基于自適應(yīng)算法的月球引力常數(shù)和J2系數(shù)確定

王 祎，杏建軍，鄭黎明，于 洋

(中南大學(xué)航空航天學(xué)院，長沙410083)

0 引言

月球引力場的高精度測量對研究月球演化和開展月球探測具有重要意義，因此成為國際深空探測領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。然而由于月球自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期同步，導(dǎo)致月球始終只有一個(gè)面朝向地球，因此月球背面引力場數(shù)據(jù)很難用傳統(tǒng)方法測量，這也是高精度月球引力場模型建立所面臨的最大技術(shù)難題。Konopliv 等［1］、Matsumoto 等［2］和 Goossens 等［3］國內(nèi)外學(xué)者也對高精度月球引力場模型的建立做了眾多的研究:Konopliv采用了美國的GRAIL［4］的月球引力場測量數(shù)據(jù)恢復(fù)月球引力場，月球引力常數(shù)精度達(dá)到4.90280031 ×1012±4.4 ×105m3/s2，其中J2項(xiàng)攝動(dòng)系數(shù)精度為 9.0880835 ×10－5±1.4 ×10－9;Matsumoto和 Goossens則是分析了日本的SELENE［5］計(jì)劃的月球引力場的測量數(shù)據(jù)后得到精度為4.90280080×1012±9×105m3/s2的月球引力常數(shù);利用環(huán)月飛行的月球探測器之間衛(wèi)衛(wèi)跟蹤測量輔助地面深空探測網(wǎng)進(jìn)行月球引力場確定，是現(xiàn)今直接測量月球背面引力場的唯一方法，日本SELENE計(jì)劃和美國GRAIL任務(wù)分別應(yīng)用這種方法進(jìn)行了月球背面引力場的測量，有效地提高了月球引力場測量的精度。

Psiaki［6］提出了一種基于星間相對位置測量信息自主確定月球引力場的方法。該方法利用兩顆環(huán)月編隊(duì)飛行的衛(wèi)星構(gòu)成一個(gè)獨(dú)立自主的測量系統(tǒng)，環(huán)月編隊(duì)飛行的衛(wèi)星在不依賴地面深空探測網(wǎng)支持的條件下，利用編隊(duì)衛(wèi)星星間相對位置的測量數(shù)據(jù)，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extend Kalman Filter，EKF)濾波算法，自主確定月球衛(wèi)星軌道，同時(shí)修正月球引力場參數(shù)，得到更高精度月球引力場模型。

考慮到實(shí)時(shí)導(dǎo)航要求，Psiaki［6］采用實(shí)時(shí)性較強(qiáng)的EKF算法，且EKF算法在處理白噪聲激勵(lì)下的平穩(wěn)或非平穩(wěn)向量的狀態(tài)估計(jì)問題時(shí)能夠得到最優(yōu)的結(jié)果［7］。然而在實(shí)際應(yīng)用中，EKF的動(dòng)力學(xué)模型和觀測模型不可能準(zhǔn)確無誤，系統(tǒng)噪聲和測量噪聲特性不能提前精確確定，導(dǎo)致狀態(tài)參數(shù)估計(jì)精度的降低，甚至濾波器的發(fā)散［8］。

針對EKF算法中的系統(tǒng)噪聲或者測量噪聲難以精確確定導(dǎo)致濾波器精度降低的問題，本文提出一種自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Adaptive Extend Kalman Filter，AEKF)。該算法將改進(jìn)的Sage-Husa次優(yōu)無偏極大估值器［9］與擴(kuò)展卡爾曼濾波器相結(jié)合，在計(jì)算過程中對未知噪聲的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)和修正，并利用測量值來判斷濾波是否發(fā)散，當(dāng)濾波發(fā)散時(shí)通過引入自適應(yīng)衰減因子來修正預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差矩陣，進(jìn)而調(diào)整測量方程協(xié)方差矩陣和濾波增益矩陣，抑制由于干擾所引起的濾波發(fā)散，提高濾波器的精度［10］。

1 自適應(yīng)濾波算法

1. 1 動(dòng)力學(xué)模型與測量模型

雙星環(huán)月編隊(duì)飛行動(dòng)力學(xué)方程和測量方程可表示為:

式中:Xk表示目標(biāo)在k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量，包括參考衛(wèi)星在慣性空間的位置速度矢量、伴隨衛(wèi)星在慣性空間的位置速度矢量、月球引力場常數(shù)和月球J2項(xiàng)攝動(dòng)系數(shù)14個(gè)量;Zk為k時(shí)刻編隊(duì)衛(wèi)星和參考衛(wèi)星相對位置矢量在慣性空間的測量值;fk－1(Xk－1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù);Hk為測量轉(zhuǎn)移矩陣;假設(shè)動(dòng)力學(xué)方程的噪聲wk為期望值為零，方差為Q的高斯白噪聲序列，測量噪聲vk是期望值為零，在區(qū)間(－1，1)均勻分布的噪聲序列，測量噪聲特性不滿足標(biāo)準(zhǔn)EKF的條件。

1. 2 EKF 濾波算法

由式(1)可得預(yù)測狀態(tài)值和預(yù)測測量值分別為:

計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φk/k－1為:

預(yù)測狀態(tài)的協(xié)方差矩陣和濾波增益矩陣為［11－12］:

估計(jì)狀態(tài)值和協(xié)方差矩陣更新為:

1. 3 AEKF 濾波算法

在傳統(tǒng)的EKF算法中，系統(tǒng)噪聲和測量噪聲為白噪聲，并且方差Q和R都是已知的，但是在實(shí)際情況中噪聲不一定為白噪聲，且統(tǒng)計(jì)特性Q和R未知，不準(zhǔn)確的噪聲統(tǒng)計(jì)特性會(huì)影響狀態(tài)估計(jì)的精度和穩(wěn)定性，甚至引起濾波發(fā)散。針對這一問題，Sage與Husa(1969)提出了對Q或R進(jìn)行修正估計(jì)的方案，同時(shí)張常云等［13］在對 Sage－Husa的 AEKF的后續(xù)研究中證明了該算法不能同時(shí)修正Q與R，并分析了該法導(dǎo)致分散的原因。

本文提出了一種改進(jìn)的AEKF算法，該方法在濾波過程中，利用改進(jìn)的Sage-Husa估計(jì)器估計(jì)未知測量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，通過已知的Q可以準(zhǔn)確地估計(jì)出R，并對濾波發(fā)散情況進(jìn)行判斷和抑制，有效提高了濾波數(shù)值的抗干擾性，減小了狀態(tài)估計(jì)誤差。

由(1)式與(3)式可得:

根據(jù)文獻(xiàn)［14］，對(9)式兩邊同時(shí)取協(xié)方差可以得到預(yù)測誤差向量的協(xié)方差矩陣:

Ck的計(jì)算通常采用移動(dòng)開窗估計(jì)法，則Ck的估計(jì)值可以為:

式中:N為窗口函數(shù)大小，從式(12)中可以看出，若N值過大，Ck不能反映觀測噪聲的瞬態(tài)特性，若N值選取過小，Ck易受當(dāng)前預(yù)測殘差向量的影響，導(dǎo)致估計(jì)值的平穩(wěn)性較差。

1. 4 濾波發(fā)散的抑制

由于傳統(tǒng)的EKF常常會(huì)出現(xiàn)發(fā)散的情況，本文提出一種基于協(xié)方差匹配判據(jù)的方法對濾波發(fā)散趨勢進(jìn)行判斷，由

式中:tr(^Rk)表示矩陣 ^Rk求跡

若該式不成立，修正Pk(－)可得:

當(dāng)滿足式(13)的條件時(shí)，就采用前面所述Sage-Husa算法;而當(dāng)不滿足式(13)的條件時(shí)，就采用衰減因子計(jì)算公式［15－16］，得到一自適應(yīng)加權(quán)系數(shù) Ωk，再用它對Pk(－)進(jìn)行修正，其中，Ωk由下式確定

式中:ρ＞0為衰減系數(shù)，能進(jìn)一步提高濾波器快速跟蹤能力，通常取值在11左右，其值越小，則k時(shí)刻以前的信息所占的比例就越小，當(dāng)前殘差向量的影響就越突出，該方法有很強(qiáng)的關(guān)于突變狀態(tài)的跟蹤能力，并且在濾波達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，仍保持對于緩變以及突變狀態(tài)的跟蹤能力。

當(dāng)采用自適應(yīng)濾波算法時(shí)，由于算法實(shí)時(shí)對測量數(shù)據(jù)的方差R進(jìn)行估計(jì)，并且將方差R應(yīng)用到EKF增益式(6)的計(jì)算中。這樣當(dāng)測量數(shù)據(jù)誤差較大時(shí)，EKF增益的值就會(huì)降低，測量數(shù)據(jù)在狀態(tài)估計(jì)中的權(quán)重降低，導(dǎo)致狀態(tài)估計(jì)精度降低速度減慢，提高算法的收斂性。

1. 5 AEKF濾波算法實(shí)現(xiàn)

針對式(1)描述的自主月球引力場確定問題，AEKF具體步驟如下(如圖1):

1)狀態(tài)初始條件為

2)預(yù)測更新，對于給定的 Qk－1，Pk－1，根據(jù)式(2－4)，求狀態(tài)預(yù)測，測量預(yù)測和預(yù)測協(xié)方差。

3)由式(11－12)估計(jì)測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性。

4)判斷是否符合式(13)的條件，如不符合按照式(14－15)修正Pk(－)，符合就不需要修正Pk(－)直接進(jìn)入下一步。

5)測量更新，根據(jù)式(6－8)得到量測更新和狀態(tài)估計(jì)值。

2 仿真校驗(yàn)

為了校驗(yàn)本文AEKF的效果，在測量噪聲統(tǒng)計(jì)特性未知的情況下，分別采用標(biāo)準(zhǔn)的EKF算法和AEKF算法進(jìn)行仿真，并且與蒙特卡洛仿真(Monte Carlo Algorithm，MCL)的結(jié)果進(jìn)行比較。

2. 1 坐標(biāo)系的選取

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，建立本文所采用的坐標(biāo)系:以O(shè)E－XEYEZE表示J2000地球慣性坐標(biāo)系，原點(diǎn)為地心，基本面為地球平赤道面，XE軸指向歷元J2000春分點(diǎn)，ZE軸指向地球北極，根據(jù)右手螺旋定律由XE軸和ZE軸確定YE軸方向，然后以月心為原點(diǎn)，將J2000地球慣性坐標(biāo)系平移至月心，得到月心J2000慣性坐標(biāo)系OL－XYZ;以O(shè)S-X'Y'Z'表示軌道坐標(biāo)系，以參考衛(wèi)星的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，X'軸由月心指向參考衛(wèi)星的質(zhì)心，Z'軸指向參考衛(wèi)星軌道面法向方向，Y'軸由右手法則，垂直于X'軸和Z'軸所組成的平面。本文用 XR，YR，ZR和 XF，YF，ZF分別表示參考衛(wèi)星和伴隨衛(wèi)星在OL－XYZ坐標(biāo)系中的三個(gè)方向矢量。

2. 2 仿真場景

本文基于Matlab7.0軟件，在配置為因特爾奔騰的處理器(雙核2.8 GHz)與兩根海力士DDR3內(nèi)存(2 GB)的計(jì)算機(jī)上對近月軌道飛行衛(wèi)星編隊(duì)進(jìn)行仿真，考慮到月球 J2項(xiàng)攝動(dòng)的影響，以月球LP165P模型為參考對象，通過AEKF算法實(shí)現(xiàn)伴隨衛(wèi)星和參考衛(wèi)星在OL－XYZ坐標(biāo)系中精確定軌，同時(shí)估計(jì)月球引力場常數(shù)和J2項(xiàng)攝動(dòng)常數(shù)。本文仿真采用的伴隨衛(wèi)星和參考衛(wèi)星的具體初始軌道根數(shù)如表1，2所示:

表1 參考衛(wèi)星初始軌道根數(shù)Table 1 Initial orbit elements of reference satellite

表2 伴隨衛(wèi)星初始軌道根數(shù)Table 2 Initial orbit elements of follow satellite

根據(jù)文獻(xiàn)［18］，假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程噪聲協(xié)方差矩陣 Qn=diag(1 × 10－6，1 × 10－6，1 × 10－6，1 ×10－10，1 × 10－10，1 × 10－10，1 × 10－6，1 × 10－6，1 ×10－6，1 × 10－10，1 × 10－10，1 × 10－10，1 × 104，1 ×10－36)。將表1中的初始軌道根數(shù)轉(zhuǎn)化成OL－XYZ坐標(biāo)系中的位置速度和LP165P中的月球引力常數(shù)與J2攝動(dòng)常數(shù)，分別由式(1)得到參考衛(wèi)星和伴隨衛(wèi)星在OL－XYZ坐標(biāo)系中的絕對位置和速度，然后根據(jù)式(1)，得到編隊(duì)衛(wèi)星相對位置的測量值。

2. 3 仿真結(jié)果

分別對AEKF(衰減系數(shù)ρ=11窗口函數(shù)N=14)、先驗(yàn)噪聲為 Rn=diag(1/3，1/3，1/3)的不同初始狀態(tài)值的50組傳統(tǒng)EKF和MCL仿真結(jié)果進(jìn)行比較。

AEKF采用的初始狀態(tài)誤差為 ΔX=［9.76×102，7.56 ×102，9.03 × 102，9.82 × 10－1，1.02，8.95×10－1，9.48 × 102，1.05 × 103，1.06 × 103，1.06，8.51 ×10－1，8.92 ×10－1，5.09 ×108，8.71 ×10－7］，初始協(xié)方差矩陣都為 P0=diag(9.53×105，5.71×105，8.15 ×105，9.64 ×10－1，1.04，8.01 ×10－1，8.98×105，1.11 × 106，1.12 × 106，7.24 × 10－1，7.95 ×10－1，9.93 ×10－1，2.59 ×1017，7.59 ×10－13)。50 組傳統(tǒng)EKF參考衛(wèi)星三個(gè)方向的初始位置估計(jì)誤差分布符合期望值是0，方差分別是9.53×105，5.71×105，8.15×105的高斯分布，三個(gè)方向的初始速度估計(jì)誤差分布符合期望值是0，方差分別是9.64×10－1，1.04，8.01 ×10－1的高斯分布;伴隨衛(wèi)星三個(gè)方向的初始位置估計(jì)誤差分布符合期望值是0，方差分別是 8.98 ×105，1.11 ×106，1.12 ×106的高斯分布，三個(gè)方向的初始速度估計(jì)誤差分布符合期望值是 0，方差分別是 7.24 × 10－1，7.95 × 10－1，9.93×10－1的高斯分布;月球引力常數(shù)初始估計(jì)誤差分布符合期望值是0，方差是2.59×1017的高斯分布，J2項(xiàng)攝動(dòng)力常數(shù)初始估計(jì)誤差分布符合期望值是0，方差是 7.59×10－13的高斯分布;50 組 Monte Carlo仿真的初始狀態(tài)誤差估計(jì)分布與傳統(tǒng)EKF初始狀態(tài)估計(jì)誤差分布一樣。

通過對環(huán)月編隊(duì)衛(wèi)星飛行7430 s的相對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理(測量更新間隔為5 s)，表3～5給出了三種方法估計(jì)最終時(shí)刻編隊(duì)衛(wèi)星位置速度，月球引力常數(shù)與J2項(xiàng)攝動(dòng)力常數(shù)估計(jì)的一倍標(biāo)準(zhǔn)差。

表3 位置標(biāo)準(zhǔn)差比較Table 3 The standard deviation comparison of position in three-directions

表4 速度標(biāo)準(zhǔn)差比較Table 4 The standard deviation comparison of velocity in three-directions

表5 月球引力常數(shù)與J2項(xiàng)攝動(dòng)力常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差比較Table 5 The standard deviation comparison of the lunar gravitational constant and the coefficient of the J2 perturbation

由表3～5可以看出:AEKF算法是收斂的，并且能有效地提高編隊(duì)衛(wèi)星軌道確定的精度。在7430 s的時(shí)間內(nèi)，將初始X軸方向的位置誤差的標(biāo)準(zhǔn)差從976 m(1σ)提高到 51.1 m(1σ)，并且使球引力常數(shù)精度和月球J2項(xiàng)攝動(dòng)系數(shù)精度分別達(dá)到了4.43 ×108m3/s2(1σ)和 9.12 ×10－8(1σ);MCL仿真與AEKF算法得到的結(jié)果基本一致，校驗(yàn)了AEKF方法的正確性和有效性;傳統(tǒng)EKF是發(fā)散的，說明與傳統(tǒng)EKF假設(shè)不符合的測量噪聲使得EKF不能有效地收斂，而AEKF算法由于對測量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了實(shí)時(shí)修正，因此有效減少干擾影響，抑制發(fā)散從而提高了參數(shù)估計(jì)精度;EKF與AEKF方法運(yùn)行一次的計(jì)算時(shí)間分別為 206.45 s和211.06 s，AEKF運(yùn)行一次的時(shí)間較長，這是由于AEKF算法利用濾波器殘差對測量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了自動(dòng)修正，增大了計(jì)算量從而增加了計(jì)算時(shí)間;該方法得到的月球引力常數(shù)精度為4.902801056 ×1012±4.43×108m3/s2(1σ)，歸一化的J2項(xiàng)攝動(dòng)常數(shù)為 －9.08 ×10－5±9.12 ×10－8(1σ)，雖然與 Alex S.Konopliv 等［1－3］人的結(jié)果相比得到的引力場模型精度較低，但是由于不需要例如深空探測網(wǎng)(美國GRAIL計(jì)劃)，中繼衛(wèi)星(日本SELENE計(jì)劃)等其他設(shè)施的輔助，能自主確定月球引力場，因此大大降低了任務(wù)實(shí)施的成本。

圖2 均勻分布噪聲下的EKF算法位置估計(jì)誤差Fig.2 The estimation position error using EKF under uniformly distributed random measurement noisy

圖3 高斯分布噪聲下的EKF算法位置估計(jì)誤差Fig.3 The estimation position error using EKF under gaussian distributed random measurement noisy

對傳統(tǒng)EKF進(jìn)一步分析，圖2是在測量噪聲是均勻分布噪聲，同時(shí)改變編隊(duì)衛(wèi)星的初始估計(jì)誤差(50組)情況下，采用EKF算法時(shí)參考衛(wèi)星在OLXYZ坐標(biāo)系下X軸方向的位置估計(jì)誤差的曲線圖;圖3是在測量噪聲是高斯分布噪聲，同時(shí)改變編隊(duì)衛(wèi)星的初始估計(jì)誤差(50組)情況下，采用EKF算法時(shí)參考衛(wèi)星在OL－XYZ坐標(biāo)系下X軸方向的位置估計(jì)誤差的曲線圖。比較圖2與圖3，可以看出，與EKF假設(shè)相同的測量噪聲(高斯白噪聲)，并且噪聲統(tǒng)計(jì)特性準(zhǔn)確知道的情況下，傳統(tǒng)EKF運(yùn)行的很好，結(jié)果可以快速收斂，但當(dāng)測量噪聲與傳統(tǒng)EKF假設(shè)不相同時(shí)(非高斯白噪聲)，傳統(tǒng)EKF濾波精度不高，甚至引起濾波發(fā)散。

圖4是在測量噪聲是均勻分布噪聲，同時(shí)改變編隊(duì)衛(wèi)星的初始估計(jì)誤差(50組)情況下，采用AEKF算法時(shí)參考衛(wèi)星在OL－XYZ坐標(biāo)系下X軸方向的位置估計(jì)誤差的曲線圖。比較圖2與圖4可以看出:噪聲不是高斯白噪聲時(shí)，傳統(tǒng)EKF算法的狀態(tài)估計(jì)誤差比AEKF算法的狀態(tài)估計(jì)誤差大，甚至引起濾波發(fā)散。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)EKF在濾波過程中一般假設(shè)測量噪聲是高斯白噪聲，但實(shí)際中測量噪聲不一定是高斯白噪聲;AEKF算法中測量噪聲的統(tǒng)計(jì)特性會(huì)隨著濾波器殘差的大小自動(dòng)修正，因此估計(jì)的精度和抗干擾性比較好。

3 結(jié)論

針對系統(tǒng)噪聲或者測量噪聲未知情況下月球的引力場確定問題，提出了一種新的基于殘差信息調(diào)整方差的自適應(yīng)EKF算法，該算法基于編隊(duì)衛(wèi)星相對位置測量能自主確定月球的引力場，同時(shí)能對可能出現(xiàn)的濾波算法發(fā)散情況進(jìn)行抑制，減少外界干擾對月球引力場測量的影響。文中給出的仿真實(shí)例校驗(yàn)了該方法的有效性，仿真結(jié)果表明本文提出的AEKF算法濾波效果要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)EKF算法，精度高，抗干擾性強(qiáng)，月球引力常數(shù)和月球J2項(xiàng)攝動(dòng)常數(shù)測量精度分別達(dá)到了4.43×108m3/s2(1σ)和9.12 ×10－8(1σ)。

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