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    圖的Fractional邊全控制

    2015-12-08 09:15:16徐保根趙麗鑫
    關(guān)鍵詞:實(shí)值圖論鄰域

    徐保根,趙麗鑫,鄒 妍

    (華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌 330013)

    圖的Fractional邊全控制

    徐保根,趙麗鑫,鄒 妍

    (華東交通大學(xué)理學(xué)院,江西 南昌 330013)

    設(shè)G=(V,E)是一個(gè)無孤立邊的圖,一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:E(G)→[0,1]若對(duì)所有的邊e∈E(G),均有成立,則稱f為圖G的一個(gè)Fractional邊全控制函數(shù)。圖G的Fractional邊全控制數(shù)定義為為圖G的一個(gè)Fractional邊全控制函數(shù)}。確定了一般圖的Fractional邊全控制數(shù)若干界限,同時(shí)也研究了幾類特殊圖Fractional邊全控制問題,給出了一些特殊圖的Fractional邊全控制數(shù)。

    Fractional邊全控制函數(shù);Fractional邊全控制數(shù);Fractional邊全包裝函數(shù);Fractional邊全包裝數(shù)

    1 引言及定義

    本文中所指的圖均為無向簡單圖,符號(hào)和術(shù)語同于文獻(xiàn)[1-2]。

    圖的控制理論是圖論中很重要的一個(gè)分支。在圖的控制理論的發(fā)展和完善過程中,Hedetniemi S M等人首次提出并研究了圖的Fractional控制概念和性質(zhì),在當(dāng)MITCHELL S和HEDETNIEMI S T引入了圖的一般邊控制的概念之后,自然產(chǎn)生了圖的Fractional邊控制概念,并對(duì)其進(jìn)行了大量研究[3-4]。 而文獻(xiàn)[5]首先提出并研究了圖的符號(hào)邊控制,由此衍生到邊上的多種控制概念,如Fractional邊控制等[6]等,從而使得控制理論的研究內(nèi)容和研究成果越來越豐富,本文主要給出了圖的Fractional邊全控制概念和一些主要結(jié)果。

    設(shè)G=(V,E)是一個(gè)連通圖,用V(G)和E(G)分別表示G的頂點(diǎn)集和邊集。對(duì)于任意一條邊e∈E(G),定義e在G中的鄰域NG[e],表示G中與邊e相關(guān)聯(lián)的邊的集合。閉邊鄰域NG[e]=NG(e)∪{e}。NG(e)和NG[e]分別簡記為NG(e)和NG[e]。v點(diǎn)G在中的度記為d(V)=|N(v)|,并且△=△(G)和δ=δ(G)分別表示圖G中點(diǎn)的最大度和最小度,邊e在圖G中的邊度是指與其相連的邊的條數(shù),記為d(e)=│N(e)│。若e=uv∈E(G),則有d(e)=d(u)+d(v) -2?!鳌?△′(G)和δ′=δ′(G)和分別表示圖G中邊的最大度和最小度。

    為了方便,設(shè)G=(V,E)若S?E(G),f:E→R為一個(gè)實(shí)值函數(shù),則記

    定義1[7]設(shè)G=(V,E)是一個(gè)無孤立邊的圖,如果一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:E→[0,1]對(duì)任意的e∈E(G)均有f(N(e))≥1成立,則稱f為圖G的一個(gè)Fractional邊全控制函數(shù)(簡稱為F-邊全控制函數(shù))。圖G的F-邊全控制數(shù)定義為

    并且稱滿足γ′ft(G)=min{f(E)的F邊全控制函數(shù)f為一個(gè)最小F-邊全控制函數(shù)。

    定義2[7]設(shè)G=(V,E)是一個(gè)無孤立邊的圖,如果一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:E→[0,1]對(duì)任意的e∈E(G)均有f(N(e))≥1成立,則稱f為圖G的一個(gè)F-邊全包裝函數(shù)。圖G的一個(gè)F-邊全包裝數(shù)定義為

    并且稱滿足P′ft(G)=f(E)的F-邊全包裝函數(shù)f為一個(gè)最大F-邊全包裝函數(shù)。

    在上述兩個(gè)定義中,如果將邊鄰域“N(e)”改為閉邊鄰域“N[e]”,則對(duì)應(yīng)定義為F-邊控制數(shù)和F-邊包裝數(shù)。類似地,可分別定義F-點(diǎn)控制函數(shù)γ′ft(G)和F-點(diǎn)包裝數(shù)Pf(G)。Domke G S[8]等證明了γf(G)=Pft(G)對(duì)任意圖成立,這表明γ′ft(G)=P′ft(G)對(duì)任何無孤立邊的圖成立。特殊地,如果一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:E→[0,1]滿足f(N(e))=1對(duì)任意e∈E(G)成立,則f為G的一個(gè)最小F-邊全控制函數(shù),同時(shí)f也是圖G的一個(gè)F-邊全包裝函數(shù),因此有下面的引理成立。

    引理1 設(shè)G為一個(gè)圖,若存在一個(gè)實(shí)值函數(shù)f:E(G)→[0,1],使得對(duì)任意的e∈E(G)均有f(N(e))=1成立,則有γ′ft(G)=f(E(G))。

    2 主要結(jié)果及證明

    [1]BONDYJ A,MURTY V S R.Graph Theory with Application[M].Elsevier,Amsterdam,1976.

    [2]HAYNES T W,HEDETNIEMI S T,SLATER P J.Domination in Graph[M].Marcel Dekker,Inc New York,1998.

    [3]HEDETNIEMI S M,HEDETNIEMI S T,WIMER T V.Linear time resource allocation algorithms for trees.Technical report URI-014,Department of Mathematics[R].Clems on University,1987.

    [4]MITCHELL S,HEDETNIEMI S T.Edge domination in trees[J].Congr Numer,1977(19):489-509.

    [5]BAOGEN XU.On signed edge domination numbers of graphs[J].Discrete Math,2001(239):179-189.

    [6]ARUMUGAM S.Fractional edge domination in graphs[J].APPL ANAL Discrete Math,2009(3):359-370.

    [7]徐保根,圖的控制與染色理論[M].武漢,華中科技大學(xué)出版社,2013.

    [8]DOMKE G S,HEDETNIEMI S T,LASKAR R C.Fractional packings,coverings and irredundance in graphs[J].Congr Numer,1988(66):227-238.

    Fractional Edge Total Domination Numbers in Graphs

    Xu Baogen,Zhao Lixin,Zou Yan
    (School of Science,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)

    LetG=(V,E)be a graph without isolated edges,a real functionf:E(G)→[0,1]is said to be a fractional edge total domination function(FETDF)of G ifholds for everye∈E(G)edge,then the fractional edge total domination number酌ft′(G)ofGis defined asis a FETDF of G}.This paper determines bounds for the fractional edge total domination numbers of a graph.Meanwhile,it discusses some questions on the fractional edge total domination and gives the fractional edge total domination numbers of some special graphs.

    fractional edge total dominating function;fractional edge total domination number;fractional edge total packing function;fractional edge total packing number

    O157.5

    A

    1005-0523(2015)06-0106-04

    (責(zé)任編輯 姜紅貴)

    2015-05-03

    國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11361024);江西省高校科技落地計(jì)劃項(xiàng)目(KJLD12067)

    徐保根(1963—),男,教授,主要研究方向?yàn)閳D論及其應(yīng)用。

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