Radon_CPF+NLS算法估計性能研究

趙博威，周劍雄，付 強(qiáng)

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073)

三階多項式相位信號在通信、雷達(dá)、聲納、生物學(xué)、地震學(xué)等諸多領(lǐng)域有所應(yīng)用［1］。例如，復(fù)雜運(yùn)動目標(biāo)的雷達(dá)回波可采用三階多項式相位信號進(jìn)行建模［2］，目標(biāo)的徑向速度和加速度可由高階相位系數(shù)估計，且通過參數(shù)估計達(dá)到辨識目標(biāo)的目的;生物學(xué)領(lǐng)域，可使用三階多項式相位信號模擬蝙蝠和海豚的聲音進(jìn)行仿生學(xué)研究［3］。

許多學(xué)者針對三階多項式相位信號參數(shù)估計進(jìn)行了研究。目前主要的參數(shù)估計算法可分為相關(guān)法和非相關(guān)法兩大類，其中相關(guān)法參數(shù)估計運(yùn)算量較小，但估計精度在低信噪比時下降嚴(yán)重;相反，非相關(guān)法在低信噪比時能得到較高的估計精度，但運(yùn)算量較大［4］。參數(shù)估計的非相關(guān)算法主要有最大似然估計方法［5］;參數(shù)估計的相關(guān)算法主要包括高階模糊函數(shù)(HAF)［6］、三階多項式相位函數(shù)(CPF)［7－8］及其改進(jìn)算法［9－12］等。相關(guān)算法的主要思想是利用高階非線性變換降低信號相位的維度來實現(xiàn)高階多項式相位參數(shù)估計，但非線性變換降低了多項式相位參數(shù)估計的工作起始噪聲門限，非線性變換階數(shù)越高，參數(shù)估計的工作起始噪聲門限就越高。HAF算法采用四階非線性變換，CPF算法采用二階非線性變換，所以CPF算法的工作起始噪聲門限低于HAP算法，更貼近實際應(yīng)用。Wang P針對CPF算法只能對單分量信號進(jìn)行參數(shù)估計的缺陷，提出 Radon_CPF算法［13］，將CPF算法推廣到多信號參數(shù)估計。為進(jìn)一步提高Radon_CPF算法參數(shù)估計的精度，賀思三應(yīng)用單純型法對Radon_CPF算法進(jìn)行改進(jìn)，提出Radon_CPF+NLS算法。該算法在工作起始信噪比門限之上達(dá)到了CRB［14］，但該文獻(xiàn)中只給出了等幅信號的參數(shù)估計結(jié)果，對于影響該算法性能的因素未做研究。針對實際雷達(dá)信號處理中多目標(biāo)情況或鄰近散射中心的能量差異和相位參數(shù)鄰近的情況，該方法是否適用有待考量。本文在賀思三等的工作基礎(chǔ)上展開，對影響算法工作的一些因素進(jìn)行討論，為該算法應(yīng)用于實際信號處理提供理論依據(jù)。

本文工作分以下小節(jié)開展:第1節(jié)介紹Radon_CPF+NLS算法的理論基礎(chǔ);第2節(jié)介紹算法的估計流程;第3節(jié)給出仿真實驗，考察數(shù)據(jù)長度、信號能量、信號相位參數(shù)臨近等情況對參數(shù)估計的影響;第4小節(jié)對本文進(jìn)行總結(jié)。

1 Radon_CPF+NLS算法

1.1 Radon_CPF算法

設(shè)單分量三階多項式相位信號的表達(dá)式為

對s(n)做雙線性變換，得到

由上式可知:信號s(n－m)s(n+m)關(guān)于變量m只有二次項系數(shù) 2(a2+3a3n)，基于此，O’SHEA P 提出 CPF算法［7］:

其中:Ω=d2φ(n)/dn2，表示信號的瞬時頻率。當(dāng)Ω=2(a2+3a3n)時，CPF函數(shù)會在(n，Ω)域形成一條直線，從而實現(xiàn)對參數(shù)估計的降階處理。對于單分量，可選取2個不同時刻的Ω值，解方程組得到a2，a3的值。但對多信號進(jìn)行CPF運(yùn)算后，發(fā)現(xiàn)在(n，Ω)域存在多條直線，該方法不再適用。為將CPF算法應(yīng)用到多信號參數(shù)估計，Wang P將Radon變換與CPF函數(shù)結(jié)合，提出Radon_CPF算法，實現(xiàn)了多分量信號參數(shù)估計［13］。

Radon函數(shù)定義如下:

其中:－∞ ＜ρ＜ +∞，0＜θ＜π。

Radon_CPF函數(shù)定義如下:

其中的δ(·)表示狄拉克函數(shù)。

假設(shè)利用Radon變換對CPF變換后的(n，Ω)域進(jìn)行直線參數(shù)提取，得到參數(shù)(ρ0，θ0)，則對應(yīng)直線的斜率和截距分別為－cotθ0和 ρ0/cosθ0。根據(jù)幾何關(guān)系得到待估計信號相位的2次項系數(shù)和3次項系數(shù):

實際計算過程中，由于量化誤差、CPF自身估計性能限制以及噪聲的影響，估計精度不高，要想得到較高精度的估計結(jié)果，需要對粗估計結(jié)果進(jìn)行精估計以得到更精確的參數(shù)。

1.2 Radon_CPF結(jié)果的精估計算法

假設(shè)在白噪聲條件下，信號x(n)由K個P階多項式相位信號組成:

其中:akp表示第k個分量的相位多項式第p階系數(shù);Ak表示第k個分量的幅度系數(shù);v(n)表示均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲，且不同時刻噪聲相互獨立。定義:

將式(8)改寫為矩陣形式

待估計參數(shù)a的最大似然估計結(jié)果表達(dá)式為［15］

上式表明多項式相位參數(shù)估計問題是一個多參數(shù)的非線性優(yōu)化問題［14］。在包含噪聲或多分量的情況下目標(biāo)函數(shù)在參數(shù)空間的形式極為復(fù)雜，現(xiàn)有成熟算法只能保證其收斂到局部極值，且優(yōu)化結(jié)果對初值的設(shè)定非常敏感。Pham D S對現(xiàn)有的主要優(yōu)化算法進(jìn)行了比對，驗證了單純型法有較好的優(yōu)化性能［15］。本文采取單純型法進(jìn)行優(yōu)化。

2 算法流程

對于多分量信號參數(shù)估計，利用Clean思想對單個分量進(jìn)行依次估計并優(yōu)化，得到所有估計值后再對多分量估計結(jié)果進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。設(shè)K個信號的和為y(n)，具體流程如下:

1)令k=1，x(n)=y(n);

2)根據(jù)式(3)對信號x(n)進(jìn)行CPF變換;

3)根據(jù)式(5)對CPF結(jié)果進(jìn)行Radon變換，利用式(6)得到參數(shù)，利用式(7)得到參數(shù);

5)令x(n)=x(n)－Akexp(j(ak1n+ak2n2+ak3n3))，k=k+1。重復(fù)步驟2)～4)，直至估計信號數(shù)目達(dá)到設(shè)定信號分量的上限K;

6)將(a1，a2，…，aK)作為式(11)所示目標(biāo)函數(shù)的初始值，進(jìn)行聯(lián)合估計，得到相位估計參數(shù)a，代入式(12)得到幅度估計結(jié)果A。

3 實驗驗證

3.1 數(shù)據(jù)長度對估計性能的影響

設(shè)置數(shù)據(jù)長度N=257，信號幅度A=1，相位參數(shù)(a1，a2，a3)=(π/8，0.005，1e－5)。在原始信號中加入高斯白噪聲至一定信噪比水平，進(jìn)行500次蒙特卡洛實驗，驗證 Radon_CPF算法和Radon_CPF+NLS算法的估計性能。由結(jié)果可以看出:Radon_CPF算法和Radon_CPF+NLS算法的起始工作信噪比門限都在－4dB，但信噪比大于－4 dB時，后者的參數(shù)估計更加精確，參數(shù)估計方差接近 CRB［15］。

圖1 單分量信號參數(shù)估計結(jié)果

參數(shù)設(shè)置不變，對信號加入高斯白噪聲至SNR=－2 dB，改變數(shù)據(jù)長度，研究數(shù)據(jù)長度對參數(shù)估計性能的影響，實驗結(jié)果如圖2所示。從實驗結(jié)果可以看出:相同信噪比情況下，數(shù)據(jù)長度越長，參數(shù)估計的精度越高，但同時運(yùn)算量迅速增大，運(yùn)算量為O(N2)。因此，實際應(yīng)用時應(yīng)權(quán)衡參數(shù)估計精度與運(yùn)算速度的要求，選擇合適的數(shù)據(jù)長度進(jìn)行參數(shù)估計。

圖2 數(shù)據(jù)長度對估計精度和運(yùn)算時間的影響

3.2 多分量信號能量對估計性能的影響

圖3 兩等幅三階多項式相位信號的參數(shù)估計性能分析

改變兩分量信號幅度A1=1，A2=2，其他實驗參數(shù)不變，考察信號能量對參數(shù)估計性能的影響，實驗結(jié)果見圖4。由結(jié)果可以看出:兩信號分量工作信噪比起始門限相差6 dB;當(dāng)達(dá)到算法工作的起始信噪比門限后，同一信噪比條件下兩信號分量的估計方差也相差6 dB。理論分析結(jié)果表明:在均值為0、方差為σ2的高斯白噪聲條件下，兩分量信號參數(shù)估計方差差距的理論值為dB，實驗結(jié)果與理論值相同。實驗結(jié)果表明:多分量情況下，本文算法更適合估計能量較大的信號，若信號能量相差過大，小能量信號估計性能較差。

3.3 多分量信號參數(shù)臨近對估計性能的影響

設(shè)置信號參數(shù) A1=A2，a12=a22，a13=a23，a11和a21間的差距由0個傅里葉分辨單元逐漸增大至19個傅里葉分辨單元，每種情況下進(jìn)行100次蒙塔卡洛實驗，加入高斯白噪聲至SNR=0 dB，參數(shù)估計誤差曲線如圖5所示?？梢园l(fā)現(xiàn):在信號2次項系數(shù)和3次項系數(shù)相同的情況下，信號1次項分量差距小于7個傅里葉分辨單元時，信號參數(shù)估計性能較差;當(dāng)兩信號1次項分量差距在7個傅里葉分辨單元以上時，參數(shù)估計方差達(dá)到了CRB。實驗結(jié)果說明:當(dāng)兩信號頻譜過于靠近時，算法估計性能下降，估計誤差增大;只有信號頻譜分開一定程度時，算法估計才能得到較為精確的估計結(jié)果。

圖4 兩不等幅三階多項式相位信號的參數(shù)估計性能分析

圖5 a1分量臨近對參數(shù)估計性能的影響

4 結(jié)束語

三階多項式相位信號應(yīng)用廣泛，但參數(shù)估計較為復(fù)雜，估計方法優(yōu)劣各異。本文針對三階多項式相位信號參數(shù)估計算法Radon_CPF+NLS展開研究，分別討論了數(shù)據(jù)長度、多分量時信號能量、多分量相位參數(shù)臨近等情況對信號相位參數(shù)估計性能的影響，通過實驗仿真指出了該方法在信號處理應(yīng)用中的適用范圍，為算法的工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，對算法的實際應(yīng)用具有參考價值。

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