分形理論在高校課改的成功嘗試

常士訚+許露

摘要：楊社平教授以分形理論服務(wù)高校課程改革，踐行“立德樹人”。分形理論是幾何學(xué)的分支學(xué)科之一，近年來發(fā)展迅猛，廣泛應(yīng)用于自然社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。從分形理論的應(yīng)用新領(lǐng)域、結(jié)構(gòu)建導(dǎo)新工具、本土研究新探索三個(gè)方面，展現(xiàn)分形課改的新意。吸引子是課程綱要的活力所在，自相似是教材內(nèi)容的突出特點(diǎn)。迭代是課程生成的重要法則，以“習(xí)”“研”“演”“練”的教學(xué)模式暢通迭代節(jié)點(diǎn)，靠“趣”“情”“勵(lì)”“合”的教學(xué)策略穩(wěn)定迭代結(jié)構(gòu)，最終才能落實(shí)分形課改的主張。通過分形理論仿射效應(yīng)，教學(xué)團(tuán)隊(duì)連理，多科課程輝映。由此可見，課程改革卓有成效，卓爾不群。建言課程改革還可從混沌現(xiàn)象和混沌理論汲取養(yǎng)分，踵事增華。

關(guān)鍵詞：分形理論;高校課程改革;民族理論與政策;楊社平

中圖分類號(hào)：G642.0 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2015）45-0086-04

今天，“立德樹人”已成為中國教育的根本任務(wù)，學(xué)者們投身高校課程改革實(shí)踐，努力為國家培養(yǎng)人才。廣西民族大學(xué)的楊社平教授是一位推進(jìn)高校課程改革的先行者，她的《課改分形論：跨學(xué)科參與一門國家級(jí)精品開放課程建設(shè)的邊緣心語》一書，以分形理論為特色，詳細(xì)闡述民族高校獨(dú)有的公共政治課程——“民族理論與政策”改革的方法，生動(dòng)體現(xiàn)分形理論推動(dòng)跨學(xué)科課程改革的仿射效應(yīng)，努力開辟一條“立德樹人”課程改革的嶄新路徑。

分形理論是幾何學(xué)的分支學(xué)科之一。最早是由美國數(shù)學(xué)家本華·曼德博提出，他撰寫的論文《英國的海岸線有多長》初涉分形思想;1975年他正式創(chuàng)立分形幾何學(xué);1982年由他出版《大自然的分形幾何學(xué)》，“徹底改變?nèi)藗儗Ψ中蔚恼J(rèn)識(shí)”。現(xiàn)在這個(gè)自然科學(xué)的理論服務(wù)高校課程改革，既符合規(guī)律：“科技發(fā)展的新理論、新思路、新觀點(diǎn)、新方法不斷地沖擊著高等學(xué)校的課程改革”，又使得高校課程改革“無論在內(nèi)容上和形式上都有所創(chuàng)新”。

一、分形課改的創(chuàng)新意義

1.分形理論新應(yīng)用。分形思想由來已久，可以追溯至17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨的“回歸自相似”概念。20世紀(jì)初受到數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注，包括the Sierpinski Gasket，the Koch Curve，柯克曲線等。但是，分形思想真正上升到理論高度，離不開曼德博的深入研究。他指出：分形的概念是“組成部分以某種方式與整體相似的形稱為分形”;然而，有人認(rèn)為，分形具有不規(guī)則的精細(xì)結(jié)構(gòu);形狀或者統(tǒng)計(jì)意義上的自相似形式;和迭代生成的性質(zhì)。自相似形式是化繁為簡，拼貼復(fù)雜形體的前提認(rèn)識(shí);迭代則是復(fù)雜形體的生成法則;仿射則是復(fù)雜形體多維存在的可能。正是因?yàn)榉中卫碚摶睘楹?，它不局限于?fù)雜幾何形體的描述，也可“將由信息、功能、能量、時(shí)間等‘量構(gòu)成的具有自相似的對象稱為分形行為”，及時(shí)跟蹤事物發(fā)展進(jìn)程，顛覆人們傳統(tǒng)平面或立體的思維。分形理論在近三十年來發(fā)展迅猛。但在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域罕有建樹。楊社平教授把分形理論引入課程變革實(shí)踐，拓展分形理論的應(yīng)用領(lǐng)域，通過利用自相似性、迭代性以及仿射性，揭示復(fù)雜分維現(xiàn)象的成因，歸納復(fù)雜課程改革之后的數(shù)學(xué)邏輯。

2.結(jié)構(gòu)建導(dǎo)新工具。以分形理論實(shí)現(xiàn)課程建導(dǎo)，受到結(jié)構(gòu)主義思潮的影響。結(jié)構(gòu)主義應(yīng)該不是藝術(shù)流派宣揚(yáng)的Structurism，而是“（一定的）結(jié)構(gòu)支配并決定著一切社會(huì)現(xiàn)象的性質(zhì)和變化”。課改理論使用的工具，往往是瑞士心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論和美國心理學(xué)家布魯納的學(xué)科“普遍性”理論。這兩種理論，前者強(qiáng)調(diào)以人為課程變革的中心，初步建構(gòu)人的認(rèn)知結(jié)構(gòu);后者強(qiáng)調(diào)以學(xué)科自身為課程改革的中心，從學(xué)科的結(jié)構(gòu)入手，掌握學(xué)科基本的概念、定理和范疇，知識(shí)遷移。

然而，分形理論是結(jié)構(gòu)建導(dǎo)新工具。從簡單結(jié)構(gòu)出發(fā)，批判地吸收認(rèn)知心理和具體學(xué)科的優(yōu)勢，打通心理和學(xué)科的雙向軌道，你中有我，我中有你，不斷調(diào)整，適度迭代，克服了課程沖突的可能。因?yàn)?，以認(rèn)知心理為中心，過于把課程看作是一種目的，預(yù)計(jì)教學(xué)活動(dòng)的可能結(jié)果，并以此為評判標(biāo)準(zhǔn)，一切以達(dá)到結(jié)果為要旨，教學(xué)成為實(shí)現(xiàn)結(jié)果的策略;以學(xué)科為中心，過于把課程看作是一種手段，強(qiáng)調(diào)實(shí)施的過程和過程本身的價(jià)值。分形理論成為結(jié)構(gòu)建導(dǎo)新工具還體現(xiàn)在開放性和靈活性。它可以描述各種非線性系統(tǒng)：記錄動(dòng)力系統(tǒng)的變形，測度布朗運(yùn)動(dòng)的手段，把握多重分形的迷惑等。既然不怵動(dòng)態(tài)，隨機(jī)和重合的各種可能，分形理論的靈活性可見一斑。開放和靈活使得結(jié)構(gòu)建導(dǎo)不會(huì)僵化。

3.本土研究新探索。課程改革扎根本土。本土化現(xiàn)實(shí)在“民族理論與政策”課程改革真正下移到縣情和市情。沒有宏觀層面的高談闊論，沒有微觀層面的錙銖必較，從中觀出發(fā)，從縣市各民族實(shí)際出發(fā)，為政策鋪墊事實(shí)依據(jù)。如以專題調(diào)研報(bào)告成書的《隆林各族十二和》，基于分形理論，圖文并茂地呈現(xiàn)各族團(tuán)結(jié)，佐證“十二條”的切實(shí)性。如以百色市民族實(shí)際編寫的《五彩七韻十二和》，基于分形理論，“解讀中國特色社會(huì)主義民族理論政策體系”，豐富教學(xué)資源。突出本土特征，豐富立德樹人的內(nèi)涵。有人說，社會(huì)主義核心價(jià)值觀是具體的德目;有人說：“確立起馬克思主義的立場，形成社會(huì)主義核心價(jià)值觀，具有社會(huì)公德、職業(yè)道德、家庭美德和個(gè)人優(yōu)良品德”;還有人說：“培養(yǎng)具有民族情懷、祖國情結(jié)、社會(huì)意識(shí)、人文素養(yǎng)與發(fā)展?jié)撃艿膶W(xué)生”。而在楊社平老師看來，立德樹人就是和諧素質(zhì)的培養(yǎng)。和諧素質(zhì)包括自然與人、人的自身、人際之間、人與社會(huì)和人與國家五個(gè)范疇。這五個(gè)范疇以人為本，通過人與自然、人、社會(huì)和國家等各要素的關(guān)系替代要素本身意義，彌補(bǔ)各種不足。

二、課程組織的自相似性

1.課程綱要的吸引子。吸引子是非線性耗散系統(tǒng)的重要概念，也是系統(tǒng)存在分形的充分條件。“一個(gè)吸引子就是一個(gè)集合并且使得附近的所有軌道都收斂到這個(gè)集合上”。非線性耗散系統(tǒng)是一個(gè)開放的系統(tǒng)，在交換過程完成后達(dá)到穩(wěn)定，交換過程中的無規(guī)運(yùn)動(dòng)會(huì)趨向吸引子，進(jìn)而產(chǎn)生分形?！懊褡謇碚撆c政策”的課程改革也可以看為一個(gè)非線性的耗散系統(tǒng)，課程改革的過程中，難免會(huì)出現(xiàn)非線性、隨機(jī)性和耗散性的局部特征。既然如此，這門課程綱要的吸引子又是什么呢？即中國特色社會(huì)主義民族理論政策體系“十二條”，這是第四次中央民族工作會(huì)議中確認(rèn)的。它們高度概括民族范疇，深刻點(diǎn)明民族問題，充分展現(xiàn)解決民族問題的戰(zhàn)略思想?！笆l”就是十二個(gè)不同的吸引子，或者說是十二個(gè)不同的集合，吸引集合內(nèi)的所有軌道，巧如大唐雅樂“孝孫十二和”——豫和、順和、永和、肅和、雍和、壽和、太和、舒和、昭和、休和、正和、承和。依據(jù)十二個(gè)不同的集合，注入廣西壯族自治區(qū)的民族實(shí)情，條分縷析，逐一解讀“十二條”的具體內(nèi)容。

2.教材內(nèi)容的自相似。既然曼德博的定義點(diǎn)明“自相似”，“自相似則應(yīng)是分形所必要的條件和一種普遍的特征”。再從吸引子的概念梳理，“自相似”體現(xiàn)在各個(gè)與整體相似的吸引子的關(guān)系中。“民族理論與政策”課改的自相似，反映在教材內(nèi)容上面?！睹褡宕罅x十二和建導(dǎo)綱要》是廣西民族大學(xué)“民族理論與政策”必修課，教材各個(gè)板塊和板塊內(nèi)部的章節(jié)都彰顯自相似。全書分為四大板塊：“焦點(diǎn)指月談”“諸和三棱鏡”“鄉(xiāng)土萬花筒”和“建導(dǎo)情趣園”，板塊中深入拓展“十二條”內(nèi)容?！敖裹c(diǎn)指月談”闡述理論，“逐一解讀‘十二條的基本內(nèi)容”，指月，典于《楞嚴(yán)經(jīng)》，喻意莫因“指”而失“月”，莫由“教”而亡“法”，“月”和“法”均代指民族政策的精粹。“諸和三棱鏡”聚焦前沿，反省過去政策的歷程，思索未來理論的走向?！班l(xiāng)土萬花筒”聯(lián)系實(shí)際，以廣西12個(gè)市居民族概況，本土的實(shí)際情況，更好地認(rèn)識(shí)中國特色社會(huì)主義民族理論?！敖▽?dǎo)情趣園”反饋教學(xué)，內(nèi)化理論，契合“十二條”要義，由學(xué)生自主打造得意作品，記錄成長過程。板塊內(nèi)部再次分形，以“焦點(diǎn)指月談”為例，又分為“民族原理”“國是定理”“關(guān)系調(diào)控”和“發(fā)展對策”四章，豐富理論內(nèi)容。

三、課程生成的迭代法則

迭代是重復(fù)過程以達(dá)到結(jié)果或預(yù)定目標(biāo)的行為，分形理論離不開迭代的存在，有人甚至數(shù)學(xué)證明了柯克曲線的迭代。通過證明過程，可以看出迭代離不開精確的節(jié)點(diǎn)和穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。只有暢通迭代節(jié)點(diǎn)，穩(wěn)定迭代結(jié)構(gòu)，才能落實(shí)分形課改的主張。

1.暢通迭代節(jié)點(diǎn)。暢通的迭代節(jié)點(diǎn)是下一次迭代的有利條件。例如，函數(shù)f（x）=x2+2，求f {f[f（1）]}的值。f（1）=3;f（3）=11;f（11）=123，三次迭代f {f[f（1）]}的值是123。若第一步迭代數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤，f（x）=2，最終結(jié)果變成38，相差甚遠(yuǎn)?？梢?，每個(gè)迭代的節(jié)點(diǎn)需要暢通，否則經(jīng)過幾輪迭代，云泥之別顯而易見。在“民族理論與政策”課程改革中，“習(xí)”“研”“演”“練”的教學(xué)模式幫助學(xué)習(xí)者暢通各個(gè)迭代節(jié)點(diǎn)。①習(xí)得?！傲?xí)得”是課程改革的起點(diǎn)，它更強(qiáng)調(diào)的是學(xué)習(xí)者內(nèi)化知識(shí)的整個(gè)過程而非最終結(jié)果。課程改革應(yīng)是一個(gè)非線性耗散系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)決定了“習(xí)得”不可能一蹴而就、伸手得到，而必須歷經(jīng)批判再批判、否定再否定的螺旋式發(fā)展。正是如此，我們應(yīng)該培養(yǎng)動(dòng)態(tài)的眼光，擺脫靜態(tài)預(yù)設(shè)的束縛，在動(dòng)態(tài)中審視“習(xí)得”的過程，在動(dòng)態(tài)中對所獲“習(xí)得”做出恰當(dāng)?shù)呐袛?。一切僵化的教學(xué)反饋，都很容易貽誤迭代的最佳時(shí)機(jī)。②研討?！把杏憽笔窃凇傲?xí)得”基礎(chǔ)上的縱向深化?！把杏憽睉?yīng)找準(zhǔn)靶子，對準(zhǔn)目標(biāo)，有的放矢。以不同教材中的概念、定義或結(jié)論為靶子，通過剖析對比和聯(lián)系實(shí)際的方法，發(fā)現(xiàn)異同之處?！把杏憽边€要有平臺(tái)，平臺(tái)可實(shí)可虛，既有實(shí)實(shí)在在的課堂“研討”環(huán)節(jié)，也有虛擬的網(wǎng)絡(luò)“研討”空間。海德格爾曾認(rèn)為，真理女神總是把人們帶到兩條路的交口，“一條是揭示之路，一條是晦蔽之路”，真理（揭示狀態(tài)）總是要從晦蔽的狀態(tài)中“研討”出來。自然，研究求深刻，討論立共識(shí)，深層次的共識(shí)才能更好推動(dòng)迭代，任何敷衍的討論或者巨大的分歧都會(huì)左右迭代的效度。③演繹?！把堇[”是“習(xí)得”基礎(chǔ)上的橫向擴(kuò)展?！把堇[”可以迅速膨脹的“習(xí)得”，以點(diǎn)帶面，以靜蘊(yùn)動(dòng)，以實(shí)沖虛。師生在自由活躍的課堂氣氛中，演示彼此作品，展現(xiàn)各自“習(xí)得”;過程中，師生作品可以比較，學(xué)生之間可以比較，比較是為了理解，也是為了交流，更是為了提升興趣。演繹的手段多種多樣，有登臺(tái)演講、詩歌表演、舞蹈渲染、小品點(diǎn)綴、繪畫涂鴉和手工藝品等。這樣，迭代的節(jié)點(diǎn)不再干癟，在一定層面上具有很強(qiáng)的延展性。④練悉。“練悉”是“習(xí)得”的進(jìn)一步升華?！熬毾ぁ奔仁且环N間斷連續(xù)狀態(tài)的描述：“練悉”是一個(gè)間斷的狀態(tài)，各個(gè)迭代節(jié)點(diǎn)的“習(xí)得”、“研討”和“演繹”總是需要時(shí)間，串聯(lián)課堂與實(shí)踐，隨著時(shí)間的流逝，各種摩擦和矛盾難免死灰復(fù)燃;“練悉”又是一個(gè)連續(xù)的狀態(tài)，“習(xí)得”、“研討”和“演繹”使得各個(gè)迭代節(jié)點(diǎn)，不斷滾動(dòng)，不斷運(yùn)轉(zhuǎn)，螺旋上升。這樣，生硬斷裂的弊端可以克服，暢通迭代節(jié)點(diǎn)有所保障。

2.穩(wěn)定迭代結(jié)構(gòu)。穩(wěn)定的迭代結(jié)構(gòu)是達(dá)到預(yù)想目標(biāo)的條件。例如，函數(shù)f（x）=x2+1，求f {f[f（1）]}的結(jié)果。三次迭代是26。若開始誤為f（x）=2x+1，三次迭代是513，迭代結(jié)構(gòu)不同致使結(jié)果匪夷所思。迭代是一個(gè)復(fù)雜的過程，欲維持迭代結(jié)構(gòu)，必須依靠“趣”“情”“勵(lì)”“合”，才“幫助學(xué)生完成他們的學(xué)習(xí)過程。”①趣興?！叭づd”是“智力活動(dòng)的推動(dòng)力量”，它是一種趨向，建立在強(qiáng)烈需求的基礎(chǔ)之上。迭代結(jié)構(gòu)需要把握好“趣興”的積極意義，恰當(dāng)使用，出其不意。語言形式上，詩歌、對聯(lián)、謎語和典故等左右逢源;表達(dá)手段上，影視、音樂、動(dòng)畫、和廣告等信手拈來，以此為切入點(diǎn)使學(xué)生積極參與，持久互動(dòng)。同時(shí)，也要盡力克服完全以“趣興”為中心，要能放能收，張弛有度，再多的歡樂只是正規(guī)課程的鋪墊，真正的教學(xué)功夫不在于能夠抖多少包袱，而是抖出的包袱都能收回來，謹(jǐn)防學(xué)生注意力的彌散。②情感?！扒楦小笔窃凇叭づd”基礎(chǔ)上的主體內(nèi)部穩(wěn)定，是學(xué)生適應(yīng)課程、獲得發(fā)展的重要工具。美國心理學(xué)家埃里克森斷言：盡管不同文化的差異客觀存在，“情感的發(fā)展變化及其與社會(huì)環(huán)境的相互關(guān)系卻遵循著相似的方式”。課堂上激發(fā)、尊重和引導(dǎo)學(xué)生的情感訴求，可以催化整個(gè)學(xué)習(xí)過程，優(yōu)化學(xué)習(xí)的效果。③勵(lì)節(jié)?！皠?lì)節(jié)”是在“趣興”基礎(chǔ)上的主體外部刺激，它是教師以正面的方式，用正面的案例或言語，從外部調(diào)控學(xué)生的“趣興”嬗變。中國古人早就意識(shí)到這一點(diǎn)：“名可務(wù)立，功可強(qiáng)成。所以君子積志委正，以趣明師;勵(lì)節(jié)亢高，以絕世俗”?！皠?lì)節(jié)”存在教學(xué)活動(dòng)的過程中：教學(xué)初，以崇高的目標(biāo)振奮人心，跨越抵觸的丘壑;教學(xué)中，教師身先士卒，不畏艱辛，師生互勵(lì)，同舟共濟(jì);教學(xué)末，鼓勵(lì)學(xué)生反芻，以教學(xué)所知所感打造得意之作，內(nèi)化教學(xué)成果。所以，通過恰當(dāng)?shù)目刂坪驮u價(jià)——弱則鼓勵(lì)，強(qiáng)則節(jié)制，真正鞏固教學(xué)效果。④合尖。合尖是維持迭代和實(shí)現(xiàn)成功的最后一步策略，涉及“趣興”、“情感”和“勵(lì)節(jié)”三方面的融合，充實(shí)里子，光鮮面子，里外融合，最終使得“來自不同時(shí)期、不同層面、不同形式的優(yōu)秀元素形成合力”，達(dá)到課程改革的預(yù)想。

四、課程改革的仿射效應(yīng)

仿射變換是線性變換的一種重要形式。“一般會(huì)改變圖形中向量的夾角、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、圖形的面積等”，通過仿射變換，圖形或是伸長，或是縮放，或是旋轉(zhuǎn)，或是裁剪，例如巴恩斯利蕨。分形具有相似變換的特點(diǎn)，只是仿射變換的特例而已?！懊褡謇碚撆c政策”課改若視為分形原理的相似變換，那么，“民族理論與政策”教學(xué)團(tuán)隊(duì)的構(gòu)建和跨學(xué)科課改則可視為分形原理的仿射變換。

1.團(tuán)隊(duì)仿射連理。教學(xué)團(tuán)隊(duì)是依據(jù)DLA的模型仿射生成。DLA為“擴(kuò)散受限聚集”，體現(xiàn)非平衡生成和凝聚的特點(diǎn)。常見模型分二維和三維兩類，是一定距離不斷釋放離子的過程。

團(tuán)隊(duì)的核心吸引子是龔永輝老師，在其努力下，教學(xué)團(tuán)隊(duì)初步成型;這個(gè)團(tuán)隊(duì)中，有的負(fù)責(zé)教學(xué)的內(nèi)容設(shè)計(jì)，有的專攻教學(xué)的建導(dǎo)，還有的完善教學(xué)的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)，眾人拾柴火焰高。三年努力，這個(gè)團(tuán)隊(duì)從青澀逐漸走向成熟，早期團(tuán)隊(duì)成員轉(zhuǎn)而成為新的吸引子，凝聚各學(xué)科的學(xué)者，釋放團(tuán)隊(duì)更大的影響力。如今，這個(gè)團(tuán)隊(duì)已經(jīng)發(fā)展為29人，青年居多，生機(jī)勃勃。就是這個(gè)團(tuán)隊(duì)，為課程改革和創(chuàng)新立下汗馬功勞，也為形成課程群奠定基礎(chǔ)。

2.課群仿射輝映。既然教學(xué)團(tuán)隊(duì)凝聚了各學(xué)科的成員，分形的原理也被自覺地帶入了相關(guān)學(xué)科的建導(dǎo)。文史課程自覺分形建導(dǎo)。廣西民族大學(xué)的“公共關(guān)系學(xué)”課程，仿射“民族理論與政策”的課程綱要，從“十二和指月談”“十二和放大鏡”“十二和訓(xùn)練場”和“十二和情趣園”這四個(gè)板塊，層層生成自相似課程。除此之外，理工課程也自覺分形建導(dǎo)，尤其以楊社平教授親自主持的“數(shù)學(xué)作文”最為典型。

五、分形課改的芻蕘之見

分形理論是高校課程改革的亮點(diǎn)，但并不是唯一方法，也要依靠教育學(xué)的原則和方法。另一方面，分形理論的自身依然具有一定局限性。還要辯證考慮混沌現(xiàn)象和混沌理論的存在?；煦缋碚撌菙?shù)學(xué)分支之一，用來描述非線性過程中出現(xiàn)的混亂復(fù)雜的現(xiàn)象。最早發(fā)現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的研究是龐加萊的三體問題;真正讓混沌運(yùn)動(dòng)上升為混沌理論的人是氣象學(xué)家勞倫茨，正如“蝴蝶效應(yīng)”，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡和初始條件緊密關(guān)聯(lián)，初始條件的輕微變化——量的增減、質(zhì)的優(yōu)劣和結(jié)構(gòu)組合，都可能出現(xiàn)分叉，最終，差之毫厘，謬以千里。人們的宏觀預(yù)測往往作用甚微?；煦缋碚摵头中卫碚撽P(guān)系密切，但是含義迥異。

混沌現(xiàn)象也存在于課程改革的過程中，無論是迭代節(jié)點(diǎn)的連續(xù)，還是迭代結(jié)構(gòu)的維持，事實(shí)上都可能發(fā)生極小偏差，這些看似微不足道的東西，也許就會(huì)產(chǎn)生一系列的連鎖反應(yīng)，使得課程改革的目標(biāo)和結(jié)果大相徑庭?！墩n改分形論》也應(yīng)考慮到這種“意外情況”的存在，以具體的章節(jié)或者典型的案例來說明：分形理論的課程變革是如何克服混沌現(xiàn)象的干擾。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡家信.分形分析引論[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[2]王根順，史學(xué)正.論高等院校課程的科學(xué)學(xué)基礎(chǔ)[J].高等教育研究，2006，（3）.

[3]楊社平.課改分形論：跨學(xué)科參與一門國家級(jí)精品開放課程建設(shè)的邊緣心語[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2014.

[4]胡家信.分形分析引論[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[5]（日）JUN Kigami.Analysis on Fractals[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

[6]朱華，姬翠翠.分形理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[7]Kenneth Falconer.Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications（第二版）[M].北京：人民郵電出版社，2007.

[8]朱華，姬翠翠.分形理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[9]楊社平.課改分形論：跨學(xué)科參與一門國家級(jí)精品開放課程建設(shè)的邊緣心語[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2014.

[10]顧明遠(yuǎn).教育大辭典（增訂合編本）[M].上海：上海教育出版社，1998.

[11]夏基松.現(xiàn)代西方哲學(xué)（第二版）[M].上海：上海人民出版社，2009.

[12]楊社平.課改分形論：跨學(xué)科參與一門國家級(jí)精品開放課程建設(shè)的邊緣心語[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2014.

13]卞桂平，焦晶.淺議立德樹人：內(nèi)涵、實(shí)質(zhì)及要求[J].南昌工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，（4）.

[14]肖蓉，吳倩茹.立德樹人：大學(xué)生思想政治教育的本質(zhì)要求[J].教育探索，2014，（3）.

[15]張偉.教師的使命：在生命的田野里立德樹人[J].教育科學(xué)論壇，2014，（4）.

[16]張濟(jì)忠.分形[M].北京：清華大學(xué)出版社，1995.

[17]歐陽修，宋祁.新唐書[M].北京：中華書局，1999.

[18]李忠.迭代、混沌、分形[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[19]龔永輝.民族大義十二和建導(dǎo)綱要（修訂本）[M].南寧：廣西民族出版社，2012.

[20]胡家信.分形分析引論[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[21]海德格爾.存在與時(shí)間[M].北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2006.

[22]楊社平.課改分形論：跨學(xué)科參與一門國家級(jí)精品開放課程建設(shè)的邊緣心語[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2014.

[23]合肥師范學(xué)院心理學(xué)教研組編.（共同必修）心理學(xué)講授綱要[M].合肥：合肥師范學(xué)院出版社，1963.

[24]陳琦，劉儒德.當(dāng)代教育心理學(xué)（第二版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[25]（西漢）劉安.淮南子全譯[M].貴陽：貴州人民出版社，1995.

[26]楊社平.課改分形論：跨學(xué)科參與一門國家級(jí)精品開放課程建設(shè)的邊緣心語[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2014.

[27]朱華，姬翠翠.分形理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[28]龔永輝.課改擷英錄：廣西民族大學(xué)“民族理論與政策”國家級(jí)精品樂成后續(xù)建設(shè)紀(jì)實(shí)[M].桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2013.