托卡馬克等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流的影響

余江妹 余 俊 龔學(xué)余 謝寶藝 張 能

1（南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 衡陽 421001）

2（南華大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院 衡陽 421001）

托卡馬克等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流的影響

余江妹1余 俊1龔學(xué)余2謝寶藝1張 能1

1（南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院 衡陽 421001）

2（南華大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院 衡陽 421001）

采用理想磁流體力學(xué)模型，利用絕熱近似方法，推導(dǎo)出托卡馬克等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系中帶狀流的色散方程，分析了極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流產(chǎn)生的影響。結(jié)果表明，等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系下，測地聲模頻率和聲波頻率都會(huì)隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而增大。帶狀流的頻率與采用等溫近似時(shí)有一定的數(shù)值差別；測地聲模的密度擾動(dòng)量形式也發(fā)生變化，由靜態(tài)體系中純駐波的形式，變?yōu)橛梢粋€(gè)駐波和一個(gè)小振幅行波疊加的形式。

托卡馬克，帶狀流，頻率，等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)

在托卡馬克等離子體中，帶狀流是一種環(huán)形和極向都對(duì)稱的靜電勢漲落結(jié)構(gòu)[1–2]。帶狀流有兩個(gè)分支：低頻帶狀流和測地聲模。低頻帶狀流的頻率接近0，因此又稱零頻帶狀流。測地聲模是帶狀流的高頻分支，其頻率ω～cs/R，其中cs為聲速。廣泛的理論與實(shí)驗(yàn)研究表明，帶狀流是由漂移波湍流的非線性作用激發(fā)而產(chǎn)生，可以從湍流中獲得能量，并通過流剪切來抑制湍流所導(dǎo)致的反常輸運(yùn)[3–5]。因此帶狀流的研究對(duì)托卡馬克聚變裝置的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行有著重要意義。

在帶狀流抑制湍流的過程中，經(jīng)常會(huì)伴隨著等離子體的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以說，轉(zhuǎn)動(dòng)在托卡馬克等離子體中是一種普遍存在的本質(zhì)現(xiàn)象。對(duì)于等離子體環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)，王少杰等[6]理論研究了等離子體環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流的模特征的影響，結(jié)果表明，測地聲模的頻率和低頻帶狀流的頻率都隨著環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而增大，且密度擾動(dòng)量的形式也與靜態(tài)等離子體中有所不同，由靜態(tài)等離子體中的駐波變?yōu)檗D(zhuǎn)動(dòng)體系中行波的形式。對(duì)于等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)，其產(chǎn)生原因主要是強(qiáng)徑向電場、stringer自旋加快效應(yīng)以及外部動(dòng)量注入等[2,7]，目前國內(nèi)外的研究熱點(diǎn)主要集中在等離子體轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)各種等離子體模的影響上[7–10]。周登[7]采用等溫近似，理論研究了托卡馬克等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系中，帶狀流的頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況。Pamela等[10]研究了等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系下的邊界局域模，得出了等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)邊界局域模穩(wěn)定性的影響。

本文采用理想磁流體力學(xué)模型，利用絕熱近似方法，推導(dǎo)出帶狀流在極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系下的色散方程。通過對(duì)色散方程的求解，得出低頻帶狀流和測地聲模頻率的解析式，以及帶狀流頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況，并分析得出托卡馬克等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流的影響。

1 理論模型

采用理想磁流體模型，基本方程組為：

式中，ρ、P和u分別是等離子體質(zhì)量密度、壓力和速度；Φ、B和j分別是電勢、磁場強(qiáng)度和電流密度；γ是絕熱系數(shù)。

在磁流體力學(xué)中，托卡馬克等離子體速度的一般形式為[7]：

式中，K(ψ)和Φ'都是磁面ψ的函數(shù)。將平衡速度分成極向速度和環(huán)向速度，即，其中?θ和 ?φ分別為極向方向單位矢量和環(huán)向方向單位矢量。則環(huán)向速度uT=ρ–1KBT+RΦ'，極向速度up=ρ–1KBp，這說明當(dāng)?shù)入x子體極向速度存在時(shí)，環(huán)向速度必然也存在，即單純的等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)是不存在的，環(huán)向轉(zhuǎn)動(dòng)必然會(huì)伴隨著極向轉(zhuǎn)動(dòng)而存在。本文采用文獻(xiàn)[7]所提出的轉(zhuǎn)動(dòng)體系，即在環(huán)向速度中的ρ–1KBT項(xiàng)被另外一項(xiàng)RΦ'幾乎抵消掉的情況下，考慮極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流所產(chǎn)生的效應(yīng)。

假設(shè)ρ0、p0、u0、Φ0、j0為平衡量，當(dāng)體系處于靜態(tài)時(shí)，式(2)可寫作：

將式(2)分別乘以磁場B0和▽?duì)?，可以得到?/p>

將密度ρ0寫作的形式，由式(7)和(8)可得：

式中，Mp=BTup/Bpcs為極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)，cs為聲速；，q為安全因子。

引入等離子體質(zhì)量密度擾動(dòng)量ρ1、壓力擾動(dòng)量p1、溫度擾動(dòng)量T1、速度擾動(dòng)量v、靜電勢擾動(dòng)量Φ1、電流密度擾動(dòng)量j1，假設(shè)壓力擾動(dòng)量，等離子體比壓β～ε2。

其中，式(16)為動(dòng)量方程式(12)平行磁場方向的分量方程，式(17)由動(dòng)量方程作磁面平均而得到。

式(15)–(18)可簡化為：

2 結(jié)果分析

對(duì)式(15)進(jìn)行求解，可以得出色散方程：

方程的解為：

式(28)，10ω=，為低頻帶狀流。式(29)是由低頻帶狀流衍生出的模，其頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而增加，且與極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)成簡單的正比關(guān)系。式(30)中的兩個(gè)解，分別表示極向轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的測地聲模(+)和聲波(–)。

圖1為絕熱系數(shù)γ=5/3時(shí)，不同的安全因子下，測地聲模的歸一化頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況。由圖1，測地聲模的頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而逐漸增大。圖2為絕熱系數(shù)γ=5/3時(shí)，聲波的歸一化頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況，與測地聲模相類似，聲波的頻率也隨著極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而逐漸增大。

由圖1和圖2可看出，在等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系中，測地聲模的頻率和聲波的頻率與靜態(tài)等離子體中有所不同，都會(huì)隨著極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而增大。本文采用絕熱近似方法，所得結(jié)果與文獻(xiàn)[7]采用等溫近似所得結(jié)論相類似，說明不論采用絕熱近似，還是等溫近似，在極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系中測地聲模和聲波的頻率都會(huì)隨著極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而增大。

圖1 GAM頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化Fig.1 Frequencies of GAM plotted with respect to the poloidal Mach number.

圖2 SW頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化Fig.2 Frequencies of the sound wave plotted with respect to the poloidal Mach number.

但采用不同的近似方法，帶狀流的頻率會(huì)有不同的數(shù)值結(jié)果。圖3為安全因子q=5時(shí)，絕熱系數(shù)γ=1和γ=5/3的情況下，測地聲模歸一化頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況。圖4為安全因子為5時(shí)，絕熱系數(shù)取不同數(shù)值情況下，聲波的歸一化頻率隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況。由圖3和圖4可以看出，當(dāng)絕熱系數(shù)取不同數(shù)值時(shí)，即采用不同的近似方法時(shí)，測地聲模頻率和聲波的頻率都會(huì)有一定的數(shù)值差別。

圖3 GAM頻率變化比對(duì)Fig.3 Frequency comparison of GAM.

圖4 SW頻率變化比對(duì)Fig.4 Frequency comparison of the sound wave.

測地聲模密度擾動(dòng)量形式也發(fā)生一定的變化，與靜態(tài)等離子體中有所不同。將測地聲模密度擾動(dòng)量寫作cos部分和sin部分，這兩部分之間的比值與呈一定的關(guān)系：

圖5表示測地聲模密度擾動(dòng)量cos部分與sin部分的比值，隨著極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)的變化情況。當(dāng)時(shí)，即體系處于靜態(tài)時(shí)，式(31)的值為0，這表明測地聲模的密度擾動(dòng)量為純駐波的形式。在等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系中，由圖5可看出，式(31)為一個(gè)極小的值，這與在靜態(tài)等離子體體系中值為0有所不同，表明測地聲模的密度擾動(dòng)量為一個(gè)駐波和一個(gè)小振幅行波相疊加的形式。

圖5 GAM密度擾動(dòng)量cos部分和sin部分的比值Fig.5 Ratio between the cos and sin components of density perturbation for GAM.

3 結(jié)語

本文采用磁流體力學(xué)模型，絕熱近似方法，理論研究了托卡馬克等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)帶狀流的影響。結(jié)果表明在等離子體極向轉(zhuǎn)動(dòng)體系下，測地聲模頻率和聲波頻率都隨極向轉(zhuǎn)動(dòng)馬赫數(shù)而增大。采用絕熱近似方法時(shí)，壓力擾動(dòng)量的形式與采用等溫近似時(shí)的并不完全相同，因此得到的帶狀流頻率會(huì)有數(shù)值上的差別。此外，測地聲模的密度擾動(dòng)量形式也與靜態(tài)等離子體時(shí)有所不同，在靜態(tài)等離子體中，測地聲模的密度擾動(dòng)量為駐波的形式，而在極向轉(zhuǎn)動(dòng)等離子體體系中，測地聲模的密度擾動(dòng)量是一個(gè)駐波和一個(gè)小振幅行波相疊加的形式。

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CLC TL61+2.4

Effects of poloidal rotation on zonal flows in tokamak plasmas

YU Jiangmei1YU Jun1GONG Xueyu2XIE Baoyi1ZHANG Neng1
1(School of Mathematics and Physics, University of South China, Hengyang 421001, China)
2(School of Nuclear Science and Technology, University of South China, Hengyang 421001, China)

Background: Zonal flows are the electrostatic modes with structures of toroidal symmetry and poloidal symmetry, which play an important role in restraining turbulences. In the process of turbulence suppression, the poloidal rotation widely exists in tokamak plasmas. Purpose: In this study, the effects of the poloidal rotation on zonal flows in tokamak plasmas are concluded. Methods: With the dispersion relation derived by using ideal MHD model with the adiabatic approximation, the frequencies of zonal flows are deduced. Results: Firstly, the frequency of the geodesic acoustic mode (GAM) increases with respect to the poloidal Mach number when adiabatic coefficient is 5/3. Secondly, the frequency of the sound wave (SW) increases with respect to the poloidal Mach number when adiabatic coefficient is 5/3. Third ly, the frequency of GAM with γ=1 i s dif ferent from th at when γ=5/3. Th e fourth, the frequency of SW with γ=1 is different from that when γ=5/3. The last, the ratio between the cos and sin components of density perturbation for GAM is a very small value in the poloidally rotating plasma. Conclusion: It is shown that the frequencies of the zonal flows with the adiabatic approximation, increase with respect to the poloidal Mach number, but differ in numerical value of the frequencies of the zonal flows with the isothermal approximation. In contrast to the pure standing wave form in static plasmas, the density perturbations consist of a standing wave superimposed with a small amplitude traveling wave in the poloidally rotating plasma.

Tokamak, Zonal flows, Frequency, The poloidal rotation of plasmas

TL61+2.4

10.11889/j.0253-3219.2015.hjs.38.100602

No.11105071、No.11375085、No.11475083、No.41104094、No.11405082)、南華大學(xué)核聚變與等離子體物理創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(No.NHXTD03)資助

余江妹，女，1989年出生，2012年畢業(yè)于洛陽師范學(xué)院，現(xiàn)為南華大學(xué)碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)楹司圩兣c等離子體物理

2015-06-19，

2015-08-23