平面解析幾何復(fù)習(xí)要點(diǎn)指津

●王勇強(qiáng)(湖州市教育科學(xué)研究中心浙江湖州313000)

平面解析幾何復(fù)習(xí)要點(diǎn)指津

●王勇強(qiáng)(湖州市教育科學(xué)研究中心浙江湖州313000)

1 知識(shí)內(nèi)容

平面解析幾何是17世紀(jì)由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬等數(shù)學(xué)家創(chuàng)立并發(fā)展，借助于坐標(biāo)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究的一門幾何學(xué)分支，是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一.平面解析幾何在高中階段的知識(shí)內(nèi)容主要包含直線與圓、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、圓錐曲線及其綜合問題.

2 命題分析

1)直線與圓、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃:這一塊內(nèi)容是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，在每年的高考中均有涉及，直接命題時(shí)通?？疾橄嚓P(guān)的基本概念和基本公式(如直線的傾斜角與斜率、直線的方程及其應(yīng)用、2條直線的平行與垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的方程及其應(yīng)用、直線與圓的位置、2個(gè)圓的位置關(guān)系、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題等);考查時(shí)經(jīng)常會(huì)與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、平面向量等結(jié)合，其中還會(huì)滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論思想等.

2)圓錐曲線及綜合問題:這一塊內(nèi)容是平面解析幾何的重點(diǎn)與核心知識(shí)，命題主要圍繞著3個(gè)方面進(jìn)行，包括圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)的應(yīng)用，求曲線的方程，用坐標(biāo)法解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合問題.近5年的圓錐曲線小題基本上考查了與雙曲線有關(guān)的知識(shí)如漸近線、離心率，有時(shí)也考橢圓、拋物線，在選擇題中的位置比較靠后，屬較難題;解答題的命題主要圍繞后2個(gè)方面進(jìn)行，求曲線方程的問題主要涉及的求解方法有定義法、直接法、交軌法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、幾何法、參數(shù)法等;直線與圓錐曲線的位置關(guān)系方面，理科考查的圓錐曲線主要是橢圓(只有2011年的解答題沒有考查橢圓，但在填空題的最后一題考查了橢圓)，偶爾也考拋物線和圓(2011年)，而文科大題則年年考查拋物線.平面解析幾何解答題主要考查坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合以及運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問題這一核心思想，一般來說解題思路清晰，但運(yùn)算量較大，特別要考查學(xué)生的運(yùn)算求解基本功.

3 典題剖析

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析本題考查求雙曲線離心率的問題，故只需要找到雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c這3個(gè)基本量中任意2個(gè)的等量關(guān)系即可，根據(jù)條件易列出關(guān)于a，b的等量關(guān)系.將該雙曲線的2條漸近線方程分別與x－3y+m=0聯(lián)立，求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而得到AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

由|PA|=|PB|得PQ與已知直線垂直，故

解得a2=4b2，

例2已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為( )

(2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題第10題)

分析本題考查平面解析幾何中的雙基，涉及直線的方程、拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等基本概念和斜率公式等基本公式，同時(shí)考查了求拋物線切線的基本思想方法(方程的思想)和數(shù)形結(jié)合的基本數(shù)學(xué)思想等.由點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C的準(zhǔn)線上，可求得拋物線C的方程，再求出過點(diǎn)A的切線方程及切點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出直線的斜率為.故選D.

圖1

注若了解有關(guān)阿基米德三角形的特性，則此題只需一步就可完成.如圖1所示，利用阿基米德三角形的特性知，AF⊥BF，可求出直線BF的斜率為.高三復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，解完一道好的試題，不要急著結(jié)束思考過程，而應(yīng)對(duì)該試題的背景、

源頭、蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)以及教學(xué)價(jià)值作進(jìn)一步的思考，對(duì)試題可作一些適當(dāng)?shù)难由?、拓展和變?像本題的背景就是阿基米德三角形，可進(jìn)一步研究該試題中隱含的阿基米德三角形的其他重要結(jié)論與性質(zhì)，用于指導(dǎo)解決類似的問題，從而使問題的求解既快又準(zhǔn).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第13題)

分析本題考查線性規(guī)劃中含參數(shù)的問題和數(shù)形結(jié)合的思想方法，可用圖解法或代特殊點(diǎn)法(線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域圖形的頂點(diǎn)處取到).先作出可行域.

圖2

解法1取點(diǎn)D的坐標(biāo)(0，1)，點(diǎn)E的坐標(biāo)(0，4)，由圖2可得

解法2代特殊點(diǎn)法.由于ax+y的最值只可能在點(diǎn)A，B，C某處取到，故只要滿足

注自從高中數(shù)學(xué)引入線性規(guī)劃內(nèi)容以來，相關(guān)的問題一直是高考中的熱點(diǎn)，是高考中的必考知識(shí)之一.從歷年高考來看，對(duì)線性規(guī)劃問題的考查難度一般不大，題型以選擇題、填空題為主.線性規(guī)劃問題對(duì)內(nèi)容的考查主要有根據(jù)可行域的圖形求直線的截距、斜率的最值，還有求平面區(qū)域的面積、求點(diǎn)到直線的距離等較易的問題;稍難的則有考查目標(biāo)函數(shù)的取值范圍以及根據(jù)目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍去逆求約束條件的參變量范圍等問題.對(duì)線性規(guī)劃問題的能力考查主要考查學(xué)生的畫圖能力、識(shí)圖能力，同時(shí)對(duì)觀察能力、推理及轉(zhuǎn)化能力提出了較高的要求.對(duì)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)思想考查則集中體現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變化思想、化歸思想以及分類討論思想等.在復(fù)習(xí)教學(xué)中除了要掌握常見的圖解法和代特殊點(diǎn)法，還需提高觀察推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸以及運(yùn)動(dòng)變化等數(shù)學(xué)思想.

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的2條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2014年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析本題以橢圓為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，將直線與二次曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)利用Δ的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，計(jì)算量較大，涉及了方程思想的靈活應(yīng)用，充分體現(xiàn)了圓錐曲線的“方程”本性，屬于難題.2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題的考查目標(biāo)與解題方法與此類似.

代入橢圓C的方程并化簡(jiǎn)得

利用Δ=0，得

可求得點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13(當(dāng)從點(diǎn)P所引的2條切線均與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)也符合該方程x2+ y2=13).

注根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系建立關(guān)于斜率k的一元二次方程時(shí)，考查了運(yùn)算求解能力;觀察到k與是一元二次方程的2個(gè)實(shí)根，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用;對(duì)直線斜率存在性進(jìn)行討論，考查了分類討論思想的應(yīng)用.因此在復(fù)習(xí)過程中，除了要加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，還需加強(qiáng)一些常見的數(shù)學(xué)思想(如本題解法中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、方程思想)在解析幾何中的滲透，有助于學(xué)生形成關(guān)于平面解析幾何問題的解題策略.

圖3

例5如圖3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C1:(其中a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為e1;雙曲線C2:

1)求C1，C2的方程;

2)過點(diǎn)F1作C1的不垂直y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于點(diǎn)P，Q時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值.

(2014年湖南省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

分析本題以橢圓、雙曲線為載體，考查圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)的應(yīng)用以及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題.重點(diǎn)考查了相交弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線的距離公式、最值求法以及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想.其中弦長(zhǎng)問題一般都是采用設(shè)而不求的思想方法，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代入，這是解決弦長(zhǎng)問題以及其他直線與二次曲線問題的最基本方法.本題的求解需要考生有較強(qiáng)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、推理論證能力，屬于難題.

第1)小題利用橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中基本量a，b，c之間的關(guān)系，由題目中的條件即可得到關(guān)于a，b的2個(gè)方程，解方程組即可求出a，b的值，得到C1，C2的方程分別是:

第2)小題利用第1)小題所求出的焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)，設(shè)出弦AB的直線方程x=my－1，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去x可得關(guān)于y的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)A，B縱坐標(biāo)之間的和與積，從而得到點(diǎn)M的橫、縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OM的方程，即為直線PQ的方程，聯(lián)立直線PQ與橢圓的方程可求得PQ的弦長(zhǎng).利用點(diǎn)到直線的距離公式得到點(diǎn)A，B到直線PQ的距離表達(dá)式，并表示出四邊形QPBQ的面積，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到四邊形QPBQ面積的最小值為2.

注本題考查的知識(shí)內(nèi)容與思想方法非常樸實(shí)與常規(guī)，但樸實(shí)中孕育基礎(chǔ)，常規(guī)中彰顯能力.第1)小題考查橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的基本量，很樸實(shí)但卻重視基礎(chǔ);第2)小題中的最值、范圍問題雖很常規(guī)，但能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，故一直是高考考查能力的重點(diǎn)，特別是有關(guān)焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及圓錐曲線的定義、中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及點(diǎn)差法、設(shè)而不求、整體代入等的重要解題方法，?？汲Ｐ?

解決圓錐曲線中最值、范圍問題要讓學(xué)生具備明確的解題意識(shí)或策略，其解題的基本意識(shí)或策略是建立目標(biāo)函數(shù)或建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系.建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系應(yīng)選用一個(gè)合適的變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)所要解決的問題，可以是直線的斜率、截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況處理.明確的解題意識(shí)就像大海中的燈塔，能夠引導(dǎo)學(xué)生解題思路往哪里走.

例6已知拋物線C:y2=2px(其中p＞0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形.

1)求C的方程.

2)若直線l1∥l，且l1和C有且只有1個(gè)公共點(diǎn)E，

①證明:直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

②△ABE的面積是否存在最小值?若存在，求出最小值;若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2014年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

分析本題以拋物線為載體，在知識(shí)方面考查拋物線的定義、性質(zhì)、直線方程、點(diǎn)到直線的距離、基本不等式及絕對(duì)值等基本知識(shí);在能力方面，考查函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、方程思想及分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算能力.幾個(gè)小問環(huán)環(huán)相扣，最后運(yùn)用代數(shù)基本不等式求最值.本題的立意對(duì)高三的解析幾何復(fù)習(xí)具有非常鮮明的指導(dǎo)意義.

第1)小題利用拋物線的定義求出p=2，故所求拋物線方程為y2=4x.

第2)小題中，①由直線l1∥l且l1和C有且只有1個(gè)公共點(diǎn)E，求出含參數(shù)的直線AE的方程為

注本題重點(diǎn)考查直線與拋物線的位置關(guān)系.在2014年的各地高考中，有關(guān)直線與拋物線的位置關(guān)系的一個(gè)最大熱點(diǎn)就是三角形面積問題，在多地高考卷中出現(xiàn)，并以多種形式，結(jié)合不同內(nèi)容出現(xiàn)，基本上多以求面積定值和最值為主，考查的數(shù)學(xué)能力較多，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，綜合性強(qiáng)，難度較大，是高考中壓軸的題目.特點(diǎn)是選擇怎樣的方式去求三角形面積，需要合理地選擇底和高，再配合大量的參數(shù)運(yùn)算.本類問題在今后的高考中，還會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，需要更好地把握其基本的解題思想和方法.

眾所周知，平面解析幾何的核心方法是“用代數(shù)方法研究幾何問題”，核心思想是“數(shù)形結(jié)合”，核心要求是“綜合的運(yùn)算能力”.在高三復(fù)習(xí)教學(xué)過程中如能做到以下3點(diǎn)，定能取得較好的復(fù)習(xí)效果:

1)要讓學(xué)生掌握求解解析幾何問題的5種意識(shí):①幾何條件代數(shù)化;②代數(shù)運(yùn)算幾何化;③一般問題特殊化;④最值問題多樣化;⑤去除思維模式化.解題意識(shí)的形成要經(jīng)過“實(shí)踐—認(rèn)識(shí)—再實(shí)踐—再認(rèn)識(shí)”循環(huán)往復(fù)的提高過程，光靠教師的講還不行，一定要讓學(xué)生親歷解題過程、體驗(yàn)和反思.

2)要重視數(shù)學(xué)思想在解析幾何學(xué)習(xí)中的滲透，讓數(shù)學(xué)思想指明解題的方向，指導(dǎo)學(xué)生找到解題思路，從而高效地解題.

3)要落實(shí)運(yùn)算教學(xué)，爭(zhēng)取避繁就簡(jiǎn).對(duì)運(yùn)算能力有較高要求一直是解析幾何學(xué)習(xí)最突出的特點(diǎn)，因此，在遵循“設(shè)—列—解”的程序化運(yùn)算的基礎(chǔ)上，力求做到設(shè)而不求，在復(fù)習(xí)教學(xué)中努力克服“重分析思路方法、輕視運(yùn)算”的頑疾，注意利用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)來化繁為簡(jiǎn)，讓學(xué)生在動(dòng)手運(yùn)算的過程中培養(yǎng)數(shù)感，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

4 精題集萃

1.在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y－4=0相切，則圓C面積的最小值為( )

3.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )

4.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的2側(cè)，(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO 面積之和的最小值是______.

5.若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E:(其中0＜b＜1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于點(diǎn)A，B.若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E 的方程為_____.

7.點(diǎn)A(1，2)是拋物線C:y2=2px(其中p＞0)上一點(diǎn)，直線l:y=kx+b與拋物線C交于點(diǎn)B，C，若拋物線C的焦點(diǎn)F恰是△ABC的重心，則直線l 的方程是______.

8.已知橢圓C:x2+2y2=4.

1)求橢圓C的離心率;

2)設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，求直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=－3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F作TF的垂線交橢圓C與點(diǎn)P，Q.

①證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));

10.已知拋物線C:x2=4y，過點(diǎn)M(0，2)任作一直線與C相交于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;

2)作C的任意一條切線l(不含x軸)與直線y=2相交于點(diǎn)N1，與第1)小題中的定直線相交于點(diǎn)N2，證明: |MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值.

參考答案

1.A 2.C 3.A

4.3

7.y=－2x+1

2)①略;②點(diǎn)T的坐標(biāo)是(－3，1)或(－3，－1).

10.1)點(diǎn)D在定直線y=－2x(其中x≠2)上(證明略).

2)|MN2|2－|MN1|2為定值8(證明略).