同階元型為2 的冪的群

鄒 玄，沈如林

(湖北民族學(xué)院 數(shù)學(xué)系，湖北 恩施445000)

在有限群里，同階元集合的長(zhǎng)度是很重要的，它的值等于同階元共軛類長(zhǎng)度的和．文獻(xiàn)［1］It介紹了共軛型的概念，設(shè)G是一個(gè)有限群，{n1，n2，…，nr}為正整數(shù)集合，并且ni為G中的元的中心化子在G中的指數(shù)，這里不妨假設(shè)n1＞n2＞…＞nr=1，則向量(n1，n2，…，nr)被稱作為群的共軛型，顯然只有Abel 群的共軛型為(1)，文獻(xiàn)［1－2］It證明了有限群中共軛型為(n1，1)和(n1，n2，1)的群是冪零群和可解群，后來(lái)文獻(xiàn)［3］研究了有限單群中共軛型為(n1，n2，n3，1)的類型． 類似，在上面It給出共軛類型的概念里，還將共軛類長(zhǎng)度替換同階元長(zhǎng)度，并且能得到一個(gè)類似的定義，即同階元型．

定義1 設(shè)G是一個(gè)有限群，定義g～h，如果g，h∈G且有相同的階，有這種關(guān)系的等價(jià)類的集合長(zhǎng)度稱作G的同階元型．

文獻(xiàn)［4］研究了同階元型{1，15，20，24}的群，證明了此時(shí)這樣的群只能是交錯(cuò)單群A5．文獻(xiàn)［5］分類了同階元型(n1，1)和(n1，n2，1)的群．最近文獻(xiàn)［6］研究了某些單群用同階元型刻畫的問(wèn)題． 記Zn為n階循環(huán)群，并記;記為的素因子集合，并記π'為π 在素?cái)?shù)集合中的補(bǔ)，G的子群H稱為π－Hall 子群，若π(H)?π 且π(|G|/|H|)∩π =φ．在本文中將研究同階元型為{1，2，22，…，2m}的群，證明下面的定理．

定理1 設(shè)G是群(不必有限)，若G的同階元型為{1，2，22，…，2m}，其中m為有限數(shù)，則G同構(gòu)于群Z2m+1×Zr1×Zr2×…×Zrt的某個(gè)子群，其中ri=2ei+1 為費(fèi)馬素?cái)?shù)(ei≤m，1≤i≤t)．

注意因?yàn)橘M(fèi)馬素?cái)?shù)緊緊發(fā)現(xiàn)F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537，有人猜想不再存在其它的費(fèi)馬素?cái)?shù)了．

1 一些引理

引理1［7］(Frobenius)設(shè)G是有限群，n為的正整數(shù)因子，則n|f(n)．

引理2 φ(n)|sn(其中sn表示G中n階元的個(gè)數(shù)，φ(n)表示Euler 函數(shù))．

引理3 若G的Sylow 2－子群循環(huán)，則G存在正規(guī)2－補(bǔ)，即存在2'－Hall 正規(guī)子群．

證明 設(shè)P2為G的Sylow 2 子群且循環(huán)，則由N/C定理知:NG(P2)/CG(P2)＜～Aut(P2)而循環(huán)群P2的自同構(gòu)的階為φ(|P2|)，它仍為2 的冪，由Lagrange 定理知:|NG(P2)/CG(P2)|是φ(|P2|)的因子，且|NG(P2)/CG(P2)|為奇數(shù)，故NG(P2)=CG(P2)，由Burnsidep－冪零準(zhǔn)則知:存在2'－Hall 正規(guī)子群，即存在2'－Hall 正規(guī)子群．

引理4［4］設(shè)G是一個(gè)群，且G中的元素個(gè)數(shù)大于2，如果G中同階元的最大階為s，s為有限數(shù)，則G有限，并且|G|≤s(s2－1)．

引理5 設(shè)G是有限群，若G的同階元型為{1，2，22，…，2m}，則的素因子為2 或費(fèi)馬素?cái)?shù)．

證明 設(shè)p∈π(G)，則p|1 +sp，而sp=2i(i=1，2，…，m)．故p=2 或者為費(fèi)馬素?cái)?shù)．

引理6 設(shè)G是有限群，同階元型為{1，2，22，…，2m}，若G為偶階群，則Sylow 2－子群循環(huán)且正規(guī)．

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明s2i=2i－1，其中i≥0．顯然2∈π(G)，當(dāng)i=1 時(shí)，成立． 若i時(shí)成立，考慮i+1的情形，因?yàn)閟2i=2i－1，由Frobenius 定理知:

為了完成定理的證明，還需要一些關(guān)于素?cái)?shù)的結(jié)論．把rm(a)叫做am－1 的本原素因子，如果rm(a)|am－1，但rm(a)不整除ai－1(i＜m)．顯然，對(duì)本原素因子p=rm(a)，則m|p－1 總是成立的． 設(shè)Φn(x)為第n個(gè)本原多項(xiàng)式，則xn－1 可以分解成若干本原多項(xiàng)式的乘積，其中本原多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為n的某個(gè)素因子，即xn－1 =∏d|nΦd(x)．下面的引理說(shuō)明了本原素因子的存在性，以及本原素因子與本原多項(xiàng)式的密切聯(lián)系．

引理7 設(shè)qn－1 至少有一個(gè)本原素因子且n≥3，則Φn(q)=(P(n)，Φn(q))·Φn(q)這里P(n)是n的最大素因子，Zn(q)是qn－1 包含所有本原素因子的最大素因子．

證明 由文獻(xiàn)［9］中的207 頁(yè)及文獻(xiàn)［7］中的引理2．1 有:Zn(q)|Φn(q)以及Φn(q)|Zn(q)·P(n)，從而Φn(q)=(P(n)，Φn(q))·Zn(q)．

引理8［9］設(shè)p是qk－1 的本原奇素因子，則p|Φf(q)當(dāng)且僅當(dāng)f=kpj，j≥0．

引理9［10］(Schru－Zassenhaus) 設(shè)G為有限群，N為G的正規(guī)Hall 子群，則N在G中存在補(bǔ)子群，且任何兩個(gè)補(bǔ)子群共軛．

2 定理1 的證明

根據(jù)引理4，不妨設(shè)G為有限群，而由引理3、引理5 和引理9 知:G?Z2m1×K，其中m1≤m+1，設(shè)p∈π(K)，由引理5 知:p為費(fèi)馬素?cái)?shù)，設(shè)p=2e+1，(e≤m)．由引理2 知:Sylowp－子群方次數(shù)為p，由引理1 有:p|1 +sp，即(1 +2e)l|1 +2i，(e≤i≤m)，因?yàn)閕≥e，由引理7 和引理8 有:l=1 且sp=2pt·x=2i，(t≥1)，故G中的Sylowp－子群的個(gè)數(shù)為2pt·x－e．又因?yàn)镚中的Sylow 子群的個(gè)數(shù)為K中的Sylow 子群的個(gè)數(shù)，故Sylowp－子群的個(gè)數(shù)為素?cái)?shù)，即2pt·x－e=1，從而i=e，這樣G中的Sylowp－子群P正規(guī)且|P| =p，故G同構(gòu)于Z2m+1×Zr1×Zr2×…×Zrt的一個(gè)子群，這里ri為費(fèi)馬素?cái)?shù)且ri－1≤2m，i=1，2，…，t．即證．

推論1 設(shè)G為群，G的同階元型為某些2 的冪的集合，則G為冪零群．

本結(jié)果證明了當(dāng)一個(gè)群G的同階元型與循環(huán)2－群的同階元型一致，G必為冪零群;當(dāng)然可以類似的證明如果同階元型里面的元為2 的冪，可能不是連續(xù)的冪，也可以得到同樣的結(jié)果，比如同階元型為{1，4}，這樣的群必然為Z5，Z10，但是否當(dāng)G的同階元型與循環(huán)群的同階元型一致時(shí)，G仍為冪零群?

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