CCR—DEA模型中弱有效決策單元對(duì)效率值的影響分析

彭宜青，姚曉閨，王 磊

(解放軍陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031)

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法(data envelopment analysis，DEA)是一種用來評(píng)價(jià)決策單元(DMU)之間相對(duì)有效性的方法。它以待評(píng)價(jià)系統(tǒng)的投入、產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)為優(yōu)化變量，運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，對(duì)待評(píng)價(jià)系統(tǒng)的相對(duì)有效性做出評(píng)價(jià)，因此對(duì)某個(gè)DMU有效性評(píng)價(jià)的結(jié)果依賴于其他的DMU。當(dāng)增加新的DMU到原有的DMU集中或者從原有的DMU集中減去某些 DMU時(shí)，可能會(huì)對(duì)其余的DMU效率值產(chǎn)生影響，同時(shí)在對(duì)新加入的DMU進(jìn)行有效性判斷時(shí)，一般是與DMU集中所有元素進(jìn)行比較判斷，計(jì)算量也較大。文獻(xiàn)［1－3］中指出:當(dāng)判斷決策單元集中的某一個(gè)DMUj效率值時(shí)，非有效的DMU對(duì)DMUj效率值不產(chǎn)生影響，只有其中的有效DMU會(huì)對(duì)DMUj產(chǎn)生影響。而有效DMU也可分為幾種類型，文獻(xiàn)［1］并沒有指出不同類型的有效DMU會(huì)對(duì)DMUj的效率值產(chǎn)生何種影響。本文在此基礎(chǔ)上討論了弱有效DMU會(huì)對(duì)DMUj的效率值產(chǎn)生的影響。

1 DEA基本理論

假設(shè)決策單元集中有n個(gè)DMUs，DMUj(1≤j≤n)的輸入、輸出向量分別為 xj=(x1j，x2j，…，xmj)T＞0，yj=(y1j，y2j，…，ysj)T＞0，j=1，2，…，n。評(píng)價(jià)DMUj0DEA有效性的最初CCR模型為一個(gè)分式規(guī)劃，利用Charnes-Coope變換，可化為一個(gè)等價(jià)的線性規(guī)劃，引入松弛變量后可得以下對(duì)偶規(guī)劃:

其中θ為DMUj0的效率值，當(dāng)模型(1)的最優(yōu)解滿足 θ=1，此時(shí)決策單元為弱 DEA［4－7］有效;若最優(yōu)解滿足θ=1，且s+=s－=0，則此決策單元為DEA有效;若θ＜1，則此決策單元為DEA非有效。

Charnes在文獻(xiàn)［8］中提出可通過超效率DEA模型將決策單元集(記為S)里的決策單元分為兩類:一類為前沿面決策單元(frontier DMUs)集(記為P);另一類是非前沿面決策單元(non-frontier DMUs)集(記為Q)。前沿面決策單元集P由3個(gè)集合E，E'和F組成。其中集合E由極有效(extreme efficient)決策單元組成;集合E'由有效但非極有效(efficient but not an extreme point)決策單元組成;集合F由弱有效決策單元(weakly efficient)組成，即P=E∪E'∪F。顯然，前沿面決策單元都是有效或弱有效的，非前沿面決策單元都是非有效的。對(duì)不同類型的決策單元分別記為:

2 弱有效決策單元對(duì)效率值的影響

文獻(xiàn)［1］指出:當(dāng)判斷決策單元集中的某一個(gè)DMUj效率值時(shí)，只有其中的有效DMUs會(huì)對(duì)DMUj效率值產(chǎn)生影響，而非有效DMUs對(duì)DMUj效率值不產(chǎn)生影響，即當(dāng)增加或減少的DMUj∈Q(j∈G)，DMUj不影響對(duì)其他決策單元的效率值。下面給出弱有效DMUs對(duì)其他DMUs效率值影響的結(jié)論。

定理1設(shè)DMUj1∈F(j1≠j0)，如果 DMUj0在模型(1)中的最優(yōu)解為 λ0，s－0，s+0，θ0，在模型(2)中的最優(yōu)解為 λ*，s－*，s+*，θ*，則有 θ*= θ0。

證明:設(shè)DMUj0在模型(2)中的最優(yōu)解為λ*，s－*，s+*，θ*，則在 λ*中第 j1個(gè)分量位置增加一個(gè)0，記為，即 λ*=(λ*，…，，…，)T變?yōu)?(，…，，0，，…，)T。顯然，s－*，s+*，θ*為模型(1)的一個(gè)可行解，且有

又因?yàn)镈MUj1∈F(j1≠j0)，即決策單元DMUj1在決策單元集S中為弱有效的，其輸入向量為xj1，輸出向量為yj1，由“DEA生產(chǎn)可能集錐性公理以及有效性與DMU同倍增長無關(guān)定理”可知:必存在DMUj2∈S，且滿足(xj1，－ yj1)≥k(xj2，－ yj2)，其中k ＞0，且為常數(shù)。設(shè) λ1，s－1，s+1，θ1為 DMUj0在模型(1)中的某個(gè)可行解，則其中的約束條件滿足:

同理，在模型(1)中約束條件也滿足

顯然存在s1+*≥s+1，滿足

因此，DMUj0在模型(1)中的任意一個(gè)可行解λ1，s－1，s+1，θ1均對(duì)應(yīng)模型(2)的一個(gè)可行解，其中

設(shè)DMUj0在模型(1)中的所有可行解θ的集合為{θ1，θ2，θ3…}，則在模型(2)中可得對(duì)應(yīng)可行解θ的集合為…}，且滿足 θi≥(i=1，2，3，…)，又因?yàn)?θ0=min{θ1，θ2，θ3…}，min{…}≥θ*，由以上證明中 θ1的任意性，有

由式(3)、(4)可推出θ0=θ*，定理成立。

定理1說明在用CCR模型判斷DMUj0的有效性時(shí)，如DMUj1為DEA弱有效，則將DMUj1從決策單元集S中剔除，不影響DMUj0的效率值。將以上結(jié)論推廣到?jīng)Q策單元集S中所有的弱有效決策單元，則有以下結(jié)論:

推論1設(shè)DMUj0(j0?O)在模型(1)中的最優(yōu)解為 λ0，s－0，s+0，θ0，在模型(5)中的最優(yōu)解為λ*，s－*，s+*，θ*，則有 θ*= θ0。

證明 在模型(1)中依次減去一個(gè)弱有效決策單元，由定理1可知效率值不變。

推論1說明在評(píng)價(jià)DMUj0有效性時(shí)，決策單元集中的弱有效決策單元不對(duì)DMUj0的效率值產(chǎn)生影響。

綜合定理1和推論1，易得如下推論:

推論2設(shè)DMUj0(j0?O，j0?G)在模型(1)中的最優(yōu)解為 λ0，s－0，s+0，θ0，在模型(6)中的最優(yōu)解為 λ*，s－*，s+*，θ*，則有 θ0= θ*。

推論2說明在評(píng)價(jià)DMUj0有效性時(shí)，決策單元集里的非有效單元和弱有效單元不對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果產(chǎn)生影響。

綜上可知，決策單元集里非有效和弱有效決策單元不會(huì)對(duì)其他決策單元的效率值產(chǎn)生影響。因此，當(dāng)利用DEA評(píng)價(jià)系統(tǒng)對(duì)新的決策單元進(jìn)行有效性評(píng)價(jià)時(shí)，可以將非有效和弱有效決策單元從原評(píng)價(jià)系統(tǒng)的決策單元集里剔除。這樣既減少了評(píng)價(jià)系統(tǒng)里的決策單元數(shù)量，簡化了計(jì)算，又不影響評(píng)價(jià)結(jié)果。

3 算例分析

有決策單元如表1所示。

表1 決策單元的輸入和輸出數(shù)據(jù)

由超效率模型可知:決策單元1，2和6為極有效決策單元;決策單元5，8為有效但非極有效決策單元;決策單元3，9為弱有效決策單元;決策單元4，7為非有效決策單元。用集合表示分別為:E={DMU1，DMU2，DMU6}，E'={DMU5，DMU8}，F(xiàn)={DMU3，DMU9}，Q={DMU4，DMU7};決策單元下標(biāo)集合分別為:G={4，7}，H={1，2，6}，I={5，8}，O={3，9}。

選取決策單元1，4，8，將所有決策單元作為參考集，即利用模型1所得結(jié)果見表2。

表2 模型1計(jì)算結(jié)果

將非有效決策單元7從決策單元集中移除，得

表3 效率值計(jì)算結(jié)果

由表3可知決策單元1，4和8的效率值無變化。

將弱有效決策單元3，9從決策單元集中移除，得

表4 模型7計(jì)算結(jié)果

決策單元1，4和8的效率值也無變化。

4 結(jié)束語

本文討論了CCR模型在增加決策單元和減少?zèng)Q策單元時(shí)的靈敏度分析，得出了以下結(jié)論:增加的決策單元有效性由決策集里的有效單元(不包括弱有效決策單元)決定，減少的決策單元如果是非有效單元或弱有效單元，則不改變其余決策單元的有效性，最后通過一個(gè)算例驗(yàn)證了結(jié)論。在評(píng)價(jià)新的決策單元有效性時(shí)，如果決策系統(tǒng)里的決策單元較多，利用本文結(jié)論，可以剔除對(duì)需評(píng)價(jià)的新決策單元不產(chǎn)生影響的決策單元，從而減少?zèng)Q策系統(tǒng)里的決策單元數(shù)量，在沒有改變?cè)u(píng)價(jià)結(jié)果的條件下減少了評(píng)價(jià)的計(jì)算量。通過對(duì)本文定理1和定理2的證明，可以發(fā)現(xiàn)在DEA理論中，決策系統(tǒng)中決策單元的地位并不相同，弱有效決策單元集和非有效決策單元集對(duì)于決策單元的效率值并不產(chǎn)生貢獻(xiàn)。

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