從2015年高考導(dǎo)數(shù)題再談文科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)

鄧京鳳

摘 要：2015年全國(guó)卷Ⅰ高考文科數(shù)學(xué)最后一題考查的問(wèn)題主要有兩個(gè)方面：含參單調(diào)性及零點(diǎn)問(wèn)題；含參不等式證明問(wèn)題.2015年北京文科數(shù)學(xué)考查了考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.考查了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的掌握水平.下面就從兩道例題來(lái)談?wù)勎目茢?shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)題型中的大題教學(xué).

關(guān)鍵詞：文科；導(dǎo)數(shù)；函數(shù)；教學(xué)

一、高考題型解析

1.[2015年全國(guó)卷I文科（21）題]設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.（1）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)a>0時(shí)，f（x）≥2a+aln .

解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f ′（x）=2e2x- （x>0）.當(dāng)a≤0時(shí)，f ′（x）>0，f ′（x）沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，- 單調(diào)遞增，所以f′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增.又f ′（a）>0，當(dāng)b滿(mǎn)足00時(shí)，f ′（x）存在唯一零點(diǎn).（2）由（1）可設(shè)f ′（x）在（0，+∞）的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f ′（x）<0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f ′（x）>0.故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為f（x0）由于2e2 - =0，所以f（x0）= +2ax0+aln2≥2a+aln .故當(dāng)a>0時(shí)，f（x）≥2a+aln .

小結(jié)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參單調(diào)性及零點(diǎn)問(wèn)題、含參不等式證明問(wèn)題.此題中第（1）問(wèn)求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，所以先求出f（x）的定義域，然后對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論；第二問(wèn)通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)以及均值不等式的應(yīng)用得以證明.在高考題型中常見(jiàn)證明不等式問(wèn)題也常常構(gòu)造函數(shù)來(lái)證明不等式問(wèn)題.

2.[2015年北京文科]設(shè)函數(shù)f（x）= -klnx，k>0.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：若f（x）存在零點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

解析：（1）f ′（x）=x- = ，由f ′（x）=0解得x= .由f ′（x）<0

得單調(diào)遞減區(qū)間是（0， ），由f ′（x）>0得單調(diào)遞增區(qū)間是（ ，+∞）；故f（x）在x= 取得極小值為f（ ）= （2）由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值f（ ）= .因?yàn)閒（x）存在零點(diǎn)，所以 ≤0，從而k≥e.（1）當(dāng)k=e時(shí)，

f（x）在區(qū)間（1， ]上單調(diào)遞減，且f（ ）=0，所以x= 是

f（x）在區(qū)間（1， ]上的唯一零點(diǎn)；（2）當(dāng)k>e時(shí)，f（x）在區(qū)間（0， ）上單調(diào)遞減，且f（1）= >0，f（ ）= <0，所以f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f（x）存在零點(diǎn)，則

f（x）在區(qū)間（1， ]上僅有一個(gè)零點(diǎn).

小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力，同時(shí)也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)方程求解原函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)問(wèn)題.

二、規(guī)律總結(jié)

導(dǎo)數(shù)題型教學(xué)歸納總結(jié)：（1）求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要分類(lèi)討論參數(shù)的范圍.（2）若已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí)，隱含恒成立思想（先求函數(shù)定義域）.（3）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f（x）>g（x）在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)

h（x）=f（x）-g（x），然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)h（x）>0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h（x）在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口.

在高中文科數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究好近幾年特別是高考命題的方向，能把高考導(dǎo)數(shù)考題類(lèi)型把握好，對(duì)今后文科數(shù)學(xué)教學(xué)有重要的作用.對(duì)于導(dǎo)數(shù)問(wèn)題類(lèi)型的考試特別是大題甚至壓軸題都基本上是按照上面的規(guī)律總結(jié)教學(xué)，注意教學(xué)中注入不同的方法及靈活的新思維，相信在高中的導(dǎo)數(shù)教學(xué)中會(huì)取得突破性的進(jìn)展，對(duì)于文科生拿高分也輕而易舉.

編輯 張珍珍