T－擬凸函數(shù)與嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)的關(guān)系

胡 芳

( 武漢商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 通識(shí)教育學(xué)院，湖北 武漢430205)

凸函數(shù)涉及很多數(shù)學(xué)命題的討論證明和應(yīng)用，在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)化理論等應(yīng)用研究方面應(yīng)用非常廣泛，具有重要的研究價(jià)值．隨著凸性研究進(jìn)一步深入發(fā)展，許多學(xué)者提出了弱化凸性的約束，構(gòu)造更為廣泛的凸性函數(shù)．?dāng)M凸函數(shù)是一類特殊的廣義凸函數(shù)，1999 年，E．A．Youness 最先在Journal ofOptimization Theory and Application 上通過弱化凸集與凸函數(shù)的定義條件對(duì)它們進(jìn)行了推廣，定義了T－凸集，T－凸函數(shù)等概念［1］，得出了相關(guān)結(jié)論，并且提出了T－凸規(guī)劃問題并對(duì)其進(jìn)行了研究，雖然其中有一些結(jié)論是不正確的，但是其思想影響是非常深遠(yuǎn)的．2003 年，王建勇等人把T－凸函數(shù)推廣到T－擬凸函數(shù)，并討論了T－擬凸函數(shù)的一些性質(zhì)［2］;2007 年，吳歐等人對(duì)文獻(xiàn)［1］中的部分錯(cuò)誤結(jié)論提出了反例，并進(jìn)行了相應(yīng)的修正，同時(shí)得到了T－擬凸函數(shù)與T－水平集之間的等價(jià)關(guān)系［3］，同年，寧剛在文獻(xiàn)［4］中討論了T－凸函數(shù)與T－擬凸函數(shù)的等價(jià)條件;2009 年，鐘超瑾給出了T－凸集上的函數(shù)的半連續(xù)性與T－擬凸性之間的關(guān)系［5］;2011 年，文獻(xiàn)［6］中討論了在上(下)半連續(xù)的假設(shè)條件下，T－凸函數(shù)與T－擬凸函數(shù)的等價(jià)條件．文章充分考慮擬凸函數(shù)和T－擬凸函數(shù)、嚴(yán)格擬凸函數(shù)和嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)可能存在的聯(lián)系，分析T－擬凸函數(shù)和嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)的關(guān)系，得到了某些新的結(jié)論，推廣了文獻(xiàn)［2，4，5］的主要結(jié)論．有關(guān)T－凸集，T－凸函數(shù)，T－擬凸函數(shù)，T－凹數(shù)，T－擬凹函數(shù)等的定義見文獻(xiàn)［1－6］．

1 主要結(jié)論

引理1［5］若D是T－凸集，則T(D)?D．

定理1 設(shè)D?Rn凸開集，若存在線性映射T:Rn→Rn使得D是T－凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)，若?α0∈(0，1)，?x，y∈D有:

則f是D上的T－擬凸函數(shù)．

證明 反證法 假設(shè)?x，y∈D，λ0∈(0，1)有:f［λ0T(x)+(1－λ0)T(y)］＞max{f(T(x))，f(T(y))}，

不失一般性，設(shè)f(T(x))≥f(T(y))，并令z=λ0T(x)+(1－λ0)T(y)，可知:

由引理1 可知:T(D)?D，則存在z0∈D，使得:T(z0)=z，即得:T(z0)=λ0T(x)+(1－λ0)T(y)，

若f(T(x))＞f(T(y))，由f是嚴(yán)格T－凸函數(shù)有:f(z)=f(T(z0))=f［λ0T(x)+(1－λ0)T(y)］＜max{f(T(x))，f(T(y))}=f(T(x))有:f(z)＜f(T(x))，這顯然與式(1)矛盾．

(i)若0＜λ0＜α0＜1，此時(shí)，取，即有:

由f是嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)、式(2)及式(4)，有:f(z1)＜max{f(z)，f(T(x))}=f(z)與式(4)矛盾．

(ii)若α0≤λ0＜1，由定理?xiàng)l件可知:α0≠λ0，因此有:0＜α0＜λ0＜1，從而，令即可得

由f是嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)和式(2)以及上式，有:f(z2)＜max{f(z)，f(T(y))}=f(z)．

這與式(5)矛盾，故假設(shè)不成立．反過來，T－擬凸函數(shù)也可在一定條件下成為嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)，這就是下述結(jié)果:

定理2 設(shè)D?Rn凸開集，若存在線性映射T:Rn→Rn使得D是T－凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值T－擬凸函數(shù)，若?α0∈(0，1)，?x，y∈D，當(dāng)f(T(x))≠f(T(y))時(shí)，有:

則f是D上的嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)．

證明 反證法．假設(shè)結(jié)論不成立，則?x，y∈D，λ0∈(0，1)，雖然f(T(x))≠f(T(y))，但是仍然有:

不失一般性，不妨設(shè)f(T(x))＜f(T(y))，并令z=λ0T(x)+(1－λ0)T(y)，可知:

則式(6)變形為:

由f是T－擬凸函數(shù)有:

由D是T－凸集可知:z=λ0T(x)+(1－λ0)T(y)∈D，由定理?xiàng)l件及式(9)可得:

(i)若

由于

由式(14)及f是T－擬凸函數(shù)有)與式(13)矛盾．

(ii)若，由式(14)及定理?xiàng)l件，當(dāng))時(shí)有:

由f是T－擬凸函數(shù)有:

式(15)、式(16)可知:f(z)＜f(y－)≤f(T(y))與式(9)矛盾．

引理2［5］設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T－凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)函數(shù)，且?λ∈(0，1)使得:fλT(x)+(1－λ)T(y)

[]≤max{f(T(x))，f(T(y))，?x，y∈D}．則f是D上的T－擬凸函數(shù)．

定理3 設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T－凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)實(shí)值函數(shù)，并且存在λ0∈(0，1)，使得?x，y∈D，f(T(x))＜f(T(y))均有:

則f是D上的T－擬凸函數(shù)．

證明 由引理2，只需證明?x，y∈D，存在相應(yīng)的α∈(0，1)，使得:

用反證法．假如存在x，y∈D，使得:

若f(T(x))≠f(T(y))，不妨設(shè)f(T(x))＜f(T(y))，由定理?xiàng)l件可知:

且在f(T(x))＜f(T(y))時(shí)，式(17)轉(zhuǎn)化為存在x，y∈D，使得:f［λT(x)+(1－λ)T(y)］＞f(T(y))，?λ0∈(0，1)，這與式(18)矛盾．

若f(T(x))=f(T(y))，式(17)變形為:存在x，y∈D，使得:

則有，選擇合適的λ0可以有:

將式(20)運(yùn)用定理?xiàng)l件可得:存在λ0∈(0，1)，

綜合式(21)，式(22)可得:

定理3 的條件還可以進(jìn)一步減弱，可得出定理4 如下．

定理4 設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T－凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)實(shí)值函數(shù)，并且對(duì)?x，y∈D，f(T(x))＜f(T(y))均有:

則f是D上的T－擬凸函數(shù)．

由定理3 和定理4 可以直接得出判定嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)的另一種形式．

定理5 設(shè)D?Rn，若存在映射T:Rn→Rn使得D是T－凸集且T(D)是凸集，f是定義在D上的n元實(shí)值下半連續(xù)實(shí)值函數(shù)，并且存在λ0∈(0，1)，?x，y∈D，當(dāng)f(T(x))≠f(T(y))時(shí)，有:

則f是D上的嚴(yán)格T－擬凸函數(shù)．

［1］ Youness E A．E－Convex Sets，E－Convex Function，and E－Convex Programming［J］．Journal of Optimization Theory and Application，1999，102(2):439－450．

［2］ 王建勇，宋潁，白咸倫．E－擬凸函數(shù)［J］．聊城大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，16(3):17－19．

［3］ 吳歐，文乾英，楊玉紅．關(guān)于E－擬凸函數(shù)幾個(gè)錯(cuò)誤命題的反例及修正［J］．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，24(2):22－23．

［4］ 寧剛．E－凸函數(shù)的若干性質(zhì)［J］．運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2007，11(1):121－126．

［5］ 鐘超瑾．E－凸集上的函數(shù)的半連續(xù)性與E－擬凸性［J］．廣東教學(xué)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，29(3):48－51．

［6］ 韋麗，黃雪燕．E－凸函數(shù)和E－擬凸函數(shù)的等價(jià)條件［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41(15):191－197．

［7］ 楊新民．?dāng)M凸函數(shù)判別準(zhǔn)則的一個(gè)注記［J］．運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2001，5(2):55－56．