非等溫粘彈性流體充模的SPH方法建模探究

摘 要：充模過程是注塑成型過程中最復(fù)雜最重要的階段。目前充模過程的大部分?jǐn)?shù)值模擬研究都是基于網(wǎng)格類方法，而網(wǎng)格類方法在處理復(fù)雜自由面時(shí)存在一定的困難。因此，該文對無網(wǎng)格SPH方法在非等溫聚合物充模問題中的應(yīng)用進(jìn)行了試探性研究。首先闡述了SPH方法在非等溫流動(dòng)模擬方面的發(fā)展現(xiàn)狀及其存在的問題，然后以粘彈性XPP流體為例，建立了非等溫聚合物充模問題的SPH離散模型，最后通過基準(zhǔn)算例驗(yàn)證了所建立的非等溫粘彈性模型的有效性和準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：光滑粒子動(dòng)力學(xué)（SPH）方法 非等溫 粘彈性流體 充模過程

中圖分類號：O35 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號：1674-098X（2015）09（c）-0007-02

1 非等溫流動(dòng)的SPH方法研究現(xiàn)狀

眾所周知，充模過程是注塑成型過程中最復(fù)雜最重要的階段。此過程一般要求熔體快速充滿模腔，不可避免地形成了噴流痕、氣穴、填充不足等諸多注塑成型缺陷。這些缺陷嚴(yán)重影響了塑料制品的表面質(zhì)量、光學(xué)性能和力學(xué)性能。然而充模過程中模腔始終保持封閉狀態(tài)，人們難以觀察到熔體在模腔內(nèi)的流動(dòng)情況。因此，數(shù)值模擬技術(shù)成為一種有效預(yù)測充模過程的強(qiáng)有力手段。

目前已發(fā)展了多種數(shù)值方法[1]研究充模過程，如有限差分法（FDM）、有限體積法（FVM）、有限元方法（FEM）等。然而，上述方法都是基于網(wǎng)格的方法，在處理復(fù)雜自由面流動(dòng)問題時(shí)存在一些困難，如FDM、FVM均是基于Euler描述的網(wǎng)格類方法，不能直接追蹤自由表面、運(yùn)動(dòng)物質(zhì)交界面等，需要引入額外的界面捕捉技術(shù)（如MAC方法、VOF方法、Level Set方法等），F(xiàn)EM模擬大變形問題時(shí)容易出現(xiàn)網(wǎng)格扭曲、程序?qū)嵤┹^復(fù)雜等。與有限元類似的數(shù)值方法是邊界元方法（Boundary Element Method， BEM），BEM在計(jì)算過程中需要不斷進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)。此外，上述方法中網(wǎng)格生成是一項(xiàng)十分耗時(shí)的工作，對于復(fù)雜形體的網(wǎng)格劃分十分困難，求解過程中常出現(xiàn)網(wǎng)格畸變嚴(yán)重的情況，從而導(dǎo)致求解精度低甚至發(fā)散。因此，人們發(fā)展了無網(wǎng)格方法來研究具有復(fù)雜自由面的流動(dòng)問題。

光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法[2]是一種基于Lagrange描述的無網(wǎng)格粒子法，此方法在計(jì)算中不需要網(wǎng)格，避免了大變形問題中網(wǎng)格重構(gòu)、網(wǎng)格畸變等問題，其計(jì)算精度不受結(jié)構(gòu)變形程度的影響。由于SPH方法的純Lagrange特性及粒子特性，可以通過粒子本身的位置自動(dòng)追蹤運(yùn)動(dòng)界面，SPH方法自提出后受到了眾多研究者的廣泛關(guān)注，并廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)各個(gè)領(lǐng)域。然而，SPH方法卻很少應(yīng)用于非等溫粘彈性流體充模過程的流動(dòng)模擬方面。一方面，粘彈性流體控制方程的非線性性質(zhì)遠(yuǎn)強(qiáng)于牛頓流體，其數(shù)值模擬對數(shù)值格式的要求遠(yuǎn)高于牛頓流體。目前已有的SPH離散格式不適合這類聚合物充模過程的模擬。若要得到比較穩(wěn)定的SPH解，只能選擇非常小的時(shí)間步長，計(jì)算效率太低。因此，傳統(tǒng)SPH方法被認(rèn)為不適合模擬聚合物充模過程。為了提高傳統(tǒng)SPH方法的數(shù)值精度和數(shù)值穩(wěn)定性，人們提出了多種改進(jìn)SPH方法[3]，如RKPM、CSPM、MSPH，SSPH，F(xiàn)PM等。然而這些改進(jìn)方法提高了傳統(tǒng)SPH方法的數(shù)值精度和穩(wěn)定性的同時(shí)，也引入了其它問題，如實(shí)施過程繁瑣、計(jì)算量大、局部矩陣容易發(fā)生奇異等，不易推廣應(yīng)用，從而未被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)領(lǐng)域。另一方面，聚合物充模過程是一個(gè)非等溫過程，具有對流擴(kuò)散性質(zhì)的溫度方程的離散方式及求解對充填結(jié)果有很大影響，而目前關(guān)于非等溫粘彈性流體流動(dòng)模擬的SPH離散模型還未建立。

基于上述原因，該文針對非等溫粘彈性流體充模問題，試探性地建立非等溫粘彈性流體充模問題的改進(jìn)SPH離散模型。首先闡述非等溫粘彈性流體流動(dòng)的控制方程，然后對控制方程尤其是溫度控制方程進(jìn)行SPH離散，從而建立非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型。最后通過簡單的數(shù)值算例驗(yàn)證了所建立模型的收斂性、有效性。

2 非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型的建立

二維情況下，流體控制方程為

（1）

（2）

其中為外力，包括重力及約束力等。為應(yīng)力張量，當(dāng)熔體為非等溫非牛頓粘性流體時(shí)，。當(dāng)熔體為粘彈性流體時(shí)，，其中為各向異性壓力，為非牛頓聚合物溶劑貢獻(xiàn)的偏應(yīng)力。該文考慮非等溫粘彈性XPP流體的簡化模型Oldroyd-B模型的充模過程，XPP本構(gòu)模型的表達(dá)式為

（3）

其中為單位張量，形變率張量，，

，為速度梯度張量，為速度梯度張量的轉(zhuǎn)置。、分別表示聚合物分子鏈的取向和拉伸松弛時(shí)間，為線性松弛模量，為各向異性無關(guān)的參數(shù)，拉伸量，?？傉扯?，其中，，。當(dāng)和時(shí)，XPP模型退化為Oldroyd-B模型。

溫度控制方程為

（4）

其中是熔體溫度，、和分別表示熔體的密度、比熱容和導(dǎo)熱系數(shù)。熔體粘度與溫度的關(guān)系用下列熱冪律模型來描述[3]。

為了能夠?qū)酆衔锍淠＿^程進(jìn)行數(shù)值模擬，下面對流體控制方程進(jìn)行SPH離散。密度的求解仍采用連續(xù)性方程

（5）

而對于動(dòng)量方程離散，該文推廣文獻(xiàn)[2]中非牛頓粘性流體的動(dòng)量離散形式，考慮彈性的影響，從而有

（6）

其中。

對于粘彈性本構(gòu)方程，則采取如下的離散方式

，

（7）

（8）

對于溫度控制方程（4）的SPH離散，作者及其合作者在參考文獻(xiàn)[2]中針對非等溫粘性流體充模過程提出了非牛頓粘性熔體的改進(jìn)SPH溫度離散模型，即

（9）

其中，，，為修正核梯度。

可以看出，式（9）未考慮聚合物熔體的彈性對熔體流動(dòng)和溫度的影響。于是，推廣上面非牛頓粘性流體的SPH溫度離散模型（9），考慮熔體彈性對流體的流動(dòng)和溫度的影響，則得到如下的粘彈性流體的改進(jìn)SPH溫度離散模型

（10）

其中，，。

式（5）～（8）和式（10）構(gòu)成了非等溫粘彈性熔體充模過程的SPH離散模型。

3 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建立的非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型的有效性，本小節(jié)模擬非等溫粘彈性O(shè)ldroyd-B流體的Poiseuille流。采用的參數(shù)為：密度為 ，熔體初始粘度 ，壁面溫度 ，熔體溫度 ，溫度依賴參數(shù)，比熱容 ，導(dǎo)熱系數(shù) ，，，，冪律指數(shù)，力 ，時(shí)間步長 。

圖1給出了非等溫粘彈性Poiseuille流在速度達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的溫度剖面?？梢钥闯?，所得溫度剖面呈拋物形，與文獻(xiàn)[4]中給出的溫度的變化趨勢類似，這說明給出的粘彈性溫度離散模型是有效的。由于該文與文獻(xiàn)[4]中所采用的本構(gòu)方程、參數(shù)等條件不同會(huì)造成溫度值的差異，所以這里僅做定性比較。

圖2給出了3種不同粒子數(shù)下的溫度剖面。采用的3種粒子組合分別為P1：P2：和P3：。由圖2可以看出，三種不同粒子數(shù)下得到的溫度剖面變化趨勢一致，說明給出的粘彈性SPH溫度離散模型收斂。

圖1與圖2的數(shù)值結(jié)果表明，該文建立的非等溫粘彈性流動(dòng)的SPH離散模型是收斂、有效的。

4 結(jié)語

該文首先對SPH方法應(yīng)用于非等溫聚合物流動(dòng)問題的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了闡述，分析了SPH方法很少用于非等溫聚合物充模問題的原因，然后根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)及作者的數(shù)值模擬經(jīng)驗(yàn)建立了非等溫粘彈性流體充模過程的SPH離散模型，最后通過非等溫粘彈性Poiseuille流數(shù)值算例的模擬，驗(yàn)證了所建立的非等溫粘彈性流體的SPH離散模型的有效性和收斂性。

值得注意的是，該文沒有對非等溫粘彈性流體充模問題進(jìn)行數(shù)值模擬和分析，后續(xù)作者將對此問題進(jìn)行研究討論。

參考文獻(xiàn)

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[4] A.Ahsan.Evaporation，Condensation and Heat transfer，Croatia：InTech，2011.