一種用于壓縮感知理論的投影矩陣優(yōu)化算法

吳光文 張愛軍 王昌明

1 引言

文獻(xiàn)[1～3]在 2006年提出了壓縮感知理論（Compressed Sensing, CS）。該理論指出，對于稀疏信號，可以通過少量的觀測數(shù)據(jù)恢復(fù)原信號，且觀測數(shù)據(jù)的量遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的香農(nóng)-奈奎斯特采樣定理規(guī)定的最小數(shù)據(jù)量，該理論使得高分辨率信號的采樣能夠突破當(dāng)前硬件速度限制，實(shí)現(xiàn)高速采樣和數(shù)據(jù)壓縮。

自然界中的多數(shù)信號具有一定的規(guī)律性，這種規(guī)律性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)形式上就是：用一組特定的基底表示信號時(shí)，變換系數(shù)是稀疏的（絕大多數(shù)的系數(shù)為零或者絕對值非常小）。稀疏性是CS的理論基礎(chǔ)，利用信號稀疏性，構(gòu)造 CS系統(tǒng)包括兩個(gè)步驟：設(shè)計(jì)感知機(jī)構(gòu)（編碼機(jī)構(gòu)）和選取合適的重構(gòu)方法（解碼機(jī)構(gòu)）[4]。精確信號重構(gòu)（解碼）所需要的數(shù)據(jù)量依賴于感知矩陣與稀疏字典之間的相關(guān)性和信號自身的稀疏度[5]，而投影矩陣的性能是決定編碼質(zhì)量的關(guān)鍵。作為 CS理論研究的一個(gè)重要方向，現(xiàn)有的文獻(xiàn)對投影矩陣的約束條件進(jìn)行了研究，這些約束條件主要包括約束等距性質(zhì)，零空間性質(zhì)和相關(guān)系數(shù)[611]-。然而，判斷投影矩陣是否具備約束等距性質(zhì)和零空間性質(zhì)是組合復(fù)雜度問題，實(shí)際用于投影矩陣性能分析非常困難[12]。

文獻(xiàn)[13,14]引入了相關(guān)系數(shù)的概念，在CS理論中，相關(guān)系數(shù)的含義是指投影矩陣與稀疏字典之間列向量內(nèi)積的最大值，其物理意義是兩者最差相似性[6]。文獻(xiàn)[6～10]的研究表明，通過減少投影矩陣與稀疏字典的相關(guān)系數(shù)可以提高 CS的重構(gòu)性能，即相關(guān)系數(shù)越小，精確重構(gòu)信號所需的觀測值數(shù)目越少，信號適應(yīng)的稀疏度范圍越大。

文獻(xiàn)[6]提出了一種閾值平均系數(shù)方法表示投影矩陣與稀疏字典的相關(guān)性，并通過線性收縮 Gram矩陣中絕對值大于限定閾值的非對角元的方法迭代減小相關(guān)系數(shù)，取得了較好的實(shí)驗(yàn)效果。但是，該方法的計(jì)算過程只有收縮系數(shù)非常接近1時(shí)才近似凸函數(shù)[6]。而當(dāng)線性收縮系數(shù)近似為1時(shí)，收縮速度非常慢。另外，該算法在使用處理過的Gram矩陣計(jì)算降階投影矩陣時(shí)會(huì)產(chǎn)生干擾，產(chǎn)生絕對值較大的相關(guān)系數(shù)[4]，本文4.1節(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法產(chǎn)生的相關(guān)系數(shù)比較大，甚至比優(yōu)化前更大。文獻(xiàn)[7]用等角緊框架 （Equiangular Tight Frame, ETF）Welch界作為投影矩陣和稀疏字典相關(guān)系數(shù)的極限最小值，將ETF作為優(yōu)化目標(biāo)建立一個(gè)變形的凸集合，使用梯度下降法逼近最優(yōu)凸集合中的矩陣，計(jì)算投影矩陣。相對于文獻(xiàn)[6]算法，此算法更穩(wěn)定，但是在算法中步長因子β要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定，β的選擇對算法影響比較大[4]。

本文對投影矩陣與稀疏字典的相關(guān)性進(jìn)行研究，優(yōu)化產(chǎn)生具有最小相關(guān)性的投影矩陣，提高信號重構(gòu)的精度并降低編碼機(jī)構(gòu)對信號稀疏度的要求。設(shè)計(jì)連續(xù)可導(dǎo)的閾值函數(shù)，對Gram矩陣的非對角元進(jìn)行收縮處理。使用基于沃爾夫條件的梯度下降法迭代逼近最優(yōu)投影矩陣，提高算法的穩(wěn)定度。

2 壓縮感知的基本理論

CS理論定義[4]：假設(shè)信號 x ∈Rn在一組字典Ψ =（Ψ1,Ψ2, …,Ψn）上具有s（ s ＜ ＜n）稀疏度，通過其在投影矩陣 Φ = （ φ1, φ2, …,φn） 上的 m （ m ≥s） 個(gè)線性觀測值y （ i）= x, φi,i ∈ { 1,2,… ,m }能夠獲得精確重構(gòu)的過程，即

式中，Φ為投影矩陣，Ψ為稀疏字典，y為觀測值。

由于信號是稀疏的且信號恢復(fù)為病態(tài)求逆過程，信號重建可以理解為尋找最小0l范數(shù)解的過程。初始信號的稀疏表示向量0α滿足：

選定投影矩陣Φ，信號的重構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為求解式（3），使用重構(gòu)算法（如BP, OMP）能夠計(jì)算出重構(gòu)信號的稀疏表示α，進(jìn)而重構(gòu)原始信號x[6]：

由式（2），投影矩陣和稀疏字典的相關(guān)性為信號準(zhǔn)確重建提供保證，相關(guān)系數(shù)越小，精確重構(gòu)信號所需的觀測值數(shù)目越少，或者說適應(yīng)信號的稀疏度范圍越大。投影矩陣和稀疏字典的相關(guān)系數(shù)定義為[6]

其中D是感知矩陣，理論上說，相關(guān)系數(shù){}μ D越小，感知（編碼）原始信號后蘊(yùn)含的信息量越多，但是相關(guān)系數(shù)有一個(gè)下界，即Welch界，如式（5）所示。

3 投影矩陣的優(yōu)化算法

3.1 感知矩陣相關(guān)系數(shù)

式中，th[0,1）∈為閾值，式（6）的含義為絕對值大于等于閾值th的G矩陣的非對角元的絕對平均值，能較好地評價(jià)投影矩陣的總體相關(guān)性。

3.2 Gram矩陣的閾值函數(shù)

應(yīng)用閾值函數(shù)處理投影矩陣與稀疏字典生成的Gram 矩陣非對角元，可以使其逼近最優(yōu)目標(biāo)。因此，閾值函數(shù)對投影矩陣的優(yōu)化過程起到關(guān)鍵作用，文獻(xiàn)[6]中所用的線性優(yōu)化方法，只有當(dāng)線性收縮系數(shù)γ非常接近1時(shí)，才能保證優(yōu)化過程是收斂的。本文提出一種閾值函數(shù)，此函數(shù)在單極性區(qū)間為凸函數(shù)，在（-1,1）區(qū)間連續(xù)且可導(dǎo)，能夠在保證收斂速度的情況下盡量保留原始數(shù)據(jù)特征。

式（7）中有兩個(gè)參數(shù)，th和m, th選恒定值且須th≥ μwelch, μwelch為Welch界。另外式（7）滿足

式（8）表明，式（7）不僅在閾值±th處連續(xù)，而且可導(dǎo)。m為大于1的可變參數(shù)，當(dāng)m由小變大時(shí)，函數(shù)的壓縮程度變大，不同m值對應(yīng)的函數(shù)如圖 1所示。圖1中，th = 0 .2，當(dāng)m值越大，原始數(shù)據(jù)的特征改變越大，整體迭代算法的速度越快；m值越小，原始數(shù)據(jù)的特征改變越少，整體迭代算法的速度越慢，穩(wěn)定性越好。

圖2顯示了不同m取值時(shí)迭代收縮1000步對應(yīng)的閾值平均相關(guān)系數(shù)的曲線，稀疏字典為200×400的隨機(jī)矩陣，原始的投影矩陣為30×200的高斯分布的隨機(jī)矩陣 Φ ，閾值選擇 t h =0.2 ≥ μwelch=0.1758。m取值分別為1.4, 2.0, 8.0。從圖2中發(fā)現(xiàn)，3個(gè)m取值對應(yīng)的曲線都收斂，且隨著m值變大收斂速度變快。大量實(shí)驗(yàn)表明，m在區(qū)間[1,+∞）中取其它值時(shí)，函數(shù)曲線變換趨勢和圖2類似。

3.3 更新投影矩陣

優(yōu)化投影矩陣需要在每個(gè)迭代步驟中從收縮非對角元的Gram矩陣中解算出對應(yīng)的投影矩陣Φ。文獻(xiàn)[6]先用Cholesky分解Gram矩陣，再用Moore-Penrose逆求投影矩陣，此方法會(huì)引入干擾誤差，產(chǎn)生較大的相關(guān)系數(shù)。文獻(xiàn)[7]提出梯度逼近法求解投影矩陣Φ，運(yùn)算的精度高，算法更加穩(wěn)定。但是文獻(xiàn)[7]的方法受迭代步長的影響，本文引入基于沃爾夫條件的梯度下降法，用快速逼近每次迭代過程產(chǎn)生的Gram矩陣的方法計(jì)算投影矩陣Φ。

式中，kG 為第k步迭代收縮后的Gram矩陣，用梯度下降法由kΦ計(jì)算1k+Φ。定義函數(shù)，

圖1 Gram矩陣的閾值函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，

為了區(qū)別于梯度下降法中迭代過程的標(biāo)識，將式（11）簡寫作 ? J = 4 Φ Ψ （ ΨTΦTΦ Ψ -）ΨT，梯度下降法的迭代步驟為

其中迭代運(yùn)算的初始值 Φ（0）=Φk，當(dāng)式（9）迭代運(yùn)算達(dá)到精度要求時(shí)，令=Φ（i+1）, i為梯度下降法迭代的步數(shù)。計(jì)算式（12）的一個(gè)關(guān)鍵步驟是求解步長αi，文獻(xiàn)[7]已經(jīng)證實(shí)J（Φk） 并非簡單的二次函數(shù)。因此，一些簡單的確定迭代步長的方法在這里不適用。引入文獻(xiàn)[16]提出的基于沃爾夫條件的梯度下降法來解決這個(gè)問題。梯度下降法求極值的迭代過程的實(shí)質(zhì)就是保證式（13）成立，

保證式（13）成立的一個(gè)實(shí)用的規(guī)則是沃爾夫條件：

式 （14）中 ， 0 ＜ σ ＜ δ ＜ 1 為 給 定 的 常 數(shù) ，（d（i））T? J（Φ（i）） 為函數(shù)J（ Φ） 在d（i）方向上的方向?qū)?shù)。式（14）的第1個(gè)不等式叫做Armijo規(guī)則，該規(guī)則的數(shù)學(xué)含義是：步長αi越大，函數(shù)J（ Φ）的值改變越大。式（14）的第2個(gè)條件的含義是：J（ Φ）在點(diǎn)上的方向?qū)?shù)的值必須大于等于δ倍的初始值 Φ（i）的導(dǎo)數(shù)值。

圖2 閾值平均相關(guān)系數(shù)

在實(shí)用中σ取值應(yīng)非常小，但δ要取大值[16]，本文取值 σ =10-4, δ=0.9，使用回溯算法確定符合沃爾夫條件的迭代步長αi，算法如圖3所示。

根據(jù)圖3所示算法求得迭代步長αi，將步長代入式（12）即可用梯度下降法求得滿足最小誤差的Φ（i+1），此即優(yōu)化后的投影矩陣Φ 。投影矩陣優(yōu)化

k+1算法分為兩大步，第1步更新Gram矩陣，第2步更新投影矩陣。將這兩步細(xì)化后的具體的步驟如圖4所示。迭代次數(shù)Iter可以是確定的數(shù)值，還有另一種方法控制迭代結(jié)束，就是判斷連續(xù)兩次相關(guān)系數(shù)之間的差值，如果差值小于設(shè)定的值，結(jié)束迭代過程。

圖3 回溯算法求步長流程圖

3.4 算法分析

收斂性分析 沃爾夫條件是對梯度下降法中線性搜索方向和步長的限制條件，在式（14）第 1個(gè)不等式中，α 為步長，（d（i））T? J （Φ（i）） 為方向?qū)?shù)，這

圖4 投影矩陣優(yōu)化流程

i個(gè)不等式保證函數(shù)J的下降幅度與步長αi和方向?qū)?shù) （d（i））T? J （Φ（i）） 這兩個(gè)量是比例關(guān)系，即保證每次迭代下降足夠大的量，此式又稱作阿米賀條件（Armijo condition）。式（14）中的第 2 個(gè)不等式是曲率條件，保證目標(biāo)函數(shù)在步長αi處的斜率是（d（i））T? J （Φ（i）） 的 δ倍。只要滿足沃爾夫條件，算法的收斂性就會(huì)滿足，即沃爾夫條件是梯度下降算法有效性的充分條件，文獻(xiàn)[17]給出了滿足沃爾夫條件的步長αi的存在性證明。

算法時(shí)間復(fù)雜度 本文用計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的次數(shù)表示算法的時(shí)間復(fù)雜度。假設(shè)投影矩陣Φ為N×M矩陣，Ψ為M×M矩陣，則Gram矩陣計(jì)算中 ， 浮 點(diǎn) 運(yùn) 算 的 次 數(shù) 為 M2（2N - 1 ）+ 2M N（2M- 1 ）；更新Gram矩陣的運(yùn)算中，使用式（7）對非對角元素壓縮，在選定閾值函數(shù)后，,（m - 1 ）th是常數(shù)，每個(gè)非對角元的壓縮需要執(zhí)行兩次乘法運(yùn)算，一次開方運(yùn)算和一次減法運(yùn)算，此處Gram矩陣為M×M矩陣，但對角元素不參與運(yùn)算，所以浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的最大次數(shù)是 4 （M2- M ），此時(shí)對應(yīng)所有非對角元全大于閾值th的情況；更新投影矩陣的迭代運(yùn)算中，假設(shè)梯度下降法的迭代步數(shù)為K，浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算的次數(shù)為 1 2K M2N - 3 KMN。算法時(shí)間復(fù)雜度可以表示為： I （12K M2N - 3 K MN + 3M2+ 6 M2N - 4 M - 2 M N）, I = I ter 是算法的總體迭代次數(shù)。

算法性能邊界 使用本文提出的Gram矩陣非對角元收縮算法對投影矩陣進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，投影矩陣不會(huì)產(chǎn)生大量的零值元素，重構(gòu)算法的適用種類比較多。相關(guān)實(shí)驗(yàn)表明，該算法可以配合常用的重構(gòu)算法對信號壓縮感知處理，如 BP算法，匹配追蹤（Match Pursuit, MP）算法，OMP算法，壓縮采樣匹配追蹤（Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaMP）算法，正則化正交匹配追蹤（Regularized Orthogonal Matching Puisuit, ROMP）算法等，均可以重構(gòu)優(yōu)化投影矩陣觀測的原始信號。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，選擇高斯分布的隨機(jī)矩陣作為原始投影矩陣，分別使用文獻(xiàn)[6]方法、文獻(xiàn)[7]方法和本文方法優(yōu)化原始投影矩陣，然后用這3種優(yōu)化的投影矩陣和原始的投影矩陣分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先考察各種投影矩陣的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而用各種投影矩陣壓縮感知稀疏向量、1維和2維信號，考察不同投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)信號誤差情況。

4.1 優(yōu)化相關(guān)系數(shù)實(shí)驗(yàn)

選擇初始投影矩陣Φ為30×200的高斯分布隨機(jī)矩陣，Ψ為200×400的稀疏字典。文獻(xiàn)[6]優(yōu)化方法選擇：閾值th = 0 .2，收縮因子 γ : γ1=0.55,γ2= 0 .75,γ3= 0 .95，迭代1000次；文獻(xiàn)[7]方法選擇：th = 0 .2，迭代次數(shù)100，每次迭代過程中求最佳觀測矩陣的迭代次數(shù) 50，迭代步長 β : β1=0.01,β2= 0 .02；本文方法選擇：th = 0 .2, σ = 0 .0001,δ= 0 .9，收縮系數(shù) m = 2 ，迭代次數(shù)為Iter = 1 00，求最佳觀測矩陣的迭代次數(shù)為50。實(shí)驗(yàn)結(jié)果為各種算法迭代結(jié)束后相關(guān)系數(shù)μmax和大于設(shè)定閾值的相關(guān)系數(shù)平均值μav，如表1所示。

表1中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，各種算法優(yōu)化原始投影矩陣后，大于設(shè)定閾值的相關(guān)系數(shù)平均值μav都有不同程度的下降，說明這3種優(yōu)化算法都能夠?qū)崿F(xiàn)降低平均相關(guān)性的目的。其中經(jīng)文獻(xiàn)[6]方法優(yōu)化投影矩陣后，μmax相對其它兩種優(yōu)化方法偏大，在γ1=0.55時(shí)甚至比原始投影矩陣的μmax更大。即用文獻(xiàn)[6]方法優(yōu)化投影矩陣后，代表相關(guān)性的參數(shù)μmax在某些情況下變大了，而非變小。本文在γ取值在 0.50～0.99之間，以不同的步長改變γ的值，做了大量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)0.50 ≤ γ ≤0.70時(shí)，μmax比優(yōu)化前的值大；當(dāng)0.75≤ γ ≤ 0 .95時(shí)，μmax比優(yōu)化前的值小，且隨著γ變大而μmax逐漸變大；產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因主要是在處理的Gram矩陣計(jì)算降階投影矩陣時(shí)產(chǎn)生了干擾，因而產(chǎn)生了絕對值較大的相關(guān)系數(shù)。如果將文獻(xiàn)[6]方法優(yōu)化的投影矩陣用在信號處理中，信號處理的總體效果變好，因?yàn)棣蘟v變小了；但是有少數(shù)的局部成分會(huì)比優(yōu)化前更差，因?yàn)棣蘭ax比較大。文獻(xiàn)[7]方法優(yōu)化投影矩陣后，μmax和μav都有較大的下降，體現(xiàn)了較好的性能，如果將文獻(xiàn)[7]方法優(yōu)化的投影矩陣用在信號處理中，處理的總體效果和局部效果都比原始投影矩陣好。但是，當(dāng)?shù)介Lβ取不同值時(shí)，對μmax和μav的影響較大，實(shí)際應(yīng)用中，使用者需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際信號的特征選擇最佳迭代步長，且計(jì)算過程中容易陷入局部最優(yōu)的情況而找不到全局最優(yōu)值。和其他方法比較，本文提出的優(yōu)化算法在迭代步數(shù)相同、運(yùn)算量不增加的情況下，maxμ和avμ的值最小，優(yōu)化的效果最好。

4.2 隨機(jī)稀疏向量實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證投影矩陣優(yōu)化算法在整個(gè)壓縮感知過程中的有效性，使用確定稀疏度的稀疏向量作為原始信號。先使用感知矩陣對原始信號編碼產(chǎn)生觀測信號，再使用BP算法和OMP算法對觀測信號進(jìn)行重構(gòu)，根據(jù)重構(gòu)的誤差驗(yàn)證編碼的效果，進(jìn)而檢驗(yàn)投影矩陣的性能。實(shí)驗(yàn)選取100000個(gè)長度是120，稀疏度是 4的向量（非零值隨機(jī)分布），稀疏字典為80120×的單位隨機(jī)矩陣，觀測值n取區(qū)間[16,40]內(nèi)的偶數(shù)，原始投影矩陣為 n×80的高斯分布隨機(jī)矩陣，另外原始投影矩陣分別經(jīng)過文中提到的3種方法優(yōu)化，共4種投影矩陣用于實(shí)驗(yàn)，選擇迭代次數(shù)為1000次?？v坐標(biāo)為重構(gòu)誤差的對數(shù)表示，實(shí)驗(yàn)所用的一部分代碼來自SparseLab工具箱[18]。結(jié)果如圖5所示。

圖5中的曲線變化趨勢表明，隨觀測值增加，4種投影矩陣對應(yīng)信號重構(gòu)誤差逐漸減小。比較圖5（a）4種投影矩陣對應(yīng)的曲線，3種優(yōu)化后的投影矩陣對應(yīng)的效果均優(yōu)于原始投影矩陣，說明這3種優(yōu)化方法對投影矩陣的性能具有改善作用。而本文方法的效果比其它算法效果更好。圖 5（b）中的曲線變化趨勢同圖 5（a），說明了本文方法相對于其它算法的優(yōu)勢不受重構(gòu)算法的影響。

表1 不同投影矩陣對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)

圖5 4種投影矩陣對應(yīng)重構(gòu)誤差隨觀測值n變化曲線

4.3 信號仿真實(shí)驗(yàn)

使用不同投影矩陣對1維和2維信號分別進(jìn)行壓縮感知實(shí)驗(yàn)，對觀測值使用 OMP算法重構(gòu)，比較各種算法的優(yōu)化效果。1維信號選擇 blocks,Doppler信號，均使用小波變換稀疏原始信號。其中 blocks信號用 haar小波，Doppler信號用Symmlet8小波。比較重構(gòu)信號，本文方法優(yōu)化的投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)信號最逼近原始信號。其中，重構(gòu)的Doppler信號如圖6所示，因blocks信號的重構(gòu)效果圖可以得出同樣的結(jié)論，這里省略。

用信噪比和均方根誤差兩項(xiàng)指標(biāo)對不同算法進(jìn)行比較，如表 2，表 3所示。從表中看出，相對于其它投影矩陣，使用本文的方法對投影矩陣優(yōu)化后，重構(gòu)信號的信噪比最高，均方根誤差最小。

選擇大小為256×256的Lenna灰度圖像，首先使用離散 Symmlet8小波對原始圖像進(jìn)行稀疏化處理，再使用不同投影矩陣進(jìn)行壓縮感知處理，最后進(jìn)行圖像重建，不同的投影矩陣處理的結(jié)果如圖7和表4所示。2維信號處理的結(jié)果同樣表明本文算法相對于其它優(yōu)化算法有較大的優(yōu)越性。

表2 不同投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)blocks信號指標(biāo)

表3 不同投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)doppler信號指標(biāo)

表4 不同投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)Lenna圖像指標(biāo)

5 結(jié)束語

本文對壓縮感知投影矩陣的優(yōu)化問題進(jìn)行了研究，提出了連續(xù)可導(dǎo)的收縮閾值函數(shù)，保證了收縮Gram 矩陣非對角元的迭代過程的收斂性。用梯度下降法逼近投影矩陣的方法提高了優(yōu)化過程中投影矩陣算法的精度和穩(wěn)定性，克服了用Moore-Penrose逆來求解投影矩陣產(chǎn)生的干擾誤差問題。使用基于沃爾夫條件的梯度下降法，解決了迭代步長對算法性能影響較大的問題。通過對隨機(jī)稀疏向量使用各種投影矩陣的壓縮感知實(shí)驗(yàn)，考查使用BP和OMP算法重構(gòu)信號時(shí)產(chǎn)生的誤差，證明了本文所提算法在提高信號重構(gòu)性能的優(yōu)越性。通過對基本的小波測試信號和圖像進(jìn)行壓縮感知處理，使用 OMP算法對感知后的信號進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文的算法在壓縮感知處理實(shí)際信號時(shí)，優(yōu)于實(shí)驗(yàn)中的其它算法。本文的研究工作還有許多有待改進(jìn)的地方，例如如何優(yōu)化收縮閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以構(gòu)造相關(guān)性更小的投影矩陣；研究如何實(shí)現(xiàn)投影矩陣優(yōu)化和感知信號重構(gòu)的協(xié)同問題。

圖6 不同投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)Doppler信號

圖7 不同投影矩陣對應(yīng)的重構(gòu)Lenna圖像

[1] Donoho D L, Elad M, and Temlyakov V N. Stable recovery of sparse overcomplete representations in the presence of noise[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006,52（1）: 6-18.

[2] Candes E J, Romberg J K, and Tao T. Stable signal recovery from incomplete and inaccurate measurements[J].Communications on Pure and Applied Mathematics, 2006,59（8）: 1207-1223

[3] Candes E J and Tao T. Near-optimal signal recovery from random projections: universal encoding strategies[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52（12）:5406-5425.

[4] 鄭紅, 李振. 壓縮感知理論投影矩陣優(yōu)化方法綜述[J]. 數(shù)據(jù)采集與處理, 2014, 52（1）: 43-53.Zheng Hong and Li Zhen. Survey on optimization methods for projection matrix in compress sensing theory[J]. Journal of Data Acquisition and Processing, 2014, 52（1）: 43-53.

[5] 戴瓊海, 付長軍, 季向陽. 壓縮感知研究[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào),2011, 34（3）: 425-434.Dai Qiong-hai, Fu Chang-jun, and Ji Xiang-yang. Research on compressed sensing[J]. Chinese Journal of Computers,2011, 34（3）: 425-434.

[6] Elad M. Optimized projections for compressed sensing[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55（12）:5695-5703.

[7] Abolghasemi V, Ferdowsi S, and Sanei S. A gradient-based alternating minimization approach for optimization of the measurement matrix in compressive sensing[J]. Signal Processing, 2012, 92（3）: 999-1009.

[8] 李佳, 王強(qiáng), 沈毅, 等. 壓縮感知中測量矩陣與重建算法的協(xié)同構(gòu)造[J]. 電子學(xué)報(bào), 2013, 41（1）: 29-34.Li Jia, Wang Qiang, Shen Yi, et al.. Collaborative construction of measurement matrix and reconstruction algorithm in compressive sensing[J]. Acta Electronica Sinica,2013, 41（1）: 29-34.

[9] Zhang Qi-heng, Fu Yu-li, Li Hai-feng, et al.. Optimized projection matrix for compressed sensing[J]. Circuit System Signal Processing, 2014, 33（5）: 1627-1636.

[10] Xu Jian-ping, Pi Yi-ming, and Cao Zong-jie. Optimized projection matrix for compressive sensing[J]. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2010,doi:10.1155/2010/560349.

[11] 林波, 張?jiān)鲚x, 朱炬波. 基于壓縮感知的 DOA估計(jì)稀疏化模型與性能分析[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2014, 36（3）: 589-594.Lin Bo, Zhang Zeng-hui, and Zhu Ju-bo. Sparsity model and performance analysis of DOA estimation with compressive sensing[J]. Journal of Electronics & Information Technology,2014, 36（3）: 589-594.

[12] Donoho D L. For most large underdetermined systems of linear equations the minimal l1-norm solution is also the sparsest solution[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2006, 59（6）: 797-829.

[13] Donoho D L and Stark P B. Uncertainty principles and signal recovery[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1989,49（3）: 906-931.

[14] Donoho D L and Elad M. Optimally sparse representation in general （nonorthogonal） dictionaries via minimization[J].Proceedings of the National Academy of Science, 2003, 100（5）:2197-2202.

[15] Petersen K B and Pedersen M S. The matrix cookbook[OL].http://www.matrixcookbook.com, 2013.10.

[16] Barth T J, Griebel M, Keyes D E, et al.. Scientific computing with MATLAB and octave[OL]. http://www.springer.com/series/5151, 2013.12.

[17] Jorge N and Wright S J. Numerical Optimization Theoretical and Practical Aspects[M]. 2nd Edition, New York: Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K, 2006: 30-60.

[18] Stodden V and Donoho D. SparseLab21-core[OL]. http://sparselab.stanford.edu, 2013.10.