2015年數(shù)學(xué)高考模擬卷

2015年數(shù)學(xué)高考模擬卷

一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有1項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U={1，2，3，4}，集合S={1，3}，T={4}，則(CUS)∪T等于( )

A.{2，4} B.{4} C.φ D.{1，3，4}

2.已知a，b是2條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列說(shuō)法正確的是( )

A.若a∥b，b?α，則a∥α B.若a∥α，b?α，則a∥b

C.若a⊥α，b⊥α，則a∥b D.若a⊥b，b⊥α，則a∥α

A.10 B.8 C.2 D.0

5.已知直線l:x+y－9=0和圓M:2x2+2y2－8x－8y－1=0，點(diǎn)A在直線l上，B，C為圓M上的2個(gè)點(diǎn)，在△ABC中，∠BAC=45°，AB過(guò)圓心M，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為( )

A.［2，6］ B.［0，6］ C.［1，6］ D.［3，6］

7.如圖1，在正三棱柱(底面是正三角形、側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)中，AB=AA1=1，若點(diǎn)P在平面

ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△AC1P的面積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( )

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

圖1

8.(理)已知對(duì)于正整數(shù)a，存在一個(gè)以a為二次項(xiàng)系數(shù)的整系數(shù)二次三項(xiàng)式，具有2個(gè)不相等且小于1

的正根，那么a的最小值為( )

A.1 B.2 C.3 D.5

二、填空題:本大題共7小題，第9題至第12題每小題6分，第13題至第15題每小題4分，共36分.把答案填在題中橫線上.

10.圖2是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是______，其表面積為______.

圖2

11.已知－1，4是方程ax2+bx+c=0的2個(gè)根，且a＞0，則4a+c=______，的最小值為______.

13.等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意的正整數(shù)n都有，則=______;

若二次函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1的2個(gè)不同零點(diǎn)均在(0，1)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

15.(理)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一傾斜角為α、長(zhǎng)度不超過(guò)8的弦，弦所在的直線與橢圓3x2+2y2=2有公共點(diǎn)，則α的取值范圍為______.

(文)已知橢圓C1:，雙曲線C2:(其中a＞0，b＞0)，若以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓與C2的一條漸近

線交于點(diǎn)A，B，且C1與該漸近線的2個(gè)交點(diǎn)將線段AB三等分，則C2的離心率為______.

三、解答題:本大題共5個(gè)小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.(15分)已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，其面積S滿足，且的夾角為θ.

1)求θ的取值范圍;

17.(15分)(理)如圖3，已知ABCD是正方形，直線AE⊥平面ABCD，且

AB=AE=1.

1)求異面直線AC，DE所成的角;

2)求二面角A-CE-D的大小;

3)設(shè)P為棱DE的中點(diǎn)，在△ABE的內(nèi)部或邊上是否存在一點(diǎn)H，使PH⊥平面ACE?若存在求出點(diǎn)H的位置，若不存在說(shuō)明理由.

(文)在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an－n+2(其中n∈N*).

1)求證:數(shù)列{an－(n－1)}是等比數(shù)列;

2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

圖3

18.(15分)(理)如圖4，已知A是圓x2+y2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作2條直線l1，l2，它們與橢圓都只有1個(gè)公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N.

圖4

1)若A(－2，0)，求直線l1，l2的方程.

2)①求證:對(duì)于圓上的任一點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立;②求△AMN面積的取值范圍.

在的平面垂直，且AN=AB=2BM，E，F(xiàn)，P分別是線段NC，AB，MC的中點(diǎn).

1)求證:EF∥平面MBC;

2)求異面直線AB與ME所成角的余弦值;

3)求四面體PBMF的體積.

圖5

19.(15分)(理)已知數(shù)列{an}中，a1=8，a4=2且滿足an+2－2an+1+an=0(其中n∈N*).

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(文)已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(其中λ＞0).過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.

2)設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值.

20.(14分)(理)已知函數(shù)f1(x)=e|x－2a+1|，f2(2)=e|x－a|+1(其中x∈R).

1)若a=2，求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈［2，3］上的最小值;

2)若x∈［a，+∞)時(shí)，f2(x)≥f1(x)，求a的取值范圍;

(文)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=－x2+2x.另一個(gè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)椋踑，b］，值域?yàn)?，其中a≠b且a≠0，b≠0.在x∈［a，b］上，f(x)=g(x).問:是否存在實(shí)數(shù)m，使集合{(x，y)|y=g(x)，x∈［a，b］}∩{(x，y)|y=x2+m}恰含有2個(gè)元素?

參考答案

1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.(理)D(文)B

16.解1)由題意知，

由式(2)÷式(1)，得

2)當(dāng)S=3時(shí)，由第1)小題可得tanθ=1，即

17.(理)解法11)如圖6所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)、AD為x軸、AE為y軸、AB為z軸建立坐標(biāo)系，則A(0，0，0)， D(1，0，0)，E(0，1，0)，C(1，0，1)，從而，于是

因此異面直線AC與DE所成角為60°.

令x=1，得n1=(1，0，－1)，同理可得平面CDE的法向量為n2=(1，1，0)，因此其法向量的夾角為60°，即二面角A-CE-D的大小為60°.

由PH⊥面ACE，得

圖6

圖7

解法2如圖7，把四棱錐E-ABCD補(bǔ)充成一個(gè)正方體.1)由AC∥GE，知∠DEG就是AC與DE所成的角.顯然

△DEG為正三角形，故∠DEG=60°，即AC與DE所成的角為60°.

2)聯(lián)結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，則DO⊥面ACE.作OM⊥CE于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)DM，則∠OMD就是二面角A-CE-D的平面角，從而

于是∠OMD=60°，

故二面角A-CE-D的大小為60°.

3)存在BE的中點(diǎn)H，使PH⊥平面ACE.PH是△BDE中位線，PH∥BD，而BD⊥面ACE，故PH⊥平面ACE.

(文)1)證明由an+1=2an－n+2得

從而數(shù)列{an－(n－1)}是首項(xiàng)為1、且公比為2的等比數(shù)列.

2)解由第1)小題得

于是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為

由Δ=0得，k2－1=0.設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，得k1=－1，k2=1，故直線l1，l2的方程分別為

2)①證明當(dāng)l1，l2中有一條直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)l1的斜率不存在，因?yàn)閘1與橢圓只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以其方程為當(dāng)l1的方程為時(shí)，此時(shí)l1與圓交于點(diǎn)，于是l2的方程為y=1(或y=－1)，顯然l1⊥l2.同理可證l1的方程為時(shí)，l1⊥l2.

當(dāng)l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，且，設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x0，y0)與橢圓只有1個(gè)公共點(diǎn)的直線為

由Δ=0，化簡(jiǎn)整理得

設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，因?yàn)閘1，l2與橢圓只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以k1，k2滿足上述方程(3)，從而k1k2=－1，即l1⊥l2.

綜上所述，l1⊥l2成立.

②解記原點(diǎn)到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，則△AMN的面積為

圖8

圖9

(文)1)證明如圖8，取線段MN的中點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)QE，QF.因?yàn)镼E∥MC，QF∥MB，所以平面QEF∥平面MBC.又因?yàn)镋F?平面QEF，所以EF∥平面MBC.

19.(理)解1)由題意可得

從而數(shù)列{an+1－an}是常數(shù)列.又a1=8，a4=2，故

解得a2=6，a3=4，于是a2－a1=－2，a3－a2=－2，a4－a3=－2，…，an－an－1=－2，進(jìn)而

2)由第1)小題可得

則Tn=b1+b2+…+bn=

由Tn為關(guān)于n的增函數(shù)，故

(文)1)證明由已知條件，得F(0，1)，λ＞0，設(shè)(x1， y1)，B(x2，y2).由，即得

聯(lián)立式(5)和式(6)得y1=λ，，且

2)解由第1)小題知在△ABM中，F(xiàn)M⊥AB，從而

因?yàn)閨AF|，|BF|分別為點(diǎn)A，B到拋物線準(zhǔn)線y=－1的距離，所以

20.(理)解1)因?yàn)閍=2，且x∈［2，3］，所以

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立，故f(x)在［2，3］上的最小值為2e.

2)由題意知，當(dāng)x∈［a，+∞)時(shí)，

即|x－2a+1|≤|x－a|+1恒成立，從而

即2ax≥3a2－2a對(duì)x∈［a，+∞)恒成立.由

得所求a的取值范圍是0≤a≤2.

3)記h1(x)=|x－(2a－1)|，h2(x)=|x－a|+1，則h1(x)，h2(x)的圖像分別是以(2a－1，0)和(a，1)為頂點(diǎn)、開口向上的V型線，且射線的斜率均為±1.

②當(dāng)a＜1時(shí)，可知2a－1＜a，從而

1°當(dāng)h1(1)≤h2(1)，得|a－1|≤1，即0≤a＜1時(shí)，g(x)在x∈［1，6］上的最小值為f1(1)=e2－2a;

2°當(dāng)h1(1)＞h2(1)，得|a－1|＞1，即a＜0時(shí)，g(x)在x∈［1，6］上的最小值為f2(1)=e2－a.

1°當(dāng)h1(6)≤1，得|2a－7|≤1，即時(shí)，g(x)在x∈［1，6］上的最小值為f1(6)=e2a－7;

2°當(dāng)h1(6)＞1且a≤6時(shí)，即4＜a≤6，g(x)在x∈［1，6］上的最小值為f2(a)=e1=e;

3°當(dāng)a＞6時(shí)，因?yàn)閔1(6)=2a－7＞a－5=h2(6)，所以g(x)在x∈［1，6］上的最小值為f2(6)=ea－5.

綜上所述，函數(shù)g(x)在x∈［1，6］上的最小值為

(文)解由題意得奇函數(shù)y=f(x)在x＜0時(shí)的解析式為f(x)=x2+2x，從而

可見a，b同號(hào)，也就是說(shuō)y=g(x)，x∈［a，b］的圖像在第一或第三象限內(nèi).根據(jù)f(x)=g(x)，x∈［a，b］以及f(x)的圖像可知，函數(shù)的圖像(如圖10所示)是曲線的一部分.由于值域與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)，又與定義域有關(guān).若只考慮0＜a＜b＜2或－2＜a＜b＜0這2種情況，則不能準(zhǔn)確地用a，b表示出值域區(qū)間的端點(diǎn)，因此要把區(qū)間(0，2)，(－2，0)再分細(xì)一些，由圖10中看出，當(dāng)a，b＞0時(shí)，可考慮以下3種情況:0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2.

圖10

②若1≤a＜b＜2，由圖10可知g(x)是減函數(shù)，從而

完全類似地，考慮到－1≤a＜b＜0，－2＜a＜－1＜b＜0，－2＜b＜a≤－1這3種情況后，可在－2＜b＜a≤－1的情況下通過(guò)值域條件得出這就得到函數(shù)

對(duì)于某個(gè)m，當(dāng)拋物線與函數(shù)g(x)的圖像有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，一個(gè)交點(diǎn)在第一象限、一個(gè)交點(diǎn)在第三象限.因此，m應(yīng)當(dāng)使方程x2+m=－x2+2x在內(nèi)恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根，并且使方程x2+m=x2+2x在內(nèi)恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根.問題歸結(jié)為求m，使2x2－2x+m=0在內(nèi)恰有1個(gè)實(shí)根，使在內(nèi)恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根.

方程2x－2x2=m在內(nèi)恰有1個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)h(x)=2x－2x2，則

易證，拋物線y=x2－2與函數(shù)g(x)圖像恰有2個(gè)交點(diǎn)(－1，－1)和

綜上所述，m=－2.

供稿人:馬茂年(杭州第十四中學(xué))