線面平行的證明問題中的“V字形”和“T字形”

雷雄軍

摘 要：立體幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，在廣東高考題中，一般占14分.立體幾何的證明通常涉及平行和垂直問題，平行問題中線面平行是常見的出題方向.在線面平行的證明中，學(xué)生對于要通過作輔助線構(gòu)造線線平行問題很多時(shí)候都不能順利證出.通過平常教學(xué)工作的積累，發(fā)現(xiàn)了線面平行證明的兩種類型，并且得出相應(yīng)的解決方案.以高考題及其模擬題為例子詳細(xì)闡述了線面平行問題中的“V字形”和“T字形”并給出了對應(yīng)的解法.多年的教學(xué)實(shí)踐證明，“V字形”和“T字形”的使用使學(xué)生對線面平行證明思路更加清晰

簡單.

關(guān)鍵詞：線面平行；“V字形”；“T字形”

在立體幾何這塊的復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生對于平行證明一般都掌握得比較好，因?yàn)椴还苁蔷€面平行還是面面平行問題，考查的難度都不大。特別是線面平行，學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練得比較多，但是平時(shí)的大量練習(xí)很多時(shí)候也造成了學(xué)生的混亂，在需要通過輔助線來構(gòu)造線線平行的時(shí)候，學(xué)生就不知道到底該怎么添加輔助線.因此，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)老師一講就會，自己做又不知道從什么地方下手的狀況.筆者在平常的教學(xué)過程中針對學(xué)生的這種現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了線面平行問題中的“V字形”和“T字形”，這兩種類型給學(xué)生如何添加輔助線構(gòu)造線線平行提供了方向.

一、“V字形”線面平行的證明

什么是“V字形”呢？我們先來看下面的例子.

例題1.1 （2013年惠州二模第18題）如下圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1=AB=2.

（1）求證：AB1∥平面BC1D；

（2）若BC=3，求三棱錐D-BC1C的體積.

本題第一問考查的就是線面平行的判定.要證平面AB1∥平面BC1D，所以一定要在面BC1D找線和AB1平行.又給出了AC的中點(diǎn)，AB1和AC相交成一個(gè)“V”字，因此我把此種類型稱為“V字形”.“V字形”就是題目中要證的線與題目中給出中點(diǎn)的線相交成“V”字.對于這種題目，一般可以引導(dǎo)學(xué)生對“V”字封口構(gòu)造三角形，然后將連線的中點(diǎn)與已知的中點(diǎn)相連就出現(xiàn)了三角形的中位線.如上面的例子中，取連線CB1的中點(diǎn)O與AC的中點(diǎn)D連接.那么利用三角形的中位線的性質(zhì)就在面BC1D內(nèi)找到了線OD∥AB1，證明過程如下：

（1）證明：連接B1C，設(shè)B1C與BC1相交于點(diǎn)O，連接OD.

∵四邊形BCC1B1是平行四邊形，

∴點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn).

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴OD為△AB1C的中位線，∴OD∥AB1.

∵OD？奐平面BC1D，AB1？埭平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D.

“V字形”雖然一般的情況下要做兩條輔助線，一條是封住“V”的口，一條是兩個(gè)中點(diǎn)相連.這兩條輔助線比較容易找，所以此種題型的平行證明難度不是很大，很多地方的考題比較喜歡設(shè)計(jì)這種類型的問題放在第一問.如：

例題1.2 （新課標(biāo)2013卷文科18題）如下圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn).

（1）證明：BC1∥平面A1CD1；（2）略.

在第一問中，BC1與中點(diǎn)邊線AB構(gòu)成了“V”字，只要連接AC1與A1C相交于點(diǎn)O，連接OD，則OD∥BC1，這個(gè)命題就得證.

再比如，下面這道2013年廣州一模試卷18題也是明顯的“V字形”.

例題1.3 （2013年廣州一模18題）如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AC=2AD，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).

（1）求證：PA∥平面BMD；

（2）求證：AD⊥PB；

（3）若AB=PD=2，求點(diǎn)A到平面BMD的距離.

第一問的解答只需要連接AC，然后再把AC的中點(diǎn)與M相連即可.

二、“T字形”線面平行的證明

前面我們提到，“V字形”雖然在一般的情況下要做兩條輔助

線，但是這兩條輔助線還是比較容易找到.因?yàn)橹灰饪谌≈悬c(diǎn)就可以得到兩條輔助線.在下面的這個(gè)例子中也給出了線的中點(diǎn)，但是要證的線和有中點(diǎn)的線不是相交成“V字形”，而是“T字形”.

例題2.1 （2013年江門調(diào)研17題）如下圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長是1的正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).

（1）求證：MN∥平面PAD；

（2）記MN=x，V（x）表示四棱錐P-ABCD的體積，求V（x）的表達(dá)式（不必討論x的取值范圍）.

第一問要證明的線MN與給的中點(diǎn)的線PC相交成“T”字.

我們把這種類型稱為“T字形”.一般學(xué)生對這種問題感覺比較棘手.

對于這種問題一般可以采取兩種解法快速解決，一種是構(gòu)造平行四邊形，利用對邊平行找到要證的線與面內(nèi)的線平行.另一種可以通過構(gòu)造面面平行，然后利用“兩個(gè)平面平行，則一個(gè)面內(nèi)的任意一條線和另外一個(gè)平面平行”加以解決.大部分時(shí)候兩種方法都可以找到線線平行，但是有時(shí)候也只有一種方法能夠找線線平行，所以平常兩種做法一起使用.

如，上面這道題我們可以取PD得中點(diǎn)E，連接AE，NE，則由NE和AM平行且相等可以得出四邊形AMNE為平行四邊形，所以得出MN∥AE，進(jìn)而得到MN∥平面PAD.具體過程如下：

在這個(gè)方法中，學(xué)生可能對如何找到平行四邊形比較費(fèi)勁，通常可以提示學(xué)生先用尺子把MN往面內(nèi)移就可以得到平行四邊形.

第一問線面平行的問題，我們可以采用第一種方法取BC，F(xiàn)B的中點(diǎn)G，H.連接GN，GH，MH通過證明四邊形MNGH為平行四邊形得證.也可以通過取AB的中點(diǎn)O，連接OM，ON構(gòu)造平面OMN∥平面FBC得證.

再如下面這道山東高考題：

例題2.3 （2012年山東高考題文科卷19題）如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABC為正三角形，CB=CD，EC⊥BD.

（Ⅰ）求證：BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.

第二問的證明也為我們的“T字形”，但是這道題構(gòu)造平行四邊形不是那么簡單，而通過取AB的中點(diǎn)N.

構(gòu)造平面MND∥平面BCE比較簡單（如下圖所示）.

所謂條條大路通羅馬，不管走那條路，作為老師，應(yīng)該把如何上路的方法揭示出來，而不是把學(xué)生直接送到那條路上.線面平行證明中巧妙的添加輔助線會給解題帶來很大的便捷.如果我們只告訴學(xué)生如何添加輔助線，而不分析為什么及什么時(shí)候這樣添加輔助線，那么學(xué)生解決此類問題還是只能依賴靈感的乍現(xiàn).“V字形”和“T字形”明確地指出了在遇到類似問題時(shí)候如何構(gòu)造輔助線，使學(xué)生在解決此類問題事半功倍！