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    NGINAR(1)模型參數(shù)的擬似然估計

    2015-12-07 02:53:34賀天宇王金山
    關(guān)鍵詞:參數(shù)估計個數(shù)定義

    賀天宇,王金山

    (陸軍軍官學(xué)院,合肥 230031)

    整值時間序列數(shù)據(jù)在現(xiàn)實(shí)生活中是普遍存在的,如醫(yī)院等待就醫(yī)的人數(shù)、保險公司每月索賠次數(shù)、商場中購買某種商品的顧客數(shù)等。關(guān)于整值時間序列模型的研究成果大多是在經(jīng)典的“thinning”算子[1]模型的基礎(chǔ)上取得的。然而,Ristic[2]提出了一種基于負(fù)二項稀疏算子的一階幾何整值自回歸過程(NGINAR(1)),為整值時間序列模型注入了新元素。

    擬似然(quasi-likelihood)法是一種非參數(shù)估計方法,由Wedderburn[3]于1974提出的,是廣義最小二乘估計的推廣,有著廣泛的應(yīng)用[4-5]。近幾年,有部分學(xué)者開始嘗試?yán)迷摲椒▽φ禃r間序列模型的參數(shù)估計問題進(jìn)行研究。Zheng[6]研究了p階隨機(jī)系數(shù)整值自回歸過程的擬似然估計;Zheng[7]在提出了一階隨機(jī)系數(shù)整值自回歸過程的同時也研究了其參數(shù)的擬似然估計;薄海玲[8]針對INARS(p)模型給出了參數(shù)的擬似然估計。但對于NGINAR(1)模型的擬似然估計研究尚屬空白。

    本文介紹了NGINAR(1)模型的定義以及一些統(tǒng)計性質(zhì),利用擬似然估計法給出了模型參數(shù)修正的擬似然估計因子的表達(dá)式,并證明了其極限分布的正態(tài)性;通過數(shù)值實(shí)驗,將MQL估計與Yule-Walker估計和CLS估計進(jìn)行比較。結(jié)果顯示,MQL估計在一定程度上較Yule-Walker估計和CLS估計更優(yōu)。

    1 NGINAR(1)模型的定義

    定義1[2]由過程

    對于NGINAR(1)過程,Ristic[2]得出了一些統(tǒng)計特性,為了行文方便,本文以命題的形式列出部分結(jié)論:

    2 模型參數(shù)的擬似然估計

    為了得到模型參數(shù)的擬似然估計,首先假設(shè):[H1]{Xt}為NGINAR(1)模型的嚴(yán)平穩(wěn)遍歷解;

    設(shè)(X1,X2,…,XT)是定義1給出的NGINAR(1)模型的T個樣本值,記λ=α(1+α),則根據(jù)命題2有 Vθ(Xt|Xt-1)=Var(Xt|Xt-1)= α(1+ α)Xt-1+= λXt-1+。

    下面對參數(shù)β=(α,με)'用擬似然法進(jìn)行估計。記θ=(λ),由命題1有擬似然估計法的標(biāo)準(zhǔn)估計方程:

    其中:

    其中:

    證明 假設(shè) θ已知,令Ft=σ(X0,X1,…,Xt),則對方程組

    有:

    由鞅差中心極限定理[10]知,當(dāng)T→∞時類似地有

    同理,?k=(k1,k2)∈R2(0,0),有

    由Gramner-Wold方法可得,當(dāng)T→∞時,

    其中 T3(θ)=E((X1|X0))。

    由Markov不等式,有

    其中0<c<∞為常數(shù)。

    因此,當(dāng)T→∞時,

    對于θ的相合估計,可以通過條件最小二乘法(CLS)[2]得出。

    3 數(shù)值實(shí)驗

    首先,計算出τ=(α,με)的CLS估計。令則=arg minτ(Q(τ))。

    考慮模型 Xt=α*Xt-1+εt,圖1給出了當(dāng)樣本個數(shù) T=500,初值 X0=1時的樣本路徑,其中:(a)α =0.3,με=1;(b)α =0.6,με=0.95。

    為了比較不同估計方法的優(yōu)劣,先借助于Matlab產(chǎn)生相應(yīng)參數(shù)值的樣本隨機(jī)數(shù),再分別對產(chǎn)生的樣本值計算參數(shù)的CLS估計、Yule-Walker估計和MQL估計,每次模擬均重復(fù)500次,并計算出每種估計的經(jīng)驗偏差(Bias)和標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)。

    表1和表2 分別記錄了在選取 α =0.3,με=1 和α =0.6,με=0.95,樣本個數(shù) T=100,200,500,800,1000時不同估計的Bias和SE,并以格式(Bias,SE)記錄。

    由表1和表2可見,不同估計方法的Bias和SE均隨著樣本個數(shù)的增加而減小,在相同條件下MQL估計較CLS估計和Yule-Walker估計更優(yōu)。

    圖1 樣本路徑

    表1 參數(shù)估計結(jié)果對比I

    表2 參數(shù)估計結(jié)果對比II

    4 結(jié)束語

    本文在分析了NGINAR(1)模型統(tǒng)計特性的基礎(chǔ)上,利用擬似然方法對模型的參數(shù)進(jìn)行了估計,在給出了參數(shù)修正的擬似然估計因子的同時也證明了其極限分布的正態(tài)性。通過數(shù)值仿真實(shí)驗證實(shí)了參數(shù)修正的擬似然估計因子法在參數(shù)估計的精度上明顯優(yōu)于Yule-Walker估計和CLS估計。因此,該方法對提高NGINAR(1)模型參數(shù)估計有一定參考價值。

    [1]Steutel F,Van Harn K.Discrete analogues of self-decomposability and stability[J].Ann.Probab.1979(7):893-899.

    [2]Ristic M M.A new geometric first-order integer-valued autoregressive(NGINAR(1))process[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2009,139:2218-2226.

    [3]Wedderburn R.Quasi-Likelihood Functions,Generalized Linear Models,and the Gauss-Newton Method[J].Biometrika,1974,61(3):439-447.

    [4]Lu J,CHEN Di,ZHOU Wei-xing.Quasi-Likelihood Estimation for GLM with Random Scales[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2006,136(2):401-429.

    [5]Lin Peisheng.Efficiency of Quasi-Likelihood Estimation for Spatially Correlate Binary Data on LpSpaces[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2008,138(6):1528-1541.

    [6]Zheng Haitao,Basawa I V,Datta S.First Order Random Coefficient Integer-Valued Autoregressive Processes[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2007,137(1):212-229.

    [7]Zheng Haitao,Basawa I V,Datta S.Inference for Pth-Order Random Coefficient Integer-Valued Autoregressive Processes[J].Journal of Time Series Analysis,2006,27(3):411-440.

    [8]薄海玲,張海祥,張哲.INARS(p)模型的擬似然統(tǒng)計推斷[J].吉林大學(xué)學(xué)報,2010,48(2):219-225.

    [9]Billingsley P.Statistical Inference for Markov Processes[M].Chicago:University of Chicago Press,1961:3-6.

    [10]Hall P,Heyde C C.Martingale Limit Theory and Its Application[M].NewYork:Academic Press,1980.

    [11]Klimiko L A,Nelson P I.On Conditional Least Squares Estimation for Stochastic Processes[J].The Annals of Statistics,1978,6(3):629-642.

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