應用型本科線性代數(shù)教學模式的探索——基于MATLAB在解方程組中應用實踐的分析

孫健，王翠芳..天津中德職業(yè)技術(shù)學院，天津300350

應用型本科線性代數(shù)教學模式的探索——基于MATLAB在解方程組中應用實踐的分析

孫健1，王翠芳2
1.2.天津中德職業(yè)技術(shù)學院，天津300350

MATLAB以其理論簡單、方便實用、易于編程等特點受到廣大師生的推崇，將MATLAB軟件引入到方程組求解的教學中，一方面，可以幫助學生加深對知識的理解；另一方面，改變了傳統(tǒng)的教學方式，更多的讓學生參與實際教學，從而調(diào)動了學生學習的積極性和學習的興趣，達到學有所用，學以致用的目的。因此，將MATLAB引入到線性代數(shù)的教學中已經(jīng)成為應用型本高校線性代數(shù)教學課程改革的趨勢。

應用型本科；MATLAB；線性代數(shù)；方程組的解

一、前言

2014年教育部頒布了關(guān)于地方本科高校轉(zhuǎn)型發(fā)展的指導意見（征求意見稿），標志著中國部分本科高校向應用型本科院校轉(zhuǎn)型的開始，隨著示范點的不斷增多，作為工程學的核心數(shù)學課程——線性代數(shù)也面臨著教學的調(diào)整和改革，改革的方式一般是加入更多的教學輔助工具，思路通常是將數(shù)學實驗引入線性代數(shù)課程的教學過程中，再結(jié)合一些數(shù)學軟件的使用讓學生在學習理論知識的同時，掌握一門能夠解決實際問題的工具，進而體現(xiàn)出應用型本科院校本科生以“應用為驅(qū)動，學生為主導”的特點。

在眾多的數(shù)學教學軟件中MATLAB以其理論簡單、方便實用、易于編程等特點受到廣大師生的推崇，特別是近些年來隨著全國大學生數(shù)學建模的飛速發(fā)展，更是將學習熱情推向了高潮，因此將MATLAB引入到線性代數(shù)的教學中已經(jīng)成為應用型本科高校線性代數(shù)教學課程改革的一種趨勢。將MATLAB軟件應用到線性代數(shù)課程的教學中既能加深學生對理論知識的理解，又能突出該學科與數(shù)學建模、微分方程、數(shù)值優(yōu)化等課程的聯(lián)系，提高學生的參與度，激發(fā)學習的熱情，達到“學有所用，學以致用”的教學理念。

二、MATLAB軟件的相關(guān)命令

常用的MATALB軟件命令表

三、MATLAB軟件在方程組求解中的應用

1.MATLAB在齊次方程組求解的應用

例1：求解線性方程組

解：在MATLAB命令窗口輸入程序：

A=[1-1 0 2-2；1 0 1 2 0；1 1-1 1-1；1 2 0 0 -2]；

r=rank（A），%求系數(shù)矩陣的秩

y=null（A，′r′）%求齊次方程組的基礎(chǔ)解系

output：r=4，y=（6-2 0-3 1）T

結(jié)果分析：（1）系數(shù)矩陣的秩rank（A）=4＜5（未知數(shù)的個數(shù)），說明該齊次方程組有非零解，并且基礎(chǔ)解系中有一個列向量；（2）通過null（A，′r′）命令得到了該齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系。

2.MATLAB在解非齊次方程組的應用

（1）非齊次線性方程組解的存在性定理：

若系數(shù)矩陣的秩（rank（A））增廣矩陣的秩（rank（B）），則該方程組無解。

例2：求解線性方程組

解：在MATLAB命令窗口運行以下命令：

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；2 1-4 2]；%系數(shù)矩陣

b=[1；2；-1；0]；%常數(shù)列向量

B=[A b]；%增廣矩陣

rank（A），rank（B）%系數(shù)矩陣的秩、增廣矩陣的秩

x0=A/b%求該方程組的一個特解

output：rank（A)=3，rank（B）=4，

Warning：Matrix is sin gular to working precision

x0=（NaN Inf Inf Inf）T。

結(jié)果分析：rank（A）≠rank（B），故該非齊次線性方程組無解。

（2）非齊次線性方程組解的存在性定理：

若系數(shù)矩陣的秩 （rank（A））=增廣矩陣的秩（rank（B））=未知數(shù)個數(shù)，則該方程組有唯一解。

例3：求解線性方程組

解：借助MATLAB軟件求解，具體程序如下：

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；B=[A b]；rank（A），rank（B）

output：rank（A）=4，rank（B）=4

結(jié)果分析：由于rank（A）=rank（B）=4（未知數(shù)個數(shù)），因此說明該方程組有唯一解，下面分別利用兩種方法對該方程組進行求解。

方法1：應用Cramer法則結(jié)合det命令求解，具體程序：

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；

x1=det（[b A（:，2）A（:，3）A（:，4）]）/det（A），x2=det（[A（:，1）b A（:，3）A（:，4）]）/det（A）

x3=det（[A（:，1）A（:，2）b A（:，4）]）/det（A），x4=det（[A（:，1）A（:，2）A（:，3）b]）/det（A）

output：x1=2x2=8x3=3x4=2

方法2：應用求逆矩陣命令inv（A）求解（X=inv（A）·b）。A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；X=inv（A）·b

方法3：運用左除運算符“”求解.

A=[2-1-1 4；1 1-2-1；1-1 1 1；1 1-2-2]；b=[1；2；-1；0]；X=A

（3）非齊次線性方程組解的存在性定理：

若系數(shù)矩陣的秩 （rank（A））=增廣矩陣的秩（rank（B））＜未知數(shù)個數(shù)，則該方程組有無窮多解。

例4：求解線性方程組

解：輸入MATLAB命令：

A=[2-1-1 1；1 2-1-1；5 5-4-2；0 5-1-3]；b=[1；1；4；1]；B=[A b]；rank（A），rank（B）

output：rank（A）=2，rank（B）=2

從運行結(jié)果分析可知，rank（A）=rank（B）=2＜4（未知數(shù)個數(shù)），說明該線性方程組有無窮多解，下面介紹兩種方法求解該線性方程組。

方法1：調(diào)用rref命令將增廣矩陣化為行最簡形求解，程序如下：

方法2：根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，先運用左除運算符“”求出原方程組的一個特解，再調(diào)用null（A′，r′）命令求解對應的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，最終得到原方程組的通解，具體命令：

四、結(jié)束語

通過將MATLAB軟件引入到方程組求解的教學中，一方面，可以幫助學生加深對知識的理解；另一方面，改變了傳統(tǒng)的教學方式，更多的讓學生參與實際教學，從而調(diào)動了學生學習的積極性和學習的興趣。讓學生在學習理論知識的同時了解MATLAB軟件，并能運用MATLAB解決方程組求解的問題，進而達到學有所用，學以致用的目的，體現(xiàn)應用型本科“應用為驅(qū)動，學生為主導”的特點。

[1]吳贛昌.線性代數(shù)（理工類第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2011.

[2]陳懷琛，龔杰明.線性代數(shù)實踐及MATALB（理工類第四版）[M].北京：中國人民大學出版社，2015.

[3]陳永勝，劉洋萍.基于MATLAB求解非齊次線性方程組[J].赤峰學院學報（自然科學版），2009，（10）：1-2.

[4]歐陽異能，楊婷.MATLAB在線性代數(shù)課程中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2014，（10）：113-114.

責任編輯：張旭周曉華

Linear Algebra Teaching Mode in Application-Oriented University——Based on the Practical Analysis of MATLAB in the Solution of Equations

SUN Jian1,WANG Cui-fang2
（1,2 Tianjin Sino-German Vocational Technical College,Tianjin 300350）

MATLAB is highly praised by the majority of teachers and students for its simple, convenient and practical theory and easy to program.If the software MATLAB is introduced into the teaching of equation solving,on the one hand,it can help students deepen their understanding of knowledge;on the other hand,it can change the traditional way of teaching,make more students participate in the actual teaching,arise the students'enthusiasm and interest in learning,gear their study to practice and apply their knowledge in practice.Therefore,the introduction of MATLAB to linear algebra teaching has become a trend in the curriculum reform of applied linear algebra in universities.

application-oriented university;MATLAB;linear algebra;solution of equations

O151.2-4

A

2095－5537（2015）06－00071－03

2015-10-21

天津中德職業(yè)技術(shù)學院2015校級教學改革與建設(shè)項目“線性代數(shù)精品課程建設(shè)的研究與實踐”（ZDJY2015-20）；天津中德職業(yè)技術(shù)學院2015校級設(shè)項目“應用型本科院校線性代數(shù)課程建設(shè)探索”（zdkt2015-019）。

1.孫健（1983—），男，漢族，天津市人，天津中德職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)課部講師，碩士。研究方向：偏微分方程，數(shù)學教學。2.王翠芳（1981—），女，漢族，天津市人，天津中德職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)課部副教授，碩士。研究方向：數(shù)學建模，數(shù)學教學。