二元關(guān)系與粗糙近似算子的性質(zhì)關(guān)系研究

黃衛(wèi)華，陸亞哲，李艷艷

( 文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山663000)

波蘭數(shù)學(xué)家Z．Pawlak 于1982 年在等價(jià)關(guān)系基礎(chǔ)上提出了經(jīng)典粗糙集理論，由于在處理不精確、不確定與不完全數(shù)據(jù)等問題上的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，這個(gè)理論被廣泛應(yīng)用于機(jī)器學(xué)習(xí)和知識(shí)發(fā)現(xiàn)、數(shù)據(jù)挖掘、決策支持與分析等諸多領(lǐng)域，因此研究逐漸趨熱．

在Pawlak 粗糙集模型［1］中，論域上的等價(jià)關(guān)系起著至關(guān)重要的作用，但在許多實(shí)際問題中，論域上的二元關(guān)系不是等價(jià)的［2－5]，這時(shí)Pawlak 粗糙集模型的應(yīng)用受到限制，為此將等價(jià)關(guān)系推廣到任意的二元關(guān)系，得到廣義近似空間，并討論了串行的、自反的、對(duì)稱的和傳遞的等特殊的二元關(guān)系與近似算子的特性刻畫，找到了二者之間性質(zhì)的聯(lián)系．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］設(shè)U 是非空有限論域，對(duì)于?x∈U，對(duì)應(yīng)一個(gè)U的一個(gè)子集n(x)．這樣n:U→P(U)是一個(gè)算子，稱為鄰域算子．對(duì)于X?U，記n(X)= ∪x∈Xn(x)，稱n(X)為集合X的鄰域．

定義2［2］設(shè)R是U上的二元關(guān)系，對(duì)于?x，y∈U，若xRy，即(x，y)∈R，則稱x是y的前繼，y是x的后繼，記Rx(x)={y∈U|xRy}，Rp(x)={y∈U|yRx}．分別稱為x的后繼鄰域和前繼鄰域．

定義3［6］設(shè)U是非空有限論域，R?U×U為U上的一個(gè)任意的二元關(guān)系，稱R是串行的，若?x∈U，?y∈U，使得(y，x)∈R，即Rp(x)≠?;稱R是自反的，若?x∈U，x∈Rp(x);稱R是對(duì)稱的，若?x，y∈U，x∈Rp(y)?y∈Rp(x);稱R是傳遞的，若?x，y，z∈U，y∈Rp(x)和z∈Rp(y)?z∈Rp(x)．

定義4［6］設(shè)U是非空有限論域，R?U×U為U上的一個(gè)任意的二元關(guān)系，稱A=(U，R)為廣義近似空間．

定義5 任意X?U，X關(guān)于近似空間A=(U，R)的下近似和上近似分別定義為:

引理1［7］設(shè)R是U上任意一個(gè)二元關(guān)系，則對(duì)于?x∈U，有:

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)R和S是U上的二元關(guān)系，則:

證明 (i)“?”?x∈U，若y∈Rs(x)，則(x，y)∈R，而R?S，即得(x，y)∈S，即y∈Ss(x)，所以Rs(x)?Ss(x)．

“?”?(x，y)∈R?y∈Rs(x)，因?yàn)镽s(x)?Ss(x)，所以(x，y)∈S?y∈Ss(x)?(x，y)∈S?R?S．

同理可證Rp(x)?Sp(x)．

(ii)因?yàn)镽?U×U，所以～R:U×U－R，?x∈U，若y∈(U×U－R)s(x)，則(x，y)?R．即y?Rs(x)，那么y∈U－Rs(x)，所以(U×U－R)s(x)?U－Rs(x)．

?x∈U，若y∈U－Rs(x)，即y?Rs(x)，則(x，y)?R，那么y∈(U×U－R)s(x)，所以U－Rs(x)?(U×U－R)s(x)．所以(～R)s(x)=～Rs(x)，同理可證(～R)p(x)=～Rp(x)．

定理2 設(shè)R是U上任意一個(gè)二元關(guān)系，則下近似和上近似滿足下列對(duì)偶性質(zhì):

證明 (i)由于所以，同理可證

(ii)顯然;

(iii)，同理可證

(iv)由于且，所以同理可證

(v)由性質(zhì)(iii)知，，所以)，同理可證

下面舉例說明定理2 中的(v)一般情況下等式不成立．

例1 設(shè)U={a，b，c}，R={(a，a)，(a，b)，(b，b)，(b，a)，(b，c)}，取X={a}，Y={b，c}，則，但是，即

又若取X={a，c}，Y={b，c}，則，而c}=，所以

定理3 設(shè)R是U上任意一個(gè)二元關(guān)系，則以下各式等價(jià):

(i)R是串行的;

(iii)

證明 “(i)?(ii)”對(duì)于，由定義有，由R是串行的可知，Rp(x)≠?，因此Rp(x)∩

“(iii)?(i)”設(shè)，則由z∈Rp(y)和引理1 得，結(jié)合得，這說明，從而由上近似的定義得，由(iii)成立推得，于是由上近似的定義有z∈Rp(x)，這樣我們從y∈Rp(x)和z∈Rp(y)得到z∈Rp(x)，即R是傳遞的．

本文將等價(jià)關(guān)系推廣到任意的二元關(guān)系，得到廣義近似空間，定義了廣義近似空間的下近似和上近似，并討論了串行的、自反的、對(duì)稱的和傳遞的等特殊的二元關(guān)系與近似算子的特性刻畫，找到了二者之間性質(zhì)的聯(lián)系．

［1］ Pawlak Z．Rough sets［J］．International Journal of Computer and Information Science，1982，11:341－356．

［2］ 滕書華，魯敏，楊阿鋒，等．基于一般二元關(guān)系的粗糙集加權(quán)不確定性度量［J］．計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2014，37(3):649－665．

［3］ 顧力平，楊習(xí)貝．基于一般二元關(guān)系的多粒度粗糙集模型［J］．南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45(1):124－129．

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［6］ 張文修，吳偉志．粗糙集理論與方法［M］．北京:科學(xué)出版社，2001．

［7］ 劉清．Rough 集及Rough 推理［M］．北京:科學(xué)出版社，2001．