基于ARMA模型的橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)辨識研究

趙 瑜，薛 白，張建偉

(華北水利水電大學，河南 鄭州 450045)

我國橋梁大多建于20 世紀60 ～80 年代，當時的設(shè)計標準較低，且施工質(zhì)量不是很高．隨著交通運輸量的不斷增加，車輛載重不斷提高，超載車輛對橋梁的損壞也愈發(fā)嚴重． 我國在橋梁損傷檢測方面面臨嚴峻的形勢，要準確地判斷橋梁實際工作的狀況，為橋梁加固或大修提供依據(jù)，就必須找到可靠、精確的損傷檢測方法．加之新興結(jié)構(gòu)不斷出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度也不斷增加，要使日趨復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的安全性能得到保證，結(jié)構(gòu)的振動設(shè)計就變得尤為重要．無論損傷檢測還是結(jié)構(gòu)振動設(shè)計，都離不開模態(tài)參數(shù)辨識，它在結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性分析中起著至關(guān)重要的作用．

模態(tài)參數(shù)辨識的方法可以分為頻域辨識方法和時域辨識方法兩大類． 頻域參數(shù)辨識首先要把從響應(yīng)點測得的時域信號經(jīng)過A/D 轉(zhuǎn)換與FFT 變換，變成頻域信號，然后將頻域數(shù)字信號進行預(yù)算，求得頻率響應(yīng)函數(shù)，再按參數(shù)辨識的方法辨識出模態(tài)參數(shù)［1］．而時域模態(tài)參數(shù)辨識則無需將所測得的時域信號變換到頻域中去，而是直接在時域中進行參數(shù)辨識，這就避免了由數(shù)據(jù)變換(FFT 變換)而引起的誤差，從而提高了參數(shù)估計的精度．

時域辨識方法最早可追溯到1927 年，英國統(tǒng)計學家G．U． Yule 提出了自回歸(Autoregressive，AR)模型．后來，英國數(shù)學家、天文學家G T Walker(1931年)在分析印度大氣規(guī)律時引入了滑動平均模型(Moving Average，MA)和自回歸滑動平均模型(Autoregressive Moving Average，ARMA)，這些時間序列模型奠定了時域辨識方法的基礎(chǔ)［2］． 時域法可以僅從響應(yīng)數(shù)據(jù)中辨識模態(tài)參數(shù)，而無需激勵數(shù)據(jù)，這對于那些激勵信號無法測得的工程結(jié)構(gòu)來說非常重要．比如，一些海上作業(yè)平臺或水工建筑物在風浪及大地脈動作用下的振動，它們所受到的荷載往往很難測量．時域法給對工作狀態(tài)下的機械或工程結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析提供了可能，在工作狀態(tài)下辨識的模態(tài)參數(shù)更能反映結(jié)構(gòu)的實際動態(tài)性能． 隨著研究的深入，模態(tài)參數(shù)時域辨識領(lǐng)域不斷有新的方法出現(xiàn)．在諸多方法中，時域法由于在辨識過程中具有無能量泄露、分辨率高等優(yōu)點，在模態(tài)辨識領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用．

ARMA(Autoregressive Moving Average)模型相比于AR(Autoregressive)模型更復(fù)雜，計算更繁瑣，但是每一部分模型參數(shù)的物理意義也更明確． 由于多了表征與外界聯(lián)系的MA(Moving Average)部分，因而更能充分考慮到外界因素的影響，故精度更高．ARMA 模型相比于AR 模型，識別結(jié)構(gòu)因損傷而引起的動力學特征的微小變化有更強的能力． 筆者將結(jié)合試驗對基于ARMA 模型的模態(tài)參數(shù)辨識方法進行討論，在噪聲模態(tài)的剔除問題上引入了穩(wěn)定圖方法，可以直觀地從穩(wěn)定圖中識別出系統(tǒng)的固有頻率，有效地剔除噪聲模態(tài)．

1 基本理論

1．1 ARMA 時間序列模型

ARMA 模型(自回歸滑動平均模型)是時序方法中最基本、應(yīng)用最廣的時序模型．對于平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時序{xt}，若xt的取值不僅與其前p 步的各個取值xt－1，xt－2，…，xt－p有關(guān)，而且還與前q 步的各個干擾項εt－1，εt－2，…，εt－q有關(guān)(p，q=1，2，…)，則按多元線性回歸思想，可以得到ARMA(p，q)的一般形式:

式(1)表示一個p 階自回歸、q 階滑動平均模型，記為ARMA(p，q);其中p，q 分別表示AR 部分和MA 部分的階次;i(i =0，1，…，p)為自回歸系數(shù);εt為零均值、方差為σ2的白噪聲序列;θj(j =0，1，…，q)為滑動平均系數(shù)．

若Bixt=xt－i，則式(1)可變換為:

令

則式(2)可化簡為

因此有

式(4)從系統(tǒng)動力學的角度來理解，若將εt視為輸入，將xt視為輸出，則ARMA(p，q)模型就描述了一個傳遞函數(shù)為θ(B)/(B)的系統(tǒng)［3］，由下文可知分母(B)包含系統(tǒng)的特征頻率及阻尼比．

1．2 模型定階

建立模型時，根據(jù)AIC［4］準則函數(shù)取值來判斷模型的優(yōu)劣，使準則函數(shù)達到極小值的是最佳模型，該準則是在模型極大似然估計的基礎(chǔ)上建立起來的．

最小信息準則AIC 函數(shù)的一般形式為

式中:ML 為模型極大似然度，一般用似然函數(shù)表示;K 為模型中獨立參數(shù)個數(shù)．

當樣本長度N 充分大時，ARMA 模型得到近似極大似然估計的對數(shù)似然函數(shù):

由于式(6)中第二項與模型及參數(shù)個數(shù)無關(guān)，可以舍棄．于是得到采用ARMA(n，m)模型擬合的AIC 準則函數(shù):

使得AIC 信息量取值最小的n 和m 即是模型理想的階．由式(7)可以看出AIC 信息量由兩部分構(gòu)成:前一部分體現(xiàn)模型的擬合好壞，后一部分表明模型參數(shù)的多少． 顯然，模型擬合得越精確越好，但過高的精度要求又會導(dǎo)致參數(shù)的增多及模型的復(fù)雜，可能反而影響模型的擬合效果． 因此，實質(zhì)上就是對擬合精度和參數(shù)個數(shù)二者加以適當權(quán)重． 可以想象，當模型中參數(shù)個數(shù)K 由少至多增加時，擬合誤差改進顯著，式(7)中第一項起主要作用，AIC 明顯下降;隨著模型階數(shù)的增加，模型擬合殘差改進甚微，AIC 上升． AIC 的最小值處對應(yīng)著最佳模型的階數(shù)．

1．3 ARMA 模型參數(shù)與系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的關(guān)系

ARMA 時序模型是一個參數(shù)模型，如果不能清楚解釋其每個參數(shù)的物理意義，也就無法判斷該模型是否能夠真實準確地模擬一個結(jié)構(gòu)．然而，如果在ARMA 模型參數(shù)與系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)之間建立聯(lián)系，實現(xiàn)模型參數(shù)到系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的轉(zhuǎn)換，就能達到通過激勵數(shù)據(jù)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)辨識結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的目的［5］．

首先用測得的結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)建立一個ARMA(2n，2n－1)模型，然后將離散的ARMA(2n，2n －1)模型轉(zhuǎn)化為連續(xù)模型． 離散模型自回歸部分的特征根與連續(xù)模型自回歸部分的特征根之間有如下關(guān)系:

其中Δ 為采樣時間間隔．

結(jié)構(gòu)第j 階模態(tài)固有頻率ωnj、模態(tài)阻尼率ξj與特征根之間關(guān)系如下:

由式(8)得

將式(9)代入式(10)化簡得

兩邊取對數(shù)，有

將式(11)代入式(13)得

由式(11)和式(14)不難看出，根據(jù)ARMA(2n，2n－1)模型自回歸部分的特征根即可求出結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù):固有頻率ωnj和模態(tài)阻尼率ξj．

1．4 噪聲模態(tài)剔除

由于試驗過程中存在噪聲的干擾，使得識別出的模態(tài)既有結(jié)構(gòu)固有的模態(tài)又摻雜著噪聲模態(tài)，這就需要采取措施從識別出的模態(tài)中剔除噪聲模態(tài)．然而，單從一組數(shù)據(jù)進行一次模態(tài)識別得出的頻率無法判斷哪些頻率是結(jié)構(gòu)固有的頻率．但是，若把每組數(shù)據(jù)識別出的模態(tài)頻率按序號描在一張圖上，再根據(jù)結(jié)構(gòu)固有頻率與噪聲頻率對應(yīng)的點各自在圖中排成形狀的差異，即可辨別出結(jié)構(gòu)固有頻率．以數(shù)據(jù)組序號為縱坐標，以頻率大小為橫坐標描出的散點圖稱為穩(wěn)定圖．

穩(wěn)定圖同時也是每組數(shù)據(jù)模態(tài)識別結(jié)果的記錄圖，不僅能夠清楚地反映每組數(shù)據(jù)識別出的模態(tài)頻率大小，還能反映出不同組模態(tài)識別結(jié)果之間的關(guān)系．若相鄰幾組識別結(jié)果差異很大，且無規(guī)律，在穩(wěn)定圖中表現(xiàn)為出現(xiàn)一些不規(guī)則排列的離散點． 若相鄰幾組識別結(jié)果相同或差別不大，在穩(wěn)定圖中表現(xiàn)為出現(xiàn)一些排成豎直直線的點．

噪聲具有不穩(wěn)定性，有的噪聲信號會間斷，有的頻率會隨著時間變化，致使每組數(shù)據(jù)識別出的噪聲模態(tài)會有較大差異，在穩(wěn)定圖上的表現(xiàn)是出現(xiàn)無規(guī)律的離散點及排成曲線的穩(wěn)定圖極點［6－7］． 而系統(tǒng)固有的頻率十分穩(wěn)定，因而每次識別出的頻率在穩(wěn)定圖中會排成一條無間斷的直線． 根據(jù)這點區(qū)別就很容易從穩(wěn)定圖中辨識出系統(tǒng)的固有頻率．

2 數(shù)值試驗驗證

試驗構(gòu)件為一塊長5．0 m，寬1．0 m，厚0．2 m的板，沿板長方向?qū)ΨQ布置了11 個位移傳感器，試驗?zāi)Ｐ腿鐖D1 所示．

圖1 單跨橋梁試驗?zāi)Ｐ?/p>

在用ARMA 模型法計算板的模態(tài)頻率時，只需要用到跨中位置測點的數(shù)據(jù)．在環(huán)境激勵下，記錄梁的響應(yīng)數(shù)據(jù)，采樣頻率為256 Hz，采樣時間為40 s，共測得跨中位置處位移響應(yīng)數(shù)據(jù)10 240 個，如圖2 所示．

圖2 位移響應(yīng)數(shù)據(jù)

經(jīng)過小波消噪后取其中8 384 個作為試驗樣本，建模前還需要對這些數(shù)據(jù)進行零均值、穩(wěn)定化處理，圖3 為經(jīng)消噪、零均值、穩(wěn)定化處理后的響應(yīng)數(shù)據(jù)．以2 048 個數(shù)據(jù)為1 組，分段滯后64 個點，將試驗樣本分為100 組． 首先對這100 組數(shù)據(jù)分別用AIC 準則進行定階，發(fā)現(xiàn)AR 部分的階數(shù)能夠穩(wěn)定在16 階，據(jù)此采用理論階次ARMA(2n，2n －1)，將模型階數(shù)定為ARMA(16，15)．

模型階數(shù)確定之后，用最小二乘法估計模型參數(shù)，再結(jié)合上述模型參數(shù)與系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的關(guān)系即可識別出系統(tǒng)的頻率． 以每組數(shù)據(jù)的序號作為縱坐標，以頻率大小作為橫坐標做出系統(tǒng)頻率穩(wěn)定圖，如圖4 所示．

圖3 經(jīng)消噪、零均值、穩(wěn)定化處理后的響應(yīng)數(shù)據(jù)

圖4 頻率穩(wěn)定圖

從圖4 中可以清楚地看到，各個點連成了多段曲線，其中由于系統(tǒng)固有頻率較為穩(wěn)定，每組數(shù)據(jù)識別出的結(jié)果變化不大，從而在圖中排成了3 條縱向的連續(xù)直線．它們分別對應(yīng)著系統(tǒng)的3 階固有頻率，而其他彎曲程度較大或者有間斷的曲線則是由噪聲產(chǎn)生的虛假模態(tài)．由于建模所用的時間序列是經(jīng)過消噪處理的，因此這些殘余噪聲產(chǎn)生的虛假模態(tài)具有明顯的離散性，這就使得真實模態(tài)與虛假模態(tài)在圖中很好區(qū)分．

為了驗證基于ARMA 模型的模態(tài)參數(shù)辨識法識別出的模態(tài)參數(shù)的正確性，將識別結(jié)果與ANSYS建模分析法和隨機子空間法的計算結(jié)果進行對比，分析3 種方法識別出的模態(tài)頻率是否吻合．用Solid65單元模擬混凝土結(jié)構(gòu)［7］，在ANSYS 中建立混凝土簡支梁的有限元模型，經(jīng)過模態(tài)計算得出簡支梁前3階模態(tài)，模態(tài)頻率見表1．各階模態(tài)所對應(yīng)的模態(tài)振型如圖5 所示，其中第1 階振型呈正對稱圖形，第2階振型為反對稱“S”型圖形，第3 階振型是結(jié)構(gòu)發(fā)生扭振．將穩(wěn)定圖中識別出的頻率與用隨機子空間法識別出的模態(tài)頻率及ANSYS 建模分析計算出的模態(tài)頻率比較發(fā)現(xiàn)，3 種方法識別出的3 階頻率基本吻合，這就表明用ARMA 法能夠準確地識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率．

表1 不同方法識別頻率比較

圖5 ANSYS 建模計算出的前3 階模態(tài)振型

3 結(jié) 語

用ARMA 模型識別系統(tǒng)頻率并結(jié)合穩(wěn)定圖法辨識結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率的方法能夠方便而準確地識別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率． 該方法不僅適用于實驗室中的小型構(gòu)件，同樣適用于實際工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別．但是，基于環(huán)境激勵下的模態(tài)參數(shù)識別由于激勵不可控，往往存在激勵不充分、不平穩(wěn)的問題，這就導(dǎo)致較高階次的模態(tài)很難識別或者識別不準確，因此在識別高階模態(tài)時還需要進行算法上的改進．

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