基于k-核解析的地震活動網(wǎng)絡(luò)特征分析

李光光 趙 海 何 璇 蔡 巍 張 婭 裴繁東

（中國沈陽110819東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院）

引言

地震活動以其罕見的破壞性和復(fù)雜的形成機制，成為科研工作者的重點研究對象.地質(zhì)構(gòu)造、介質(zhì)、斷裂帶、時間和環(huán)境等多種因素的影響，使得人們難以準(zhǔn)確地掌握地震形成機制，其根本原因在于地震系統(tǒng)具有復(fù)雜性（Taborda，Bielak，2001；Bottiglieri et al，2010）.由于目前人類無法認識到地球內(nèi)部的確切構(gòu)造，所以僅僅從某一地區(qū)的地質(zhì)構(gòu)造上研究地震的發(fā)生機理收效甚微.近年來，不少研究人員開始從地震活動所形成的拓撲結(jié)構(gòu)上研究地震的發(fā)生規(guī)律，并取得了一定的進展（謝周敏，2011），這為研究地震的發(fā)生規(guī)律提供了一種新的思路和方向.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（周濤等，2005）是認識系統(tǒng)復(fù)雜性的關(guān)鍵，它可以從整體的角度研究復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和功能，探究系統(tǒng)內(nèi)在的聯(lián)系.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)目前已經(jīng)應(yīng)用到了生物、交通和人際關(guān)系等領(lǐng)域，k-核則是分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)特性的有效工具.傳統(tǒng)分析地震形成機制的方法會受到地理范圍等因素的約束，無法將地震活動作為一個整體進行分析，而地震活動又是一種復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為（謝周敏，2011），所以從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度研究地震系統(tǒng)是很有必要的.

從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的角度研究地震的發(fā)生規(guī)律首先是由Abe和Suzuki（2004）提出的，之后一些研究人員在此基礎(chǔ)上進行了深入研究并取得了豐碩的成果（Baiesi，Paczuski，2005；Ferreira et al，2014）.他們構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)的方法都是忽略地震發(fā)生時的地質(zhì)構(gòu)造、斷裂帶、介質(zhì)等具體地質(zhì)特征，僅將地震發(fā)生的時間、地點、震級抽象為節(jié)點，用邊表示節(jié)點之間的聯(lián)系，構(gòu)造這樣一個只有節(jié)點和邊組成的網(wǎng)絡(luò).用這種方法構(gòu)造的地震網(wǎng)絡(luò)可以將整個地區(qū)的地震看作一個整體，著重分析地震之間的相互聯(lián)系，通過對大量的地震數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)隱藏在地震數(shù)據(jù)背后的規(guī)律.

本文首先介紹基于時空影響域構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)的原理和方法，然后介紹k-核的定義及其在地震網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，最后運用美國加州的地震數(shù)據(jù)詳細分析最高核節(jié)點的特性，即最高核節(jié)點彼此聚集在一起，最高核所在的地理位置在接下來的時間里傾向于發(fā)生大地震，而且在一些大地震發(fā)生前，地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)會迅速增加，在大地震發(fā)生時最高核數(shù)達到最大值，之后又恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài).

1 地震網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造方法

地震網(wǎng)絡(luò)主要有基于時間序列和時空影響域兩種構(gòu)造方法.Abe和Suzuki（2004）提出了一種基于時間序列構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)的方法，即根據(jù)經(jīng)緯度和震源深度的不同將所求地理區(qū)域劃分為大小相等的立方體單元，若該立方體單元內(nèi)發(fā)生過地震則將該單元作為地震網(wǎng)絡(luò)中的一個節(jié)點，在時間上相繼發(fā)生地震的兩個節(jié)點之間就產(chǎn)生一條邊.隨后，Baiesi和Paczuski（2005）在此基礎(chǔ)上提出加權(quán)的地震網(wǎng)絡(luò).研究表明地震事件之間在時間和空間上均表現(xiàn)出一定的相關(guān)性（王繩祖，張宗淳，2001；徐道一，2001）.所以He等（2014）提出了一種基于時空影響域的地震網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造方法，即根據(jù)每次地震的震級大小計算每次地震的時空影響域，如果接下來發(fā)生的地震是在它之前發(fā)生地震的時空影響域范圍內(nèi)，則將這兩次地震所在節(jié)點進行連邊.使用本方法構(gòu)造的地震網(wǎng)絡(luò)具有小世界和無標(biāo)度等復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性（He et al，2014）.

本文將地理區(qū)域劃分為大小相等的單元作為地震網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，該單元的大小通常與所求震源區(qū)的大小具有相當(dāng)?shù)牧考墸ㄖx周敏，2011）.因此根據(jù)Abe和Suzuki（2004）的方法本文選取單元面積為5km×5km.為了使定性分析節(jié)點間的關(guān)系更為簡便，我們將兩個節(jié)點間的重復(fù)邊簡化為一條邊.

基于時空影響域構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)的方法為：假設(shè)每一次地震的地震波都在均勻介質(zhì)中傳播的，每次地震發(fā)生后，由于應(yīng)變能的釋放，每次地震后都會在空間和時間上產(chǎn)生有限的影響范圍，并且震級越大其需要釋放的應(yīng)變能就越大，所產(chǎn)生的影響范圍也就越大.時空影響域確定過程如圖1所示.可以看出，每次地震后都會在該次地震周圍形成一個圓形的空間影響區(qū)域S，而對接下來發(fā)生的地震產(chǎn)生影響的最長時間就形成了本次地震的時間影響范圍T.所以，每次地震都會有一個時空影響域U（T，S）與該次地震相對應(yīng).若接下來發(fā)生的地震在本次地震的時空影響域內(nèi)，則視為與本次地震有直接影響，否則視為與本次地震沒有直接聯(lián)系.例如，在tA時刻由于地震A的發(fā)生形成了時空影響域U（TA，SA），而在tB時刻地震B(yǎng)發(fā)生.由于tB＞tA＋TA，即地震B(yǎng)不在地震A的時間影響域TA內(nèi)，所以無論B點是否在A點的空間影響域SA內(nèi)，均認為地震A對地震B(yǎng)無直接影響.另一種情況，在tC時刻C點發(fā)生一次地震，緊接著在tD時刻D點又發(fā)生一次地震，由于地震D無論在時間上還是空間上都處在地震C的影響域內(nèi)，因此視為地震C對地震D有直接影響.

基于時空影響域構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)的重點是如何根據(jù)震級的大小確定每次地震的時空影響域.Gardner和Knopoff（1974）給出了震級與影響半徑及其與影響時間之間的關(guān)系為

圖1 基于時空影響域的地震網(wǎng)絡(luò)三維坐標(biāo)示意圖x軸，y軸和t軸分別表示緯度，經(jīng)度和時間；兩個圓柱體分別表示地震A和C的時空影響域Fig.1 A schematic description of earthquake networks based on space-time influence domain in a three-dimensional coordinate The x-axis，y-axis and t-axis represent latitude，longitude and time，respectively.The two cylinders are space-time influence domain produced by the earthquakes Aand C

式中，M為震級，L為對應(yīng)震級產(chǎn)生的影響半徑，T為對應(yīng)震級的持續(xù)影響時間，a1，a2和b1，b2為常量.由此可知，影響半徑和影響時間隨震級均呈指數(shù)增長的形式.基于時空影響域構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)體現(xiàn)了地震事件之間在時間上與空間上的相關(guān)性.由于不同地質(zhì)結(jié)構(gòu)等其它影響因素，a1，b1，a2，b2的值會因地理區(qū)域不同而有所不同.本文通過對Gardner和Knopoff（1974）給出的美國加州地震震級與影響半徑和影響時間之間的對應(yīng)關(guān)系，進行最小二乘擬合，結(jié)果為lgL＝0.122 9 M＋0.988 5，lgT＝0.457 1 M－0.064 22（0≤M≤6.5），lgT＝0.058 66 M＋2.534（M＞6.5）.

2 k-核在地震網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用

k－核是由Seidman（1983）提出的一種用于簡化網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的方法，從磁學(xué)和卡帶過濾到社會網(wǎng)絡(luò)和蛋白質(zhì)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用.k-核在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的應(yīng)用由Gkantsidis等（2003）以及Gaertler和Patrignani（2004）提出.其相關(guān)定義如下：

定義1 k-核（core）：一個網(wǎng)絡(luò)圖的k-核是指反復(fù)去掉度數(shù)小于和等于k的節(jié)點后所剩余的子圖（?uczak，1991）.

定義2 核數(shù)（coreness）：節(jié)點的核數(shù)表示包含該節(jié)點的最深的核，即節(jié)點存在于k－核中，但是在（k＋1）-核中被移除，則節(jié)點的核數(shù)為k.節(jié)點核數(shù)的最大值kmax為網(wǎng)絡(luò)的最大核數(shù)，也稱為最高核數(shù)（?uczak，1991）.

圖2給出了求解節(jié)點核數(shù)的過程.圖中使用了不同類型的封閉曲線來表示不同的核.由于所有節(jié)點的度數(shù)d＞0，則整個圖組成了0－核；反復(fù)刪除度數(shù)d≤1的綠色節(jié)點，剩余的子圖形成了1－核，所以綠色節(jié)點的核數(shù)為0；然后再刪除度數(shù)d≤2的黃色節(jié)點，剩余的子圖形成了2－核，所以黃色節(jié)點的核數(shù)為1；最后剩下的度數(shù)d＝3的紅色節(jié)點的核數(shù)為2.

節(jié)點的核數(shù)并不是由節(jié)點的度數(shù)唯一確定的，在圖2中可以看出，節(jié)點A的度數(shù)為4，但A點的核數(shù)卻是0；節(jié)點B的度數(shù)為3，但B點的核數(shù)卻是2.所以一個節(jié)點的核數(shù)不僅與該節(jié)點的度數(shù)有關(guān)，也與該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的位置有關(guān).在地震網(wǎng)絡(luò)中，k-核的一個重要特點即為關(guān)于節(jié)點的連通性.一個節(jié)點的核數(shù)越大，則通過這個節(jié)點到達別的節(jié)點的路徑越多，也就是說這個節(jié)點影響的節(jié)點越多.

美國加州的地震數(shù)據(jù)信息量巨大，并且地處非常具有代表性的環(huán)太平洋地震帶，因此許多地震學(xué)研究人員都以加州為例來研究地震系統(tǒng)（Abe，Suzuki，2004）.本文采用美國加州地震數(shù)據(jù)中心提供的數(shù)據(jù)（South California Earthquake Data Center，2014），其中緯度范圍為30.0°—39.0°N，經(jīng)度范圍為124.0°—111.0°W，震源深度為0—80km，最大震級為M7.3，震級下限為M0.0.為了展現(xiàn)地震網(wǎng)絡(luò)節(jié)點核數(shù)的分布特征，圖3給出了我們選取加州1992年地震數(shù)據(jù)按照節(jié)點的時空影響域構(gòu)造的地震網(wǎng)絡(luò)，圖中不同核數(shù)的節(jié)點用不同的顏色表示.其中紅色表示核數(shù)大的節(jié)點，藍色表示核數(shù)小的節(jié)點，其它顏色表示中間核數(shù)的節(jié)點.可以看出：核數(shù)小的節(jié)點在地理位置上比較分散，核數(shù)大的節(jié)點在地理位置上傾向于聚集在一起；核數(shù)小的節(jié)點相互之間的聯(lián)系比較稀疏，核數(shù)大的節(jié)點之間擁有大量的邊.這說明核數(shù)大的節(jié)點所在位置的地震活動頻繁且對別的地震有很大的影響，核數(shù)小的節(jié)點所在位置的地震發(fā)生較少且對別的地震的影響不大.

圖2 k-核解析圖Fig.2 Sketch of the k-core decomposition for a small graph

圖3 美國加州1992年地震網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點核數(shù)分布圖Fig.3 Distribution of the coreness of earthquake network nodes in California in 1992 Red dots stand for the highest layer nodes，blue dots for lowest layer nodes，and the dots in other colors for the layer nodes between the highest and lowest ones

3 最高核的變化與大地震的關(guān)系

3.1 最高核的影響力

由上節(jié)定義2可知，由核數(shù)為kmax的所有節(jié)點及其相應(yīng)的邊組成的子圖稱為最高核（Dorogovtsev et al，2006），其在整個網(wǎng)絡(luò)中具有舉足輕重的作用.因此研究最高核的節(jié)點數(shù)和邊數(shù)等特性，有助于加深對整個地震網(wǎng)絡(luò)的了解.網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點獲得的連接總數(shù)稱為節(jié)點的度，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的度的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)的平均度.表1給出了美國加州不同時期地震網(wǎng)絡(luò)的最高核的不同情況.可以看出，雖然最高核的節(jié)點數(shù)相對于全網(wǎng)所有節(jié)點數(shù)來說較小，但最高核的平均度卻比全網(wǎng)的平均度還高，說明最高核節(jié)點的鄰居節(jié)點特別多，即受最高核節(jié)點直接影響的節(jié)點特別多.這些最高核節(jié)點的鄰居節(jié)點自身的影響力，也就是這些節(jié)點的核數(shù)分布情況，如表2所示.可以看出，最高核節(jié)點的鄰居節(jié)點的核數(shù)普遍比全網(wǎng)節(jié)點的平均核數(shù)還要高，說明最高核通過鄰居節(jié)點的很多路徑到達其它節(jié)點.

由表1和2可以看出，最高核的節(jié)點不僅可以直接影響很多節(jié)點，而且受最高核直接影響的節(jié)點本身也可以影響很多其它節(jié)點，充分說明了最高核的節(jié)點可以直接或者間接影響特別多的節(jié)點.也就是說，最高核的節(jié)點對整個地震網(wǎng)絡(luò)具有很強的影響力.一次大地震后會引發(fā)很多次余震，大地震處于整個地震網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的中心，所以有必要探究大地震的發(fā)生與最高核的節(jié)點之間是否存在著某種聯(lián)系.

表1 加州不同時期的最高核Table 1 The highest layer in different periods in California

表2 美國加州不同時期最高核節(jié)點的鄰居節(jié)點的平均核數(shù)Table 2 The average coreness of the highest layer’s neighboring nodes at different periods in California

3.2 最高核節(jié)點的空間分布特征

最高核節(jié)點位于一個地震網(wǎng)絡(luò)的中心，可以通過地震網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)影響到每一個節(jié)點，通過研究美國加州不同時期的地震數(shù)據(jù)可知，最高核節(jié)點在空間上彼此聚集在一起.本文選取美國加州2012年地震信息構(gòu)造地震網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)節(jié)點的經(jīng)緯度顯示節(jié)點的地理位置，結(jié)果如圖4所示.可以看出，最高核的節(jié)點都位于布勞利這一地區(qū).由于最高核所在位置的地震活動頻繁，那么最高核所在的位置是否會發(fā)生震級較大的地震呢？我們分別統(tǒng)計了美國加州1992年6月28日M7.3Landers大地震和2010年4月4日M7.2Guadalupe Victoria大地震發(fā)生的位置與最高核所在位置的關(guān)系，結(jié)果如圖5所示.

圖5 美國加州1992年Landers大地震（a）和2010年Guadalupe Victoria大地震（b）的位置與地震網(wǎng)絡(luò)中最高核位置的關(guān)系圖Fig.5 Relationship of the positions of the 1992Landers earthquake（a）and 2010Guadalupe Victoria earthquake（b）with the position of the highest layer of earthquake network in California.The red dots represent the nodes in the highest layer，the black open circle is the node where appears the strong earthquake，the blue open circles represent the nodes of the other earthquake

圖5 a給出了美國加州1992年6月28日Landers大地震發(fā)生前6個月的所有節(jié)點分布，圖5b給出了加州2010年4月4日Guadalupe Victoria大地震發(fā)生前3個月的所有節(jié)點分布.由圖5a可以看出：最高核所在的經(jīng)緯度基本上都集中在34.024°N、116.318°W，發(fā)生Landers大地震的經(jīng)緯度為34.200°N、116.437°W；同樣，圖5b中最高核所在的經(jīng)緯度基本上都集中在32.448°N、115.200°W，而發(fā)生Guadalupe Victoria大地震的經(jīng)緯度為32.286°N、115.295°W.由此可以看出，大地震傾向于發(fā)生在最高核所在的位置.圖6給出了統(tǒng)計美國加州1992年Landers大地震發(fā)生前6個月每個月地震網(wǎng)絡(luò)最高核所在位置與大地震所在位置的距離關(guān)系.可以看出，在大地震發(fā)生前，隨著時間的推移最高核所在的位置越來越接近大地震所發(fā)生的位置.這為我們預(yù)測大地震發(fā)生的位置提供了新的參考途徑.

3.3 最高核數(shù)在時間上的演化

地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)在一定程度上反映了該地區(qū)地震活動的強烈程度，如果某段時間內(nèi)該地區(qū)的地震活動頻繁，則地震網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點和邊數(shù)將增加，最高核數(shù)也將相應(yīng)增加.所以統(tǒng)計地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)可以展現(xiàn)地震活動的強烈程度.圖7給出了1992年美國加州Landers大地震和2010年Guadalupe Victoria大地震發(fā)生前后的最高核數(shù)變化以及加州2011—2013年每個月的最高核數(shù)變化.

圖6 美國加州1992年Landers大地震位置與每個月地震網(wǎng)絡(luò)中最高核位置間距離的變化圖Fig.6 The distance between the position of 1992Landers earthquake and the position of highest layer of every month in California

由圖7b可以看出，在沒有大地震發(fā)生的2011—2013這3年里（最大震級為M5.44），每個月的核數(shù)變化不大，每個月最高核數(shù)都在6—10的小范圍內(nèi)波動.所以當(dāng)每個月的最大核數(shù)增加時，說明該地區(qū)地震活動頻繁，可能預(yù)示著將有較大震級的地震發(fā)生.由圖7a可以看出，在1992年的1，2，3月份和2010年的1，2月份，每個月的最高核數(shù)都在6—9之間小范圍波動，這與2011—2013這3年里每個月的最高核數(shù)保持一致.但在1992年的4，5月份，最高核數(shù)達到了20和17；在2010年3月份，最高核數(shù)竟達到了11.這說明這段時間地震活動比較頻繁，與大地震來臨前的征兆具有一定的相似性.隨后在1992年的6月份和2010年4月份分別發(fā)生了Landers地震和Guadalupe Victoria地震，并且這兩個月的最高核數(shù)均達到了最大值，緊接著每個月的最高核數(shù)緩慢減小，最終恢復(fù)到?jīng)]有大地震發(fā)生時的穩(wěn)定值.所以研究大地震發(fā)生前最高核數(shù)的變化，有助于及時掌握地震發(fā)生的一些活動規(guī)律，為研究地震的發(fā)生規(guī)律提供參考和依據(jù).

通過對比美國加州1992年與2010年這兩次大地震發(fā)生前最高核數(shù)的變化可以看出，在1992年Landers大地震發(fā)生前兩個月，地震網(wǎng)絡(luò)中最高核數(shù)明顯上升，而在2010年Guadalupe Victoria大地震發(fā)生前一個月地震網(wǎng)絡(luò)中最高核數(shù)才發(fā)生少許上升.通過分析這兩次大地震發(fā)生前的地震信息我們可以看出，在Landers地震發(fā)生前兩個月發(fā)生了M6.1的Joshua Tree地震，它是Landers地震的一次前震，并且該地震引起了超過6 000次的余震（Hauksson et al，1993）.因此，造成Landers大地震發(fā)生前最高核數(shù)發(fā)生明顯上升的原因可能與大地震的前震有關(guān)，這些地震會導(dǎo)致整個地震網(wǎng)絡(luò)發(fā)生層次性變化，這也是造成Landers地震發(fā)生前地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)突然增加的主要原因.

4 討論與結(jié)論

本文通過實驗發(fā)現(xiàn)美國加州1992年Landers和2010年Guadalupe Victoria這兩次大地震發(fā)生前地震網(wǎng)絡(luò)中最高核數(shù)都會有所增加，但并不是所有的大地震都能引起地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)發(fā)生變化.例如美國加州2009年12月30發(fā)生M5.8地震，但地震網(wǎng)絡(luò)中的最高核數(shù)并沒有明顯增加.這可能是由于此次地震并沒有引起地震網(wǎng)絡(luò)的層次性變化，而地震網(wǎng)絡(luò)的層次性變化是最高核數(shù)發(fā)生變化的主要原因.所以我們推測地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)的變化不僅與大地震有關(guān)，還可能與大地震所處的斷裂帶等因素有關(guān)，我們將在另文中對此進行詳細的探究.

本文根據(jù)地震事件之間存在時間和空間上的相關(guān)性，提出了一種基于時空影響域的地震網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造方法.通過運用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方法研究地震數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律，然后運用k-核的方法對美國加州的地震數(shù)據(jù)進行分析，發(fā)現(xiàn)最高核具有以下規(guī)律：

1）通過對美國加州地震數(shù)據(jù)組成的地震網(wǎng)絡(luò)進行k-核解析，發(fā)現(xiàn)最高核節(jié)點在地理位置上聚集在一起.這說明每個地區(qū)的地震都有一個集中在某個地理位置上的地震頻發(fā)區(qū)，其周圍的地震都與該地震頻發(fā)區(qū)存在直接或間接的聯(lián)系.

2）通過分析大地震與最高核之間的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)大地震傾向于發(fā)生在最高核節(jié)點所在的位置，這為我們預(yù)測大地震的發(fā)生地點提供了一種新的思路.

3）通過對美國加州1992年Landers大地震發(fā)生前后的最高核數(shù)進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)有一部分大地震發(fā)生前地震網(wǎng)絡(luò)的最高核數(shù)會顯著增加.

本文通過對美國加州地震數(shù)據(jù)的研究提示了大地震在時間和空間上與最高核數(shù)之間的關(guān)系，這為大地震的短期預(yù)報提供了一種新方法.

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