項。

令衛(wèi)星的狀態(tài)向量為ECEF下的位置和速度向量，即XT=［RT˙RT］，則狀態(tài)微分方程為

式中:牛頓加速度主項a0、aJ2和a3b分別為ECEF下的地球中心引力加速度、地球扁率攝動加速度和日月引力攝動加速度向量;隨后的兩項是由于在非慣性系下描述二階時間導數(shù)而引進的牽連加速度主項，分別為離心加速度和科里奧利加速度向量，其中示平均地球自轉角速度。

1. 1 9參數(shù)星歷模型

在GLONASS標準廣播星歷模型中，由于廣播星歷作用時間短(每30分鐘更新)，日月引力攝動加速度a3b不再用其具體力模型計算，而是簡單地令其在有效期內保持為待求解的常向量。此時，擴展的9參數(shù)狀態(tài)向量為XT=［RT˙RTaT3b］，且?guī)в谐踔禇l件的擴展狀態(tài)微分方程為

若已知歷元t0時的星歷參數(shù)X0，利用積分器進行數(shù)值積分，即可得到有效期內任意時刻的ECEF下的衛(wèi)星位置和速度向量。為了和GLONASS星歷擬合方法一致，文中同樣采用的是Runge-Kutta四階積分器，文獻［7］分析了積分器誤差對GLONASS廣播星歷擬合的影響，可以通過縮短積分步長提高擬合精度。

1. 2 星歷擬合誤差

由擬合時段內精密外推軌道的位置向量序列［Ri］(i=1，2，…n)，通過最小二乘平差方法可以擬合出式(2)中的星歷參數(shù)X0的最佳估值。具體解算流程與軌道確定相同，參見文獻［8］。

采用GLONASS標準9參數(shù)星歷模型，對北斗混合星座的三類衛(wèi)星進行了星歷擬合仿真實驗。擬合數(shù)據［Ri］由復雜力模型和 Runge-Kutta7(8)階積分器計算得到，并作為軌道位置真值。擬合時段分別為30分鐘和1小時，數(shù)據間隔均取300秒。擬合參數(shù)的初值設定中，位置速度向量取為歷元時刻t0外推值，日月引力攝動加速度a3b取為零向量。

對北斗星座的14顆衛(wèi)星進行了大量擬合實驗，圖1給出了三類衛(wèi)星的一組典型的擬合誤差分布圖。可以看出:

(1)標準30分鐘擬合條件下，三類軌道都能達到2 cm的擬合精度，說明GLONASS的9參數(shù)模型可以直接用于北斗星座中高軌衛(wèi)星的30分鐘超短期星歷。

(2)當擴展到1小時時段的星歷擬合時，位置三分量的擬合誤差迅速增大了一個數(shù)量級(達到0.2 m)，遠遠超出擬合精度要求。

顯然，對于數(shù)小時擬合時段，由于考慮的力模型過于簡單，擬合誤差還將進一步增加。此時，改進力模型將是有效方法。

圖1 M2/G4/I2衛(wèi)星30 min和1 h的擬合誤差Fig.1 Fitting errors of M2/G4/I2 satellites for 30 min and 1 h

2 增強型軌道列表星歷模型

目前北斗衛(wèi)星廣播星歷的有效期為2小時，為此首先分析了日月引力攝動和太陽光壓攝動在數(shù)小時內的變化特性，并據此建立了針對日月引力攝動的二次多項式逼近模型，從而提出了適用期更長的15參數(shù)星歷模型。

2. 1 日月引力攝動及太陽光壓攝動

日月引力攝動和光壓是中高軌衛(wèi)星的兩個主要攝動力。通常力模型是在地心慣性系(ECI)中建立，因此考察兩者在地心地固坐標系下的短期波動特性，還需要逐點進行地球自轉變換。

在地心慣性系下，日月引力攝動加速度為［9］:

式中:G為引力常數(shù)，Mi為攝動天體的質量，ri為攝動天體相對于地心的位置矢量，ri為攝動天體到地心的距離，Δi為衛(wèi)星相對于攝動天體的位置矢量，Δi衛(wèi)星到攝動天體的距離。

采用柱形地影模型的太陽光壓標準模型為［10］:

式中:ν=0時衛(wèi)星在地影期，ν=1時衛(wèi)星在非地影期。P⊙為衛(wèi)星所在區(qū)域的太陽輻射流量，CR為光壓系數(shù)，A為衛(wèi)星有效截面積，m為衛(wèi)星質量，r⊙為太陽相對于地心位置，AU為一個天文單位，其值約為1.496×108km。

需要注意的是，衛(wèi)星進出地影使得力模型出現(xiàn)階躍。地影是指太陽位于地球衛(wèi)星軌道面附近且日、地、衛(wèi)星近似在一條直線上時，受地球遮擋，衛(wèi)星不能受到太陽光線照射并感知太陽位置的現(xiàn)象［11］。地影會造成太陽光壓的間斷，而GEO、IGSO與MEO衛(wèi)星在入地影頻度、持續(xù)時間、最長日期變化等方面均有所不同，在地影期間衛(wèi)星受到的影響程度也不同。其中，GEO軌道的地影每年出現(xiàn)兩次，分別在春分日和秋分日附近，每次持續(xù)46天;在地影季期間，每天衛(wèi)星進入地影的時段不同，春/秋分日最長，約為72分鐘。

2. 2 實驗分析

考察中高軌衛(wèi)星的兩攝動力的量級及其在ECEF坐標系中數(shù)小時內的變化特性。仿真時間選在春分日(3月21日)，此時太陽位于赤道面，光壓對GEO的攝動影響最大。令MEO和IGSO衛(wèi)星軌道的赤道交點經度與GEO衛(wèi)星定點經度相同，光壓系數(shù)為 1.0，衛(wèi)星的有效面質比為0.0003 m2/kg。

圖2給出了非地影期的4 h內某MEO衛(wèi)星的日月引力攝動、太陽光壓攝動的加速度分量。首先，兩種攝動力在30 min內變化較小，可以近似用平均值表示，但隨著時間增加到2～4 h，用常值進行逼近的誤差過大。其次，光壓攝動的大小與星體參數(shù)即有效面質比成正比，且比日月引力攝動小2個數(shù)量級，可以忽略或由其它擬合參數(shù)吸收其影響，但是其造成的力模型間斷在短時段內可能影響參數(shù)擬合精度。

對GEO和IGSO衛(wèi)星的仿真有類似結論。因此，隨著擬合時間的增加，太陽光壓和日月攝動加速度可以采用多項式和(或)三角函數(shù)等進行數(shù)學逼近表示。

2. 3 15參數(shù)星歷模型

為了控制星歷參數(shù)的個數(shù)，在數(shù)小時的擬合時段內，選擇采用二次多項式表示日月引力攝動加速度，即

則有擴展的15參數(shù)狀態(tài)向量為

且?guī)в谐踔禇l件的擴展狀態(tài)微分方程為

圖2 MEO衛(wèi)星的太陽光壓(a)和日月攝動的短期波動變化(b)Fig.2 Acceleration change of the solar radiation pressure(a)and lunisolar gravitational perturbation for MEO satellite(b)

式中:參數(shù)初值X0的設定為［R0˙R0］取擬合時段中間點的位置和速度，力模型參數(shù)［a0a1a2］的初值全部取為零向量。

同理，若由擬合時段內精密外推軌道的位置向量序列［Ri］，擬合出星歷參數(shù)X0的最佳估值，則可用Runge-Kutta四階積分器對式(6)積分得到有效期內任意時刻ECEF下的衛(wèi)星位置和速度向量。

3 擬合實驗和分析

將15參數(shù)的增強型軌道列表星歷模型用于目前北斗混合星座中14顆衛(wèi)星的星歷擬合(5個GEO衛(wèi)星G1～G5、5個IGSO衛(wèi)星I1～I5和4個MEO衛(wèi)星M1～M4)。首先分別對GEO/IGSO/MEO三類衛(wèi)星在地心慣性系(ECI)下進行軌道外推，采用力模型包括15×15階的地球引力場、日月引力攝動、太陽光壓、海洋潮汐及地球固體潮汐等，并采用IERS發(fā)布的地球定向參數(shù)將外推軌道轉換到ECEF坐標系下。仿真數(shù)據從2013年3月23日開始共計11天，數(shù)據點間隔為300 s;按照擬合時段和每小時更新頻率進行分組，每顆衛(wèi)星均包括264組星歷擬合數(shù)據，歷元時刻取為每組的中間時刻。需要指出的是，該實驗時段內，5個GEO衛(wèi)星均處于地影季，每天在地影內的時段在55～70分鐘之間變動(見圖3)。

圖3 GEO的地影季和試驗數(shù)據段的地影持續(xù)時間Fig.3 Daily variations of eclipse duration in the GEO satellite eclipse season centered around vernal equinox day

為考察15參數(shù)增強型軌道列表星歷模型的適用性，擬合時段分別選取1/2/3/4 h進行實驗。參數(shù)解算采用最小二乘平差，迭代終止條件為迭代前后兩次單位權方差的相對變化小于0.001。參數(shù)初值中，位置和速度向量取擬合時段中間時刻的衛(wèi)星位置和速度，其它參數(shù)均設為0;采用Runge-Kutta四階積分器，分別向前和向后數(shù)值積分。

星歷擬合的擬合精度采用用戶距離誤差(URE)的統(tǒng)計值進行評判［12］。MEO衛(wèi)星的 URE計算公式:

式中:ΔR、ΔT和ΔN分別為衛(wèi)星徑向、沿跡和外法向位置分量的擬合誤差。需要注意的是，這里僅分析星歷參數(shù)的數(shù)學擬合精度，不包含軌道的外推誤差。

圖4為14顆衛(wèi)星1/2/3/4 h的擬合URE的RMS最大值，初步表明增強型軌道列表星歷模型設計能夠滿足1～3 h內北斗混合星座的廣播星歷參數(shù)擬合。

(1)在非地影期(左圖)，三類衛(wèi)星的星歷擬合誤差隨擬合時段的增加逐漸增大。擬合URE的RMS，在1～2 h擬合時段內優(yōu)于1 cm，3 h擬合時段優(yōu)于5 cm，但是4 h擬合的最大RMS已接近0.2 m。

(2)對比三類衛(wèi)星可以看出，IGSO衛(wèi)星的擬合誤差最小，GEO衛(wèi)星的擬合誤差次之，MEO衛(wèi)星的擬合誤差最大?？赡苡捎谠诘毓滔迪拢琈EO衛(wèi)星的軌道較低，其速度變化較快，擬合精度較差。

(3)在地影期(右圖)，5個GEO衛(wèi)星廣播星歷的在2 h擬合時段內的 URE的 RMS最大值為1 cm，3 h擬合時段達到8 cm，4 h擬合時段的不能滿足擬合要求。

圖4 14個衛(wèi)星擬合URE的RMS的最大值Fig.4 Max RMSvalue of 14 satellites fitting URE

圖5 是G4衛(wèi)星分別采用1/2/3/4小時的擬合URE的RMS分布圖。每當衛(wèi)星進出地影時，太陽光壓導致衛(wèi)星受力模型出現(xiàn)跳變，影響到外推軌道的局部平滑性［13］，進而導致星歷擬合的較大誤差。由于每天的地影期持續(xù)1小時左右，因此僅能影響其附近的幾組數(shù)據，導致擬合誤差分群，跳變間隔約為1天，圖中共有5組跳變現(xiàn)象(注意到，圖5中左上1 h擬合時，若地影數(shù)據本身恰好組成一組，則不影響擬合精度，因此圖中的跳變并非1天)。此外，隨著擬合時段的增加，受地影數(shù)據影響的比例逐漸減小，擬合精度趨于平穩(wěn)，但是擬合精度自身隨時段延長衰減更快。因此，控制地影對星歷擬合的影響，應在地影期間適當縮短擬合時段。

圖6給出了G4星分別利用1/2/3/4 h擬合的星歷參數(shù)積分計算的ECEF速度精度。隨著擬合時長的增加，R和T方向的速度誤差快速增大，且幅度較為一致，N方向速度誤差最小，且對擬合時長不敏感。其中，2 h擬合結果計算的衛(wèi)星速度在R、T、N方向的誤差均優(yōu)于0.005 mm/s，即使在地影期也能控制在 0.05 mm/s。

4 結束語

本文分析了北斗混合星座的中高軌衛(wèi)星在數(shù)小時內的攝動運動變化特性，提出了基于擴展狀態(tài)向量的15參數(shù)增強型軌道列表星歷模型。通過對GEO、IGSO、MEO三類衛(wèi)星的星歷擬合實驗表明，增強型廣播星歷能夠滿足1～3 h擬合時段的擬合URE精度要求。與現(xiàn)有的基于軌道根數(shù)的GPS型星歷模型相比，避免了奇點問題，數(shù)值積分可方便地同時得到衛(wèi)星位置和速度信息，因此可考慮在廣播星歷或者星基增強系統(tǒng)中采用和備份發(fā)播。

圖5 G4衛(wèi)星擬合URE的RMS分布Fig.5 RMSdistribution of the G4 satellite fitting URE

圖6 G4衛(wèi)星速度擬合誤差RMSFig.6 RMSerrors of the G4 satellite fitting velocity

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